2019-2020学年陕西省汉中中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

题

一、单选题 1．i是虚数单位，则A．i 【答案】B

【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

1i（ ） 1iB．-i

C．2

D．-2

1i(1i)22ii． 解：

1i(1i)(1i)2故选：B． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）

A．2，5 【答案】C

B．5，5 C．5，8 D．8，8

【解析】试题分析：由题意得x5，16.8C.

【考点】茎叶图

1(91510y1824)y8，选53．设曲线yax2在点1,a处的切线与直线2xy60平行，则a( ) A．1 【答案】B

2【解析】∵yax，

B．1

C．1 2D．

1 2第 1 页 共 16 页

∴y2ax， ∴y|x12a，

∵曲线yax2在点1,a处的切线与直线2xy60平行 ∴2a2，解得a1．选B．

x2y24．“0k1”是“方程1表示双曲线”的（ ）

2kA．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

x2y2【解析】若方程1表示双曲线，则有k0，再根据充分条件和必要条件的定

2k义即可判断. 【详解】

x2y2因为方程1表示双曲线等价于k0，

2kx2y2所以“0k1”，是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

2k【点睛】

本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.

5．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高二年级共有学生600名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（ ）

A．80 B．90 C．120

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D．150

【答案】D

【解析】根据频率分布直方图计算成绩不低于80分的频率，然后根据频数频率总数可得所求． 【详解】

解：根据频率分布直方图，得；

成绩不少于80分的频率为(0.0150.010)100.25， 所以估计成绩优秀的学生人数为6000.25150． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了频率、频数的计算问题，也考查了数形结合的数学思想，属于基础题．6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据． 单价(元) 销量(件)

4 91 5 84 6 83 7 80 8 75 9 67 ˆ4xaˆ，则x＝由表中数据求得线性回归方程y15元时预测销量为（）

A．45件 【答案】B

B．46件

C．49件

D．50件

$，再令x15求得预测值. 【解析】计算出x,y代入回归直线方程，求得a【详解】

$806.54106，ˆ4x106，ˆ4xaˆ得a依题意x6.5,y80，代入y即y当x15时，$y6010646，故选B. 【点睛】

本小题主要考查回归直线方程过样本中心点x,y，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题.

x2y2x2y27．已知椭圆E：1与双曲线C：21（a0，b0）有相同的焦

112a5点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A．y35x 5B．y第 3 页 共 16 页

5x 3C．y25x 5D．y5x 2【答案】D

【解析】求出椭圆焦点坐标，即为双曲线焦点坐标，再由双曲线中a,b,c的关系求得a后可得渐近线方程． 【详解】

椭圆E的焦点为3,0．故a23254．双曲线C的渐近线方程为y故选：D． 【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查其几何性质．属于基础题．

8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ） A．

5x． 22 2B．3 4C．

2 6D．3 6【答案】C

【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果． 【详解】

解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，

设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

A（1，0，0），M（0，

1，1），B（1，1，0），D（0，0，0）， 2uuuruuuur1，，0， ，DB11AM=（-1，，1）

2第 4 页 共 16 页

1uuuuruuur22， =cos＜AM，BD＞36221所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为故选：C． 【点睛】

本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．

9．正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ） A．

2， 63 6B．6 6C．3 3D．6 3【答案】C

uuurr【解析】建立合适的空间直角坐标系，求出AC和平面SBC的法向量n，直线AC与uuurr平面SBC所成角的正弦值即为AC与n的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出

即可. 【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

有图知SOSAAO222，

2222由题得A1,1,0、C1,1,0、B1,1,0、S0,0,2.

uuuruuuruuurCA2,2,0，BS1,1,2，CS1,1,2.

r设平面SBC的一个法向量nx,y,z， uvvuunBS0xy2z0uv则vuu，，

nCS0xy2z0第 5 页 共 16 页

令z2，得x0，y2，

rn0,2,2.

ruuur设直线AC与平面SBC所成的角为，则sincosn,AC故选：C. 【点睛】

43. 3226本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题. 10．函数f(x)A．a1 【答案】D

0恒成立，运用判别式不大于0，【解析】求出函数的导数，再由单调性，得到f(x)…13x(a1)x在x(,)内是增函数，则（ ） 3B．a1

C．a1

D．a1

解出即可． 【详解】 解：因为f(x)213x(a1)x， 3所以f(x)x(a1)， 因为函数f(x)213x(a1)x在x(,)内是增函数， 3所以f(x)x(a1)0恒成立，所以4(a1)0，解得a1， 故选：D 【点睛】

本题考查函数的单调性及运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．

11．已知函数f(x)x2alnx1在(1,2)内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A．2,8 【答案】A

