线性代数第1章行列式试卷及答案

一、单项选择题

1.行列式D非零的充分条件是( D )

(A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式

k122k1≠0的充分必要条件是（ C ）

A．k≠-1 B．k≠3 C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 3．已知2阶行列式

a1a2b21b2b1b=m ,

b12c1c=n ,则

baa=（ B ）21c12c2 +n （m+n）

xyz2x2y2z4.设行列式4031,则行列式401（ A ） 1113111A.23 D.83 5．下列行列式等于零的是(D )

321003010316A .321 B. 010 C． 300 D． 224

00113000116201116．行列式

10111101第二行第一列元素的代数余子式A21=（ B）

1110A．-2 B．-1 C．1 D．2

8．如果方程组3x1kx2x304x2x30有非零解,则k=（ B ）

4x2kx30

0ab09．（考研题）行列式

a00b0cd0=（ B ）

c00dA.adbc2 B.

adbc2 C.

a2d2b2c2 D.b2c2a2d2

二、填空题

1.四阶行列式中带负号且含有因子a12和a21的项为 a12a21a33a44 。

1112. 行列式234中（3，2）元素的代数余子式A32=___-2___.

491615783. 设D11112096，则5A14+A24+A44=_______。

34371575解答：5A14+A24+A44=

11112090150

3431a214．已知行列式2300，则数a =____3______.

111ab05．若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有ba00。

101ab0解答：ba0ab(a2b2)0 a=0, b101ba=0

x2236. 设f(x)12x34，则x2的系数为 23 。

213x10001300032

7. 五阶行列式00183___________。

0207530026

0001300032解答：00183(1)231310207532242

3300261a1a2a38. （考研题）多项式f(x)1a1xa2a31a1a2x1a的所有零点

31a1a2a3x2为 x10，x21，x32 。

xbcd9、（考研题）设f(x)bxcd，则方程xdf(x)0的根为x 。

bcbcdx【分析】 f(x)是关于x的四次多项式，故方程f(x)0应有四根，利用行列式的性质知，当xb,c,d时，分别会出现两行相等的情况，所以

行列式为零，故xb,c,d是方程的三个根。

再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为

xbcd，所以当x(bcd)时，满足f(x)0，所以得方程的

第四根x(bcd)。

故方程的四个根分别是：b,c,d,(bcd)。 二、计算题

00L01000M2001、计算DMMMMM02012L000。 20130L00000L002014【分析】方法一：此行列式刚好只有n个非零元素

a1n1,a2n2,,an11,ann，故非零项只有一项：

(1)ta(n1)(n2)1n1a2n2an11ann，其中t2，

(20141)(20142)因此 D(1)22014!2014!

方法二：按行列展开的方法也行。

12342、计算行列式 D23413412。

4123分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).

解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得

1234D2341341241231010101023434141212310

1111234134124123

5、计算行列式

111311的值。

【分析】 行列式特点是各列（各行）元素之和都是a(n1)b，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子a(n1)b，然后各行再减去第一行：

111192712481111111110012101101211020040160

03210004122222223．计算2232的值。 222n1222120022220200解： 22320210

222n020n2200210=2(n2)!

20n2a10000a50a64、计算5阶行列式：D00a900a70a8a3000【分析】 仿照上题的思路。

a1a2D(a9)a5a6a7a8a3a4a1a2(a9)a3a4a5a6

a7a8(a9)a1a2a5a6a3a4a7a84(a9)a200的值。0a4分析 经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，

所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。

43000143006、行列式01430= 。

0014300014分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有

43003000430D15414300143(1)2143001434D431434D43D3

00140014014故有DD23334)355D43(4D3)3(D3D2)3(D2D1)3(16 于是DD5D4534523435543(33)3[(D23)3]3D1333364

111x17.求行列式

11x111x111的值。

x1111【分析】 利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得

111x1x11x1111x111x111x1111x111x111xxx111x1x111x1111x1111111111x1

x00xx0xx0x0xx0xx4x000x00xabbbbbabbb8、计算n阶行列式

Dbbabb。 nbbbabbbbbaa(n1)ba(n1)ba(n1)ba(n1)ba(n1)bbabbbDbabbnbbbbabbbbba1111111111babbb0ab000[a(n1)b]bbabb0b00[a(n1)b]0abbbab000ab0bbbba0000ab[a(n1)b](ab)n1

1a1119.计算行列式D11a2n1，其中a1a2an0 111an【分析】 方法一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。

1a1n111a11a11ai1a1Da120n0ia20na1a2an(1a1)

i1ai10an00an 方法二：利用加边的方法

11101a11Dn1011a2MMM0111i1nLLLO1100Man1bb2b411111a1110MMM1an1010a2M0LLLO0100Man

1ai1a110LL00M00a2LMMO0001aa2a4a1a2Lan(1i1n1)ai1cc2c41dd2d4的值。

10.计算行列式D1a【分析】 利用范作范德蒙行列式D1a2a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，则行x3x43列式D就是行列式D1元素x的余子式M45，即DM45

又D1(xa)(xb)(xc)(xd)(da)(db)(dc)(ca)(cb)(ba)

此式x的系数是

3(abcd)(da)(db)(dc)(ca)(cb)(ba)也为D1中

3元素x的代数余子式A45，因为M45A45

所以，

1Daa21bb21cc21dd2(abcd)(da)(db)(dc)(ca)(cb)(ba)。

a4b4c4d4