探索根源之道 滋润理性之思——以 “分数乘法”为例谈算理与算法处理
王国宏
（浙江省杭州市萧山区江寺小学，浙江杭州311201）
摘要：计算教学必须算理和算法并重，然而对学生而言，由于算法在后继学习中经常使用，会变成程序化和自动化，因而学生重算法而轻算理。甚至很多时候，新课还没学，很多学生因为已经会简单模仿、套用算法了，学生以为这就学会计算了。本文以六上“分数乘法第二课时”教学实践为例，谈计算教学中如何使学生知“算法”更明“算理”，使学生知其然更知其所以然，通过丰富的数学活动经验积累，让学生逐步明确明白“算理”，使算法有了生长原点，更通过算理的梳理与发现过程，对数学基本思想方法有所感悟，使认知能力和思维能力得以发展。
关键词：算理；算法；分数乘分数；教学举措
新课程标准指出：教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。计算教学的目的并不是让学生操练某些习题得到正确的答案，形成某些运算技能，而是让学生在遇到一些数学实际问题，能提出解决问题的方案，当需要计算时，因为对运算意义的充分理解，才能选择合适的算法，并能在算理和算法的提炼归纳中，发展学生的认知能力和思维能力，感悟数学思想方法。
算理是指“为什么要这样计算”的道理，算法就是“怎样来计算”的方法和程序。算理与算法是相辅相成的。然而有很多情况下，学生只知算法而不明算理，甚至有很多情况下，学生通过培训班或者提前学习后，已经懂得算法，并能简单计算，却不太清楚算理。以《分数乘法的教学》为例，笔者在教学之前抽取本校六年级六（1）和六（2）班78人做了前测，前测共3道题，①计算②写法则③说说为什么这么算，并对数据进行了整理和分析。
表一：《分数乘法计算法则》前测
试。因为考试基本上不会考算理，“算理”是个什么东西？平时用不上，所以不重视。同时就成年人而言，某一个领域的计算，当他已经会算了，形成技能了，他还会、还有必要记得“为什么这么算”的算理吗？无需。生活中，常用的是技能而不是算理。所以很多学生学习算法知识技能层面较多，而对思维的方式的正确性，计算中的推导等能力不太重视。
（二）思考二：学生会算了“还要去明晰算理吗”
基于前测，当93%的学生能算出得数，我们“还要去明晰算理吗”？我们思考，学生“会”了什么？如果仅是会算就是“会”了，那么现代社会“计算器”“计算机”又快又熟练，何苦为难孩子？很显然，我们并不要把孩子操练成“计算器”。很显然，计算教学是一个载体，通过计算教学，让学生经历“为什么是这样算”的发现过程，理解“计算方法”源自哪里？这期间所需要的观察、比较、推理、判断、概括、归纳等能力的培养是不言而喻的，所积累的数学活动经验和数学思想方法对孩子发现问
为什么这么
算？能写出算理3.8%
题解决问题的能力提升，有了厚积薄发的过程。简单记忆“分数乘分数”计算法则进行操练，与建构在“理解算理基础上的计算方法归纳”，其潜能和思考能力发展是两个完全不同的层次，探索根源之道，才能滋养理性之思。
二、如何引导学生探究“算法”背后的“算理”（一）任务驱动，证明猜测，激励学生探求算法依据当接触一种新的计算法则时，学生已经能简单计算，就要驱动学生思考，利用原有知识储备，思考为什么可以这样算。所以课伊始，安排分数单位相乘的计算。
11问题1：×等于几？
25生：×
11×=52能准确写出答案
学生
92.3%
你认为分数乘法怎么
算？
能写出分数乘法法则
基本内容66.7%
表中的数据，关于计算，因为比较简单，因为教材早已下发的原因，学生稍微看书预习一下，也能写出答案，所以新课还没学，很多学生已经会计算了，而且相当一部分学生能写出分数乘法法则的基本内容，而第三个问题“你为什么这么算的依据”，有65%的学生答了“因为简单、方便”，有30%的学生答“规定要这么算的”“规定要这么算的”，只有3位学生用图示画了自己这样做的根据。
基于前测，我们发现，孩子们已经对算法大致了解，但对算理极其不清，而且学生自我感觉，能对算法法则进行简单模仿，机械套用就自认为已经学会了。
一、教学前，对算理分析思考（一）思考一，为什么学生不重视算理
对学生而言，初学某个领域的计算，最想知道的是“怎么算”，因为“会算”就意味着就能做对习题、熟练了就能应对考
151＝1。210
问题2：你能想办法证明
111×就等于吗？请你用想5210
办法来说明，并在小组中进行分享交流，看看有哪些同学能认同你的想法。
基于前测，站在学生的学习起点上，当学生得出计算结果时，教师并不作对错判断，而是让孩子想办法证明自己的想法是对的，重心已经从算法转移到算理。
