考纲解读
考点 内容解读 要求 高考示例 2017课标全国1.理解绝对值的几何意义并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条Ⅰ,23; 2017课标全国Ⅱ,23; 2017课标全国Ⅲ,23; 2016课标全国Ⅱ 下类型的不等Ⅰ,24; 2016课标全国Ⅱ,24; 2016课标全国Ⅲ,24; 2015课标Ⅰ,24; 2015课标Ⅱ,24
分析解读
不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.本节内容在高考中分值为10分,属中档题.
五年高考
解答题 式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a 3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法等 填空题、 ★★☆ 常考题型 预测热度 件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R) 2.会利用绝对值的几何意义求解以不等式的解法及证明
1
考点 不等式的解法及证明
1.(2017课标全国Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3
+b3
=2.证明: (1)(a+b)(a5
+b5
)≥4; (2)a+b≤2.
证明 (1)(a+b)(a5
+b5
) =a6
+ab5
+a5
b+b6
=(a3
+b3)2
-2a3b3
+ab(a4
+b4
) =4+ab(a2
-b2)2
≥4.
(2)因为(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
=2+3ab(a+b)≤2+
·(a+b)=2+,
所以(a+b)3
≤8,因此a+b≤2.
2.(2017课标全国Ⅲ,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2
-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解析 (1)f(x)=
当x<-1时, f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1, 所以1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2
-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2
+x.而 |x+1|-|x-2|-x2
+x≤|x|+1+|x|-2-x2
+|x|
=-+≤,
且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2
+x=.
故m的取值范围为.
2
3.(2016课标全国Ⅲ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时, f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分) (2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
当x=时等号成立,
所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分) 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3, 解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)
4.(2016课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=(2分)
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)
当-
=a2
+b2
-a2b2
-1=(a2
-1)(1-b2
)<0,
3
因此|a+b|<|1+ab|.(10分)
5.(2015课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 解析 (1)证明:当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-1
所以f(x)>1的解集为.(5分)
(2)由题设可得, f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为
(a+1).
2
由题设得(a+1)>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)
6.(2015课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明: (1)若ab>cd,则(2)
+
>
+
+
>
+
;
2
是|a-b|<|c-d|的充要条件. +,
+
)>(
2
证明 (1)因为((
+
)=c+d+2
2
)=a+b+2
2
,
由题设a+b=c+d,ab>cd得(因此
+
>
+
.
+).
2
4
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)<(c-d), 即(a+b)-4ab<(c+d)-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得(ii)若即a+b+2
++
>>++
. ,则(.
+
)>(
2
2
2
22
+),
2
>c+d+2
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)=(a+b)-4ab<(c+d)-4cd=(c-d). 因此|a-b|<|c-d|. 综上,
+
>
+
是|a-b|<|c-d|的充要条件.
2
2
2
2
7.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
若a>0,b>0,且+=
3
3
.
(1)求a+b的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解析 (1)由故a+b≥2
3
3
3
3
=+≥≥4
,得ab≥2,且当a=b=,且当a=b=. ≥4
.
时等号成立.
时等号成立.
所以a+b的最小值为4(2)由(1)知,2a+3b≥2由于4
>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
教师用书专用(8—15)
8.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a+b=5,ma+nb=5,则答案
2
2
的最小值为 .
9.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为 . 答案 [0,2]
10.(2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 . 答案 (-∞,+∞)
5
11.(2015陕西,24,10分)选修4—5:不等式选讲 已知关于x的不等式|x+a|+
的最大值.
解析 (1)由|x+a|则解得a=-3,b=1. (2)
+
=
+
≤
=2
=4,
当且仅当=,即t=1时等号成立, 故(
+
)max=4.
12.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2
-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;
(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2
≤.
解析 (1)f(x)=
当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M=.
(2)由g(x)=16x2
-8x+1≤4得16
≤4,
解得-≤x≤.
6
因此N=,
故M∩N=.
