倒立摆系统3

设有一倒立摆安放在马达驱动车上，如图所示。这实际上是一个空间起飞助推器的姿态控制模型（姿态控制问题的目的是要把空间助推器保持在垂直位置）。倒立摆式不稳定的，如果没有适当的控制力作用到它上面，他将随时可能向任何方向倾倒。我们这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图所在的平面内运动，控制力u作用于小车上。假设重力摆的中心位于几何中心。试求这个系统的数学模型。

yxlsinmlcosmglx0uPM

规定杆偏离垂线的角度为，同时规定摆杆重心在(x,y)坐标系的坐标为

(xg,yg)。于是

xgxLsinygLcos

为了导出系统的运动方程，考虑图3-20（b）拜师的隔离体的受力图。摆杆围绕

其重心的转动运动可以用下式描述：

VLsinHLcos I （3.48）

式中，I为摆杆围绕其重心的转动惯量。

摆杆重心的水平运动由下式描述：

d2 m2(xsin)H （3.49）

dt摆杆重心的垂直运动则为：

d2lcos)Vmg （3.50） m2(dt小车的水平运动由下式描述：

d2x M2uH （3.51）

dt(t)的量值都很小，因因为我们必须保持倒立摆垂直，所以我们可以假设(t)和e20，于是方程（3.48）至（3.50）可以被线而使得sin0,cos1，并且性化。线性化后的方程为：

VlH I l （3.52）

)H （3.53） l m(x 0Vmg （3.54） 由方程（3.51）和方程（3.53）我们可以得到：

u (3.55) ml (Mm)x由方程（3.52）和方程（3.53）和方程（3.54）得到：

mglHlI ml)mgll(mxmlxmgl (3.56) 即 (Iml2)方程（3.55）和方程（3.56）描述了车载倒立摆系统的运动，他们构成了系统的数学模型。

考虑图3-21表示的倒立摆系统。在这个系统中，因为质量集中在杆的顶端，所以重心就是摆球的中心，对于这种情况，倒立摆围绕其重心的转动惯量是很小

的，因此我们假设在方程（3.56）中I0。于是这个系统的数学模型变为以下形式：

u (3.57) ml (Mm)xml ml2x l (3.58) mg方程（3.57）和方程（3.58）可以改写为：

(Mm)gu ( 3.59) mlx mxumg (3.60)

后得到的。方程（3.60）x方程（3.59）是从方程（3.57）和方程（3.58）中消去后得到的。根据方程（3.59）是从方程（3.57）和方程（3.58）中消去，可以得

到被控制对象的传递函数为：

(s)1U(s)M2ls(m

M)g1 =

Ml(sMmMmg)(sg)mlMl Mm被控制对象倒立摆具有一个位于负实轴上的极点[s= sMl一个位于正实轴上的极点（s= sMmMlg和另外g。因此被控制对象是开环不稳定的。

定义变量：x1,x2,x3,x4为

x1x2

x3xx4x

注意，角度表示摆杆绕P点的转动量，x是小车的位置，如果我们把和x作为输出变量，则有：

y1x1y

y2xx3（注意到和x均为容易测量的量）。以此，根据状态变量的定义和方程（3.59）及方程（3.60）我们得到

1x2xMm1gx1uMlMl

3x4x2x4xm1gx1uMM若表示成向量-矩阵形式，则得到：

01Mmxx2Mlgx304mxgM1000x11000x2Mlu

001x30x41000Mx1y11000x2y0010x

32x4

方程（3.61）和方程（3.62）就是倒立摆系统的状态空间表达式（应当指出，系统的状态空间表达式不是唯一。对于这个系统存在无数多个表达式）。

要求：

1 . 跟踪控制器、基于观测器的状态反馈控制器、PID控制器、最优控制器设计。 2. 按照系统建模，控制器设计、数值仿真比较，总结的步骤来写报告。 3..每个小组制作10页左右的PPT，限时5分钟时间答辩。