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孩子们其实不习惯于表达算理，回答“为什么这样算”是对的，有学生就说“我们培训班老师说过”，有学生说“书上就是这么写的，我看到过的”来回答。老师告知学生“培训班老师说的”，“书上说写的”，都说明古人通过很多次探究在积累，难道我们不会探究吗？说明自己的想法，有根有据地让别人认同你的想法是非常了不起的能力。不唯书、不唯师，是独立思考能力和科学精神的重要表征。
“证明” 这一任务的驱动，逼使孩子们由单纯追求计算结果，转移到证明“为什么这么算”，由算法到算理，实际是一个理性思考，需要孩子们去追本溯源，去思考
上图所示的这四种表示方法，孩子们是这么表述的生甲：我们小组中有同学把一条线段看做单位1，平均分成5段，每一段就是
相当于原来的线段的
11，再×，就是再一半，这时候，这个小段，521
10
，我们认为是对的。
生乙：图2中的实线是把长方形平均分成了5个长条，虚线是把每个长条又平均分成了2份，这样一共分成了10个小长条，1个长条就是
11和各表示什么意52义，小组分享与交流，又利于引发学生多角度发现，算理可以用图、文字、算式等不同的方式进行表述，把思维过程外显，其实是理性思维培养的样式。在思考活动后，学生需把智慧外显，用图、文、算式等不同的方式表达出来。用“证明自己的想法与算法，并向他人分享”这样的核心问题驱动课堂，既促进学生开展深入的思考，又提升学生有理有据地进行表达的能力，同时也能让算理在独立思考的基础上更多样化的表征。
（二）辨析沟通，多样化表征，让学生明确算法依托研究证明，单纯的行为参与方式并不能促进学生高层次能力的发展，只有以积极的情感体验和深层次的思考为核心的学
1
1就是再分一半，就是半个圆，半个圆就是原来的，所以1102511×=，是对的210
方形先竖着分成5份，找到色，这涂上颜色的部分就是
1生丙：图3是把5个圆看做一个整体，就是一个圆，再乘
511×，我们认为也是对的。52生丁：我们的做法其实跟图2的道理是一致的，都是把长
11，再横着分成2份，找到涂上颜
251
10
11，再分一分，找到，最后521
以上4种作图，通过表述和交流，学生们突然发现，都是先画个图表示单位1，再分一分，找到
11习方式，才能促进学生的主体发展。学生探究并解释“×”
52的过程，首先是独立思考，由于有了积极的情感体验和深层次的思考，在小组交流时，学生已经不满足与简单的参与，而是重点在“让同学明白我这样的算法是有根据的”，“教懂别人”，已经是更高层次的学习方式了。所以经过小组交流“求同存异”形成观点，在班级汇报的受一共出现好多方法：
1.意义入手，数形结合，图式化诠释算理。
已有认知基础是现实起点，当遇到分数乘分数的算法根据时，学生不知道，自然而然地用“分数的意义”来解释，这说明学生能根据已有的知识经验来解决新的问题，这是认识世界的重要手段，而分数的意义，学生是能够用图来表征的，但是当学生能把自己的思考过程用图画“外显”，这是极好的一种方法。
下面图1，2，3，4是教学实践中，学生对乘法结果的解释与证明：
都是把单位“1”平均分成10份，产生了新的分数单位“
10
”，而
新分数单位的个数都是1。这几种方法本质是一样的，只是单位“1”样式不同而已。
这些图形表征，这些语言表述，让学生在头脑中对分数单位乘法进行了丰富的表象，让算法有了算理的支撑，在求同存异的交流中，更懂得怎么去探求新知识的方法。
建构主义理论家皮亚杰说过：儿童的思维是从动作开始。因而，要促使学生思维发展，不能切断动作与思维联系。 “画一画、涂一涂、量一量、实物演示”等动手实践方式，能让学生获得最直接的体验，建构丰富的感性认识，从而理解算理，形成算法。
2.多元互化，融会贯通，让算法有更多支撑。
当到达小学六年级学习分数的计算时，学生已经积累了整数乘法、小数乘法、分数意义等知识和学习经验，分数乘法的算理可以在分数与除法的关系中推理所得，也可以根据分数小数互化推理，得到解释和证明，从而使分数乘法的算理建构融会贯通。如下图所示：
图：1用线段图表示
1111×图2：用长方形图表示×2525以上两类推理方法均运用了“转化”的思想方法，当学生发现，要证明分数乘法的推理是有根据的，还能通过原来学过
图3：用5个圆为整体1表示
的小数乘法、分数与除法的关系进行“转化”，其实是打开了一片的新的思维天地，方法①和②，都可以看做分数的意义的算式表述过程，而方法③把分数转化成小数再计算，当然可以证明自己的思考的正确性。
1111×图4：用面积图表示×
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121×2＝×2＝。31515
而化成小数乘法来解释，或者分数与除法的关系来解释的，基本没有，说明孩子们已经从方式多样化自然而然地进行了方法的优化，而且这两种方法的思考与解释，都各有亮点，方法（1）完全理解了分数乘法的“运算的意义”，所以算理顺手就来，方法（2），学生知识现学现用，拆开分数，使他转化为我们刚刚已经学过的知识，其实学习品质已经是极高了。
