数列裂项-累加-累乘

一、基本概念：

1．数列的通项公式：表示数列

an的第n项与序号n之间的关系的公式．

数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式． 2、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这个常数称为等差数列的公差．

定义an1and(d为常数）或an1ananan1(n2),其中d为公差.

2等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且Aab等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

通项公式的变形：①anamnmd danam．

nm等差数列的前n项和：①Sn3、等差数列的性质：

1) 当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且

斜率为公差d；前n和Snna1项0

2) 当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

na1annn1d． ；②Snna122ddn(n1)dn2(a1)n是关于n的二次函数常数

222aman2ap

4、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 定义

an1aa，其中q0,an0或n1n(n2)，q(q为常数）其中q为公比. ananan1等比中项：在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2ab，则称G为a与b的等比中项． 等比数列的通项公式ana1q

nmnmaaq通项公式的变形：①n；；④qmn1a1nq(nN*)； qan． amna1q1等比数列an的前n项和：Sna11qnaaq．

1nq11q1q6、等比中项的性质：

*若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；

若an是等比数列，且2npq（n、p、q），则an*2apaq．

二、基本运算： 1、数列的通项的求法：

1) 公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2) 数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,{a}sa1a2( 数列n的前n项的和为nansnsn1,n2an)

3) 若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)4) 已知

(a2a1)a1(n2)。

an1aaf(n)求an，用累乘法：annn1anan1an2a2a1(n2)。 a1。 5) 已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）2、数列求和的常用方法：

1) 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公

式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

123n1n(n1)，

22) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一

起，再运用公式法求和.

3) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关

联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

4) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

5) 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那

么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①n(n11)1nn11； ②

n(n1k)1k(1nn1k)； ⑤2(n1n)22nn11nnn12(nn1).

题型一：等差、等比数列的基本运算 例. 设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于【 A．13 B．35 C．49 D．

〖例〗已知数列{an}是等比数列，且a2a62a4，则a3a5

A．1 B．2 C．4 D．8

8aS12a20，则〖例（2010浙江）设S1为等比数列an的前n项和，

S2

A．－11 B．－8 C．5 D．1

1为等差数列，

，则

等于

A. -1 B. 1 C. 3

2如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+•••…+a7=

B. 21

C. 28

】

63

3 设数列

{an}的前n项和

Snn2，则

a8的值为

A. 15 B. 16 C. 49

aaaa104 在等差数列n中，19，则5的值为 B. 6 5 设

Sn C. 8

a9为等差数列

{an}的前n项和，若

S33，S624，则 。

数列求和与求通项的方法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，求

2S5a5．求数列an的通项公式.

练一练：已知数列31111,5,7,9,试写出其一个通项公式：__________； 4816321．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)

设数列an满足:a11,an13an,nN. (Ⅰ)求an的通项公式及前n项和Sn;

(Ⅱ)已知bn是等差数列,Tn为前n项和,且b1a2,b3a1a2a3,求T20.

2.公式法：已知Sn（即a1a2ananf(n)）求an，用作差法：

S1,(n1)

SnSn1,(n2)。

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an

1Sn1 。求数列{an}的通项公式； 2练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an；

3错位相减法

{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sna1b1a2b2

（2013年高考湖南（文）设Sn为数列{an}的前项和,已知a1anbn

0,2ana1S1•Sn,nN

(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.

4裂项法

常见裂项公式

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）

（2013年高考大纲卷（文））等差数列

an中,a74,a192a9,

(I)求an的通项公式; (II)设bn

．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S31,求数列bn的前n项和Sn. nan0,S55.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{1}的前n项和.

a2n1a2n1

5.累加法：

若an1anf(n)求an：an(anan1)(an1an2)例3. 已知数列an满足a1

如已知数列{an}满足a11，anan1

(a2a1)a1(n2)。

11，an1an2，求an。 2nn1n1n(n2)，则an=________ ；

6.累乘法：已知

an1aaf(n)求an，用累乘法：annn1anan1an2a2a1(n2)。 a1例4. 已知数列an满足a1

2n，an1an，求an。 3n12已知数列{an}中，a12，前n项和Sn，若Snnan，求an

7.已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

n（1）形如ankan1b、ankan1b（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法

转化为公比为k的等比数列后，再求an。

an1tp(ant)，①ankan1b解法：把原递推公式转化为：其中t再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列an中，a11，an12an3，求an.

q，1p

练一练①已知a11,an3an12，求an；

倒数法：形如an1naka的递推数列都可以用倒数法求通项。

n1b例：aan1n3a,a11

n11

5已知数列a1n中，a2，a＝ann≠０，a1＝

n112a （n∈N）n求an