【解析】求导f′（x）＝2x离参数求值域即可求解 【详解】

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B．2,8

C．,2U8, D．2,8

aa，转化为f′（x）＝2x0在1,2有变号零点，再分xx∵f′（x）＝2x故2xa2，fxxalnx1在1,2内不是单调函数， xa0在1,2存在变号零点，即a2x2在1,2存在有变号零点， x∴2本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．

12．定义在实数集上的可导函数f(x)是偶函数，若对任意实数x都有

f(x)xf(x)1恒成立，则使关于x的不等式x2f(x)f(1)x21成立的数x的2取值范围为（ ）

A．xR|x1 B．(-1，1)

【答案】C

【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围． 【详解】

解：当x＞0时，由fxC．(1,0)U(0,1)D．,1U1,

xf'x＜1可知：两边同乘以2x得： 22xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0； 设：g（x）＝x2f（x）﹣x2，

则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0恒成立； ∴g（x）在（0，+∞）单调递减， 由x2f（x）﹣f（1）＞x2﹣1； ∴x2f（x）﹣x2＞f（1）﹣1； 即g（x）＞g（1）， 即0＜x＜1；

由于函数f（x）是偶函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）﹣（﹣x）2＝x2f（x）﹣x2＝g（x）；

所以g（x）＝x2f（x）﹣x2也是偶函数； 当x＜0时，同理得：﹣1＜x＜0．

综上可知：实数x的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，1）．

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故选：C． 【点睛】

主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．

二、填空题

13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取6030018件，故答案为18． 1000点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．

14．已知f(x)x2ex，曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程为_________ . 【答案】yx1

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案． 【详解】

解：由f（x）＝x2+ex，得f′（x）＝2x+ex， ∴f′（0）＝0+e0＝1．

∴曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1． 故答案为：y＝x+1． 【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础的计算题．15．已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M(1,3)，则其焦点到准线的距离为________. 【答案】

9 2【解析】根据抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点M(1,3),

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可以设出抛物线的标准方程,代入M(1,3)后可计算得p可得答案. 【详解】

9,再根据抛物线的几何性质2因为抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点M(1,3), 所以可设抛物线的标准方程为:y2px(p0),

2将M(1,3)代入可得32p1,解得p29, 2所以抛物线的焦点到准线的距离为p9. 2故答案为:【点睛】

9. 2本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.

1x2y216．焦点在x轴上的椭圆21的离心率e，F，A分别是椭圆的左焦点和右

24b顶点，P是椭圆上任意一点，则PFPA的最大值为___________. 【答案】4

uuuruuurx2y2【解析】由椭圆21焦点在x轴，得a2，A(2,0)，由离心率公式求出c，

4buuuruuur再求出b，利用坐标法求出PFgPA为二次函数，配方法，利用x的范围求出最值．

【详解】

x2y2解：椭圆21焦点在x轴，所以a2，A(2,0)，

4b1c，c1，所以ba2c23，F(1,0) 2auuuruuur设P(x,y)，则PA(2x,y)，PF(1x,y)， 由离心率euuuruuur3x222则PFgPA(2x)(1x)y，因为y3，代入化简得

4uuuruuur11PFgPAx2x1(x2)2，又x2,2，

44uuuruuur当x2时，PFgPA的最大值为4．

故答案为：4． 【点睛】

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考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题．

三、解答题

17．已知Sn为等差数列an的前n项和，且S728,a22. （1）求数列an的通项公式； （2）若bn4an1，求数列bn的前n项和Tn.

n41. 【答案】（1）ann；（2）Tn3【解析】（1）求S728,a22，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列an的通项公式； （2）直接利用等比数列的前n项和公式求出Tn. 【详解】 解：（1）由a2a1d2a11，解得，

d1S77a121d28所以ann. （2）bn4【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力. 18．已知函数f(x)2sin(x（1）求f(x)的单调递增区间； （2）求f(x)在[0,【答案】（1）n1nn1441. ，所以bn的前n项和Tn1436)1(0)的周期是.

2]上的最值及其对应的x的值.

k,kkZ；（2）当x0时，fxmin2；当x336时，fxmax1.

【解析】（1）先由周期为求出2,再根据行求解即可；

22k2x622k,kZ进

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（2）先求出【详解】

62x65,可得12sin2x2,进而求解即可

66（1）解：∵T2,∴2,

又∵0,∴2,∴fx2sin2x∵1, 62622∴2k2x2k,kZ,

33∴2k2x2k,kZ,

6kx3k,kZ,

∴fx的单调递增区间为k,kkZ

36（2）解：∵0x2,∴02x,∴62x65, 6∴1sin2x1, 26∴12sin2x2, 611, 6∴22sin2x当x0时,fxmin2, 当2xππ,即x时,fxmax1 623

【点睛】

本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题

19．已知四棱锥A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD//BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点.