当x∈M∩N时, f(x)=1-x,于是x2
f(x)+x·[f(x)]2
=xf(x)[x+f(x)]
=x·f(x)=x(1-x)=-≤.
13.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
解析 (1)证明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥ =+a≥2,所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时, f(3)=a+,由f(3)<5得3当0综上,a的取值范围是.
14.(2013课标全国Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)
解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)
y=
其图象如图所示.
从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈都成立.
故-≥a-2,即a≤.
从而a的取值范围是.
15.(2013课标全国Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
证明 (1)由a2
+b2
≥2ab,b2
+c2
≥2bc,c2
+a2
≥2ca得 a2
+b2
+c2
≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2
=1,即a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
8
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点 不等式的解法及证明
1.(2018福建四地六校12月联考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R. (1)当a=3时,解不等式f(x)≤4; (2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围. 解析 (1)当a=3时,
f(x)=|2x-1|+|x-3|=
所以当x≤时,由4-3x≤4,得x≥0,所以0≤x≤;
当
(2)f(x)=|2x-1|+|x-a|=|2x-1|+|a-x|≥|(2x-1)+(a-x)|=|x-1+a|,
所以若f(x)=|x-1+a|,则2x-1与a-x同号,即(2x-1)(a-x)≥0,即(2x-1)(x-a)≤0,当a<时,x的取值范围是;当a=时,x=;当a>时,x的取值范围是.
2.(2018湖北荆州中学月考,23)已知函数f(x)=|x-3|. (1)求不等式f(x)+f(2x)
∴或或
解得-1
3.(2017河南考前预测,23)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)求不等式f(x)+|x+1|<2的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值为a,且m+n=a(m>0,n>0),求+的最小值.
解析 (1)f(x)+|x+1|=
当x≤-1时,由-3x<2,得x>-,所以x∈⌀;
当-1
综上,原不等式的解集为.
(2)由条件得:g(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|(2x-1)-(2x-3)|=2,
当且仅当x∈时,其最小值a=2,所以m+n=2.
因为m>0,n>0,所以+=(m+n)=≥=,
当且仅当=,即m=,n=时等号成立.
所以+的最小值为.
4.(2017广东百校联考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)>0的解集.
10
(1)求M;
(2)求证:当x,y∈M时,|x+y+xy|<15.
解析 (1)f(x)=
当x<-2时,由x-3>0,得x>3,所以x∈⌀;
当-2≤x≤时,由3x+1>0,得x>-,故-
(2)证明:∵x,y∈M,∴|x|<3,|y|<3,
∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|·|y|<3+3+3×3=15.
5.(2016河南顶级名校期中,24)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-1,5]. (1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 解析 (1)∵|x-a|≤3,∴a-3≤x≤a+3.
∵f(x)≤3的解集为[-1,5],∴∴a=2.
(2)∵f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5, f(x)+f(x+5)≥m恒成立, ∴m≤5.
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:60分 时间:50分钟)
解答题(每小题10分,共60分)
1.(2018河北五校联考,23)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.
解析 (1)原不等式等价于
11
或或
解得
2.(2018广东珠海二中期中,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R). (1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且⊆A,求实数m的取值范围.
解析 (1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|, f(x)≤2即|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化为
或或
解得0≤x≤或
(2)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含,
∴当x∈时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈时恒成立,
∴|x+m|+2x-1≤2x+1, 即|x+m|≤2,∴-2≤x+m≤2,
∴-x-2≤m≤-x+2在x∈时恒成立,
12
∴(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,∴-≤m≤0,
∴实数m的取值范围是.
3.(2017湖北八校联考,23)已知a>0,b>0,且a+b=1. (1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.
解析 (1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴由基本不等式得ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立.∵ab≤m恒成
立,∴m≥.
(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
∴+=(a+b)=5++≥9,当且仅当a=2b=时,等号成立.