5.拓展延伸，从算理到算法，形成完整建构
新课教学时，特别重视算理，当每一道题能演算出结果，算法都能隐现，就达到了算理与算法的紧密结合，使思维可以外显。当学生学完单位分数相乘、单位分数乘一般分数后，我们出示最普通的分数，让学生自主建构问题解决的模型。
请你画图表示
通过多元互化，融会贯通，在辨析与沟通中，学生在“同”与“不同”中越来越明晰、理解算理。
3.抽象概括，归纳梳理，从算理中提炼出算法。
史宁中教授说：“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。知道为什么要这么算的算理后，我们要把让学生经历从算理到算法的归纳过程，通过学生观察、概括和推理，抽象出算法，就是一个建构模型的过程，因而从算理到算法，是发展学生数学思维极佳的机会，从理解算理到形成算法，是计算教学的必经之路。
×
111师：刚才我们通过这么多方法证明×＝，你觉得
5210
两个分数单位的数相乘有什么规律？
乘。
11生1：与相乘的积还是一个单位分数。
5211生2：与乘起来，积的分子还是1，积的分母是2与5相
52师：是啊，通过多种解释，我们依然可以发现，单位分数相
24×的算法，想一想，如果是一般的分数35相乘，你觉得该怎样计算分数乘法？
学生很显然把分数乘法的算理进行了优化，喜欢把画长方形当作单位“1”，然后竖着平均分，涂色得到第一个分数，再横着平均分，涂色得到第二个分数，交叉涂色的部分就是所得的分数的结果。并且得到结论，总共是分成了5×3=15份，所以分母是15，而双重涂色的是2×4=8份，所以
乘产生了新的分数单位
1，分数单位的数量仍然是
分母×分母1。为了便于记忆，我们在计算单位分数相乘时，习惯上将算法口诀化：单位分数相乘，分母相乘的积作为积的分母，分子是1。
史宁中教授说，数学技巧并不是非常重要，最关键要教孩子“怎么想”和“怎么去想”，“会不会”不是老师教出来，应该是“学生悟出来的”，重视算法提炼的过程，其实是对知识的“悟”的过程，它必须建构与对算理的理解，分数乘法算理的理解虽然有点难，但是因为有让学生动手实践、自己推理思考、感悟提炼的过程，“计算法则”不再是“习得知识”，而是“悟道”与“智慧”，因而不但使算法逐渐清晰，更使思考有随时的图像再现可能。
4.自主探究，从特殊到一般,算理随时隐现。
当学生多元学习单位分数相乘的算理和算法后，引导学生自主探究“单位分数乘一般的分数”，从简单到复杂，从扶到放，学、思、用结合，引导学生理解 “为什么”,从而自主得到算法，也算是掌握思考的方法和学习的策略。
【教学片段】
老师：现在我们增加难度，如果是
8。
15
242×4×＝＝353×5151112212＝， ×＝， ×＝210531553综合三个例题，×
21×2＝，因为有着非常丰富的算理表象做支撑，所以学生5×315
的积作为分母，两个分数的分子相乘的积作分子。
学数学不做题不行，但是大量重复操练肯定不行，数学家
很快就得到分数乘法的计算法则——用两个分数的分母相乘
很多时间都在做题，但更多的时候是找模型，建构模型后的做题才是做题，所以我们小学数学的教学，也要让孩子多些思考和悟的过程，而不是把知识嚼碎了，喂进孩子嘴里，再重复操练，这将扼杀学生发现问题、思考问题，探索模型、解决问题的乐趣，更将孩子直观思维和创新能力进行扼制。计算教学，以算理探索与理解，由此摸索提炼算法，这样的过程，才是有意义的数学学习过程。这毫无意义，运算能力的培养与发展，必须结合算理来进行，无论怎样的数学教学，
综上所述，计算教学，必须让学生理解算理的基础上来掌握算法，如果用画图、直观理解等表达和解释算理——“为什么这么算”，再从算理的充分理解下，观察归纳推理计算方法，用多元建构、融会贯通，不但能让算法有了丰富的算理表象支撑，更能让数学知识的习得有一个“悟”的过程、“思考”的过程，由知道“是什么”到思考“为什么”，由“吞咽知识”到“了悟智慧”，能使学生的数学活动经验逐渐丰富，认知广度和深度扩张，思考渐成习惯，这才是我们数学计算教学要达到的目标，也是数学课应该达到的目标。
12×，你能正确计算53吗？并能向同桌和四人小组成员解释一下你是怎么想的？
学生交流中发现有如下类别：
（1）迁移——画图表示分数乘法意义中得到算法如右图：把大长方形当作单位“1”，先竖着把单位“1”平均分成5份，取1份得到
11，再把横着平均分成3份，取255115
215
份，这相当于把原来的大长方形平均分成了15份，每份是
，取2份，即
。 （2）拆数转化——一般分数拆成基本分数单位
12先把2拆成1×2，1（1×2
因为×）＝1要算×，
533353593
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