一、填空题（共15分）
1.(5分)微分方程y3y2y0的通解为.
2.(5分)设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.
3.(5分)设zf(exy),其中f可微,则dz
二、选择题（共15分）
1.(5分)若anxn在x2处收敛，则此级数在x1处.
n1(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)收敛性不确定.
2.(5分)limun0是级数un收敛的.
nn1(A)充分条件;(B)必要条件;
(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.
3.(5分)已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元函数的全微分,则a=.
(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;
三、解答题（共56分）
1.（7分）已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于平面x2yz4,求P点的坐标.
2.（7分）设zf(xy,),f具有二阶连续的偏导数,求xy2zxy2.
3.（7分）计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周yaxx2(a0).4.（7分）将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数.5.（7分）判别级数(1)nn1lnnnn的敛散性.
6.（7分）求幂级数n1(x3)n3n的收敛域.
7.（7分）计算曲面积分
I(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy
333其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.
8.（7分）试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式
四、应用题（8分）
在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.
五、证明题（6分）
证明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，其中函数g可导.
评分标准（A卷）
一、(每小题4分)
1.yC1exC2e2x;2.323;3.f(exy)exy(yddy).
二、(每小题4分)1.(B)
二、解答题
2.(B);3.(D).
21.(7分)解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分
已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分
1令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分
3于是
111P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分
3927解
2.(7分)
zxy2zx233xfxyf1xyf2,┄┄┄┄3分
34yf22┄┄┄┄7分4xf12xf2xyf113.(7分)解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分
C(esinyy)dx(ecos1)dydxdyDa212a.┄┄┄4分228而
OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分1a0a.┄┄┄┄7分
8811x22I124.(7分)解f(x)(1)xn0n2n(x1),┄┄┄┄3分f(x)(1)n0n12n1x2n1┄┄┄┄6分
x[1,1].┄┄┄┄7分
n(1)5.(7分)解limnlnnnlimlnn,
n1n(或当n3时,
(1)lnnnnlnnn1n)┄┄┄┄2分
而n11n发散,n1(1)nlnnn发散.┄┄┄┄4分
令unlnnn,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分
n由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分6.(7分)解liman1annlimn3nn1n(n1)3,R3,┄┄┄┄3分31又当x33,即x0时,级数n1(1)nn收敛;┄┄┄┄5分
当x33,即x6时,级数n11n发散┄┄┄┄6分
故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分7.(7分)解利用高斯公式及球坐标有
222I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分
30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分
2a12a55.┄┄┄┄7分
28.(7分)解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分
25f(x)x1212cos2x,┄┄┄┄3分
120是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分
*的一个特解形式为
又02i不是特征根,2y5y*12cos2x的一个特解形式为
y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故原方程的一个特解形式为
yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分
四、解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x)，┄┄┄┄1分点(x,y)处的切线方程为Yyy(),┄┄┄┄2分令Y0,得切线在x轴的截距*yy,┄┄┄┄3分y梯形的面积为S212()y212(2xy)ya,
2即2(xya)yy,┄┄┄┄4分化为一阶线性方程
dxdy2yx2ay22,┄┄┄┄5分2a22代入公式或用常数变易法求得通解：x3yCy.┄┄┄┄7分
将初始条件yxaa代入通解得C2a213a,
故所求曲线方程为x3yy3a.┄┄┄┄8分
五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分
故原结论成立.┄┄┄┄6分
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