2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计

§2.3.2 《双曲线的简单几何性质》教学设计

中山市第一中学数学组 孙卫强

一、教学目标

知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.

二、教学重、难点

1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质； 2. 教学难点：双曲线的渐近线.

三、教学设想：

（一）复习式导入：

大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）……（师生共答）

在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该

x2y2研究双曲线221(a0,b0)的哪些性质呢？

ab生：范围、对称性、顶点、离心率等.

这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）讲授新课：

我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。

x2y21双曲线221(a0,b0)的简单几何性质

ab（1）范围

（PPT）从图形看，x的取值范围是什么？

x 师生： a或xa2y2x2x 从标准方程能否得出这个结论呢？ 221021,即x2a2ba y的范围呢？yR

axa或xa（2）对称性

（PPT）从图形看，双曲线关于什么对称性？

生：关于x轴、y轴和原点都是对称的

那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？ 生：……（犹豫）

提示：用y代替原方程中的y，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。

同理，若用x代替原方程中的x，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用x,y分别代替原方程中的x,y，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

- 1 -

所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点

椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）

类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲

x2y2线221(a0,b0)的顶点有几个？顶点坐标是？(a,0) ab 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,b)标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。 椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长.

我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为 x2y2m(m0)（4）离心率

类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率。 2aa 椭圆离心率的范围是什么？（0e1）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。

那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？0ace1

e对双曲线的形状有何影响呢？通过几何画板演示，得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大

（5）渐近线

几何画板演示：

1的图像与x轴和y轴无限接近但不相交，那么x轴和y轴就是x11双曲线y的渐近线，只不过双曲线y不在标准位置。

xx图1：初中学过，双曲线y图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是ybx a定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。

bxyx2y2 双曲线221(a0,b0)的渐近线方程是yx即0

aabab - 2 -

x2y2 注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程221(a0,b0)abx2y2中的1改为0后得到新的方程220(a0,b0)，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供

ab了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式） 等轴双曲线x2y2m(m0)的渐近线方程是yx

渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程）

下面，我们来研究一下焦点坐标在y轴上的双曲线的简单几何性质。

y2x22 双曲线a2b21(a0,b0)的简单几何性质

（1）范围 ya或ya xR （2）对称性 关于x轴、y轴、原点都对称 （3）顶点 (0,a) （4）离心率 eca （5）渐近线 yaybx即axb0 此处渐近线方程和双曲线方程的关系与前面类似。

（三）例题讲解

例1、求双曲线9y216x2144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：把方程9y216x2144化为标准方程

y2x21691. 由此可知，半实轴长a4，半虚轴长b3. ca2b25 所以，焦点坐标是(0,5) 离心率eca54，渐近线方程是y4x30 注：此问题由学生口答。

练习：求双曲线

x29y2162的渐近线方程

- 3 -

变式：已知双曲线的渐近线方程为

yx0，且双曲线过点A(3,23)，求此双曲线的标准方程 43yxy2x2(0) 提示：渐近线方程为0的双曲线的标准方程可设为

43169（四）课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1 双曲线的简单几何性质

2 双曲线与渐近线

xyx2y2x2y2（1）双曲线22(0)的渐近线方程是220即0

mnmnmnxyx2y2（2）渐近线是0的双曲线方程可设为22(0)

mnmn（五）作业布置 课本P61A3,4B1

x2y21有公共的渐近线，且经过点A(3,23)的双曲线的标准方程. 备用思考：求与双曲线916x2y2x2y2(0) 1共渐近线的双曲线的标准方程可设为提示：与

916916x2y2(0)，由题意得 解：设所求双曲线的标准方程可设为

9161x2y2(3)2(23)21  解得 所以，所求双曲线的标准方程为9449164

- 4 -