故要使+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9, 当x≤-2时,不等式可化为1-2x+x+2≤9,得-6≤x≤-2;
当-2
4.(2017安徽师大附中等名校12月联考,23)设函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m. (1)求m;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),a+2b+c=m,求ab+bc的最大值.
解析 (1)当x≤-1时,f(x)=3+x,则f(x)≤2;当-1
2
2
(2)因为2=a+2b+c=(a+b)+(b+c)≥2ab+2bc=2(ab+bc),当且仅当a=b=c=时取等号, 所以ab+bc的最大值为1.
5.(2017广东广州一模,23)已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.
2222222
13
(1)求a的值;
(2)若<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.
解析 (1)由题意可知a≠0,由|ax-1|≤3得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.
当a>0时,-≤x≤.
因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以解得a=2.
当a<0时,≤x≤-.
因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},
所以无解.
所以a=2.
(2)因为=≥=,
所以要使 <|k|存在实数解,只需|k|>.
解得k>或k<-.
所以实数k的取值范围是∪.
6.(2016福建“四地六校”第三次联考,23)设函数f(x)=+|x-1|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a;
(2)已知两个正数m,n满足m2+n2
=a,求+的最小值.
14
解析 (1)函数f(x)=+|x-1|=
当x∈(-∞,1)时,f(x)单调递减; 当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值a=.
(2)由(1)知m+n=,由m+n≥2mn,得mn≤,
2222
∵m>0,n>0,∴≥,
故有+≥2≥,当且仅当m=n=时取等号.
所以+的最小值为.
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 含有两个绝对值的不等式的解法
1.(2018河南开封定位考试,23)已知函数f(x)=|x-m|,m<0. (1)当m=-1时,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范围.
解析 (1)当m=-1时,f(x)=|x+1|,设F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=F(x)≥2-x,即
或或解得x≤-2或x≥0,故原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥0}.
(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0,
当x≤m时,f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,则f(x)≥-m;
当m
15
故f(x)的值域为,
不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,即1>-,解得m>-2, 由于m<0,所以m的取值范围是(-2,0).
2.(2017湖南五市十校12月联考,23)设函数f(x)=|x-1|-2|x+a|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]时恒成立,求a的取值范围. 解析 (1)∵a=1,∴f(x)>1⇔|x-1|-2|x+1|>1
⇔或或
解得-2
(2)f(x)>0在x∈[2,3]时恒成立 ⇔|x-1|-2|x+a|>0在x∈[2,3]时恒成立
⇔|2x+2a|
方法2 证明不等式的方法
3.(2018吉林长春质检,23)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A. (1)求集合A;
(2)若a,b,c∈A,求证:>1.
解析 (1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=
由|f(x)|<2得-1
(2)证明:要证
222
>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,
22
2
22
2
22
只需证1+abc>ab+c,只需证1-ab>c(1-ab), 只需证(1-ab)(1-c)>0, 由a,b,c∈A,得-1
22
2
2
22
2
综上,>1.
2
2
2
2
4.(2017四川广安等四市一模,23)已知函数f(x)=|x+b|-|-x+1|,g(x)=|x+a+c|+|x-2b|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.
(1)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (2)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).
解析 (1)当b=1时,f(x)=
当x≤-1时,f(x)=-2<1,不等式f(x)≥1无解;
当-1
2
2
2
2
(2)证明:当x∈R时,f(x)=|x+b|-|-x+1|≤|x+b+(-x+1)|=|b+1|=b+1. g(x)=|x+a+c|+|x-2b|≥|x+a+c-(x-2b)|=a+c+2b. a+c+2b-(b+1)=a+c+b-1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=(a+b+b+c+c+a)-1
222222
≥(2ab+2bc+2ac)-1 =ab+bc+ac-1=0,
当且仅当a=b=c=时,等号成立. 所以a+c+2b≥b+1,
2
2
2
2
17
因此,当x∈R时,f(x)≤b+1≤a+c+2b≤g(x), 因此,当x∈R时,f(x)≤g(x).
2222
18
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