线性方程组解的判定

从本节开始，讨论含有n个未知量、m个方程的线性方程组的解。

a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2 （13—2） bm主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。

a11a12aa2221方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵Aam1am2a1na2n amn称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A，即

a11a12aa22A21am1am2a1na2namnb1b2 bm方程组（13-2）中的未知量组成一个n行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m行、1

x1b1xb22列的矩阵(或列向量），记作b，即X,b

xnbma11a12aa2221由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系am1am2即 AX=b

a1na2namnx1b1xb2=2 xnbma11a12a1naaa2122，a2，…，an2n 如果令a1aam1m2amn则方程组（13-2）的向量形式为a1x1a2x2anxnb

定理1 （有解判定定理）方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A） 推论1 线性方程组（13-2）有惟一的充分必要条件是r(A)=r(A)=n. 推论2 线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A)x1（1） 3x1x1x1（2）3x1x1x2x2x2x23x33x39x33x33x39x33x33x38x314 114 014 05x25x2x1x2（3）3x1x2x5x12113111311131解 （1）A313404610461 159104600001所以秩(A)=3，秩(A)=2；秩(A)≠秩（A），故方程组无解。

1131A3134（2）

15901131（3）A31341580

方程组（13-2）b1,b2,11310461 秩(A)=秩(A）=2a11x1a12x2axax211222am1x1am2x2a1nxna2nxnamnxn000 （13-3） 其矩阵形式为AX=0

对齐次线性方程组（13-3）而言，显然，其增广矩阵A的秩与系数矩阵A的秩相等，即秩（A）=秩（A），由定理1可知它总是有解的。比如x1x2xn0就是方程组（13-3）的一个解，常称之为零解。

但所关心的是方程组（13-3）在何条件下有非零解。

将推论1及推论2应用到齐次线性方程组（13-3）上，得到以下结论。 推论3 齐次线性方程组（13-3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n. 推论4 齐次线性方程组（13-3）有非零解的充分必要条件是r(A)x1x2x30例2 试问线性方程组x12x2x30 当λ取何值时有非零解。

xxx0123解 方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵

112111A121010

11001当λ－1=0,即λ=1时, r(A)=2学生板演巩固练习：1.2.3.4.

总结归纳：通过本节的学习，能对线性方程组解的的情况作出准确判定。 课外作业：习题1.2.3