16周八年级 角平分线与垂直平分线培优班

个性化教学辅导教案

学科：数学 年级：八年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 秋季班 第16周 教学 课题 线段的垂直平分线与角平分线 教学 1、理解垂直平分线与角平分线的性质； 目标 2、能根据有关性质和定理，解决一些实际问题。 教学 重难点 角平分线定理与垂直平分线定理 教学过程 一、主要知识点

1、线段的垂直平分线

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、角平分线

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

例1．如右上图，在△ABC中，C90，AD平分CAB，AC6,AB10，则CD 。 例2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D。 (1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由； (2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数。

例3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C， E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明；

BPCDA

1

（2）证明：DC⊥BE。

B

图1

A C 图2

E D

例4.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线，

BDAB。 DCAC用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求BD的长。

思考：例1是否可以根据上述性质解决？ 证明平面内两直线互相垂直的几种方法

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.利用勾股定理的逆定理。

4.若两条直线相互垂直，则k1k21。

例5.已知C是线段AB上的一点，AD//BE,AD=AC,BE=BC。

2

求证：DC⊥CE。

例6.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证MN⊥BD。

例7.如图，一次函数y=－

3x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B ,再将△AOB沿直线CD对折,4使点A与点B重合.直线CD与x轴交于点C,与AB交于点D。

(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 。 (2)求CD直线的解析式。

随堂练习

一、选择题

1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）

A、6 B、5 C、4 D、3

2、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE， 则∠CBE等于（ ）

A、80° B、70° C、60° D、50°

3

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）

A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B

4、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 5、如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）

A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB

6、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A、1处 B、2处 C、3处 D、4处

7、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则 △DEB的周长为（ ）

A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不能确定

l1l2DCCEECD

第6题 第7题 第8题 第9题 8、如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm

9、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（ ） A．① B．② C．①和② D．①②③

10、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

二、填空题

1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上。

0

2、已知：如图，∠BAC=120,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。

0

3、△ABC中，∠A=50，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 。

4、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，若∠

0

BAC=126，则∠EAG= 。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是 。

El3BAADBAFBAEOCDBCNAPO

第4题图 第5题图 第8题图 第9题图 6、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是 。

0

7、在△ABC中,AB=AC, ∠B=58,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC= 。

4

BM

8、如图，已知AB∥CD，O是∠ACD和∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离为 。

9、如图所示，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝ 。 三、解答题：

1、如图，Rt△ABC的∠A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MA＝MD。

2、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC，求证：AE平分∠BAC。

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。

0

课后练习 1.（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40，求∠NMB的大小；

（2）如果将（1）中∠A的度数改为70，其余条件不变，再求∠NMB的大小； （3）你发现有什么样的规律性？试证明之；

（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改。

A A

A N B B C

M

N M

C

B N M C

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2.平面直角坐标系中， 三角形AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为3,1。 ①求点B的坐标。②求过AB直线的解析式；

③设直线l经过原点，并且将△AOB分成面积为1：2的两个部分，求直线l的解析式。

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