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（1）求证:EF//平面ABC；

（2）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为2，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

1 3【解析】（1）取AC中点G，连结FG、BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF//BG，由此能证明EF//面ABC．

（2）由CD平面ABC，是CMD为DM与平面ABC所成角，以C为坐标原点，

CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值．

【详解】

证明：（1）取AC中点G，连结FG、BG，

QF、G分别是AD、AC的中点，

1FG//CD，且FGCD．

2又QCD//BE，且CD2BE，

四边形BEFG是平行四边形，

EF//BG，EF面ABC且BG面ABC，

EF//面ABC．

（2）QCD平面ABC，

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CMD为DM与平面ABC所成角，

QM为AB的中点，且ACBC2，ACBC，得CM2 QDM与平面ABC所成角的正切值为2，

QCD2，BE1，

以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标， 则B2,0,0， A0,2,0， D0,0,2， E2,0,1，

AD0,2,2， AE2,2,1，

uuuruuurr设平面ADE的法向量为nx,y,z，

uuuvvrn·AD2y2z0v由vuuu，取y2，得n1,2,2， AE2x2yz0n·uuur而平面ACD的法向量为CB2,0,0，

uuurrruuur222CB2n，1223 ngCB2，ruuurruuurngCB1r， 由cosn,CBruuu|n|g|CB|3得平面ACD与平面ADE夹角的余弦值为

1． 3【点睛】

本题考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．

20．已知函数f(x)x3ax1 在x1处取得极值. （1）求实数a的值；

（2）当x[2,1]时，求函数f(x)的最小值.

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3【答案】（1）1；（2）3.

【解析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数a的值；

（2）求导，求出x[2,1]时的极值，比较极值和f(2)、f(1)之间的大小的关系，最后求出函数的最小值. 【详解】

33'2（1）f(x)x3ax1 f(x)3x3a，函数f(x)x3ax1 在x1处

'2取得极值，所以有f(1)03(1)3a0a1；

3'2（2）由（1）可知：f(x)x3x1 f(x)3x33(x1)(x1)，

''当x(2,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(1,1)时，f(x)0，函

3 数f(x)单调递减，故函数在x1处取得极大值，因此f(1)(1)3(1)1 =1，

f(2)(2)33(2)1 =3，f(1)13311 =3，故函数f(x)的最小值为

3.

【点睛】

本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

x2y2221．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，点(2,2)在C上

ab2（1）求C的方程

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

1x2y2【答案】（1）1 （2）kOMk

28422ab24222【解析】试题分析：（Ⅰ）由,221,求得a8,b4,由此可得

a2abC的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得2k1x4kbx2b80.,所以

222xMx1x22kbb2,yMkxMb2,于是22k12k1yM1,kOMk1. xM2k2kOM试题解析：

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22ab24222解：（Ⅰ）由题意有,221,解得a8,b4,所以椭圆C的方程

a2abx2y2为221. 84（Ⅱ）设直线l:ykxbk0,b0,Ax1,y1,Bx2,y2,MxM,yM,把

22xy222ykxb代入2k1x4kbx2b80. 得12284故xMx1x22kbb2,yMkxMb2,于是直线OM的斜率22k12k1kOMyM1,即kOMk1,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. xM2k2【考点】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.

22．已知函数f(x)axlnx,x(0,e],aR. （1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0在(0,e]上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使函数f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）f(x)在0,1上单调递减，在1,e上单调递增；（2）a1；（3）ae2. e 【解析】（1）将a1代入函数的表达式，求出f(x)的导数，得到函数f(x)的单调区间；（2）因为f(x)0在(0,e]上恒成立，等价于alnx在(0,e]上恒成立，即xlnxlnxa，利用导数求函数在(0,e]上的最大值，即可得解； ，令gxxmaxx

（3）先求出函数f(x)的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的值； 【详解】

解：（1）当a1时，f(x)xlnx，f(x)11x1，x0,e， xx令f(x)0，解得：1x„e，令f(x)0，解得：0x1，

函数f(x)在0,1上单调递减，在1,e上单调递增；

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（2）因为f(x)0在(0,e]上恒成立，即axlnx0在(0,e]上恒成立， 等价于a令gxlnx在(0,e]上恒成立， xlnx1lnx1lnxgx0，则0xe， ，则gx，令x2xx21， e即gx在(0,e]上单调递增，gxmaxge1a

e（3）由f(x)axlnx，得f(x)a当a„1ax1，x0,e， xx1时，有f(x)„0恒成立，此时函数在0,e上单调递减， e4（舍去)， efxminfeaelneae13，a当a111时，令f(x)0，解得：xe，令f(x)0，解得：0x，

aea11函数f(x)在0,单调递减，在,e上单调递增，

aa11fxminf1ln3，ae2，

aa综上，ae2时满足条件． 【点睛】

本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，属于中档题．

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