2020中考数学 几何专项突破：等腰三角形和直角三角形(含详解版)

2020中考数学 几何专项突破 等腰三角形和直角三角形（含答案）

典例探究

例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ） A．70° B．55° C．50° D．40°

例2 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ）

A．16 B．20或16 C．20 D．12

例3 已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE＝ ．

例4 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE；

(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．

求证：△AEF≌△BCF．

A A

E B D 图1

C

E B D 图2

F C

巩固练习

1、若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为 .

2．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（ ） A．30° B．36° C．45° D．72°

3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD

4. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

5.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

6.若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形的形状是 ． 7.在直角三角形中，若一锐角为30°，而斜边与30°角所对的边的和为15cm，则斜边的长为（ ）

A、3cm B、 7.5cm C、10cm D、12cm

8. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。 （2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。

9.已知：如图，网格中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上。 求证：△ABC是等腰直角三角形。

CBA

10．如图，在△ABC中，，

，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，

则图中的等腰三角形有（ ）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 11．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空：

（1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； （3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形。

Aa600OPN

4题图

12.如图， △ABC中，CDAB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是

（ ） ①1A，②

CDDB，③B290°，④BC∶AC∶AB3∶∶，45⑤ADCDAC·BDAC·CD

A．1 B．2 ．3 D．4

C 2

1

A

D

B

13.数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画 个．

14.如图，eO是等边三角形ABC的外接圆，eO的半径为2， 则等边三角形ABC的边长为（）

A．

B．

C．

D．

15．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（A．7 B．9 C．12 D．9或12

16．已知等腰三角形的一个内角为等腰三角形的顶角为 （ ）

，则这个

）

A. B.

C.

或

D.

或

17．如图，在等腰三角形ACB中，ACBC5，AB8，D为底边AB上一动点（不与

点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E，F，求DEDF的长．

18.如图，在等腰Rt△ABC中，C90°，AC8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持ADCE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤

C

E

D A

19．在△ABC中，AC=BC，ACB90，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

AA

F

B

DEFHDFCC图1BE图2BH

参考答案

例1 【答案】：D． 【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.

【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.

例等腰三角形的性质；三角形三边关系． 2 ： 分析： 因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类

讨论． 解答： 解：①当4为底时，其它两边都为8，

4、8、8可以构成三角形， 周长为20； ②当4为腰时， 其它两边为4和8， ∵4+4=8，

∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有20． 故选C． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目

一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

例3 【答案】3 【解析】直接求解．另外，也可以过点C作CF⊥DE，根据DE＝2EF，将问题转化为求EF，这又可以通过在Rt△CEF中运用勾股定理或锐角三角函数求解．

例4 【思路分析】(1)证△ABE≌△ACE即可．

(2)△AEF和△BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45°可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等． 【解】证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE， △ABE≌△ACE． ∴BE＝CE．

(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF． 由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF， ∴△AEF≌△BCF．

【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.

巩固练习

1、【答案】50°或80° 2．【答案】B

3. 证明：∵AB∥CD （已知）

∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵OA=OB （已知） ∴∠A=∠B （等边对等角） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD （等角对等边） 4. 【答案】

解：∵AP=PQ=AQ（已知）

∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知）

∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30°

∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°

5.【答案】 证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）

∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质） ∠B=∠DEF（已知）

∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等） 在△BED和△CFE中 ∠BDE=∠FEC中 （已证） BD=CE （已知） ∠B=∠C （已知） ∴△BED≌△CFE （ASA）

∴DE=EF （全等三角形对应边相等） ∴△DEF是等腰三角形 （等腰三角形定义） 6. 【答案】直角三角形 7. 【答案】C

8. 【答案】解：（1）图中还有相等的线段 AE=BF=CD，AF=BD=CE

（2）线段AE、BF、CD绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到线段。 AF、BD、CE绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到。 9.【答案】通过勾股定理计算得到AC=2=BC 10．【答案】A 11．【答案】

（1）a；（2）2a或12.【答案】C 13. 【答案】3 14. 【答案】C 15．【答案】C 16．【答案】C 17．．【答案】3 18.【答案】B 19．【答案】

aaa；（3）＜OP＜2a；（4）0＜OP＜或OP＞2a 222

AADEFHDFCCBB图1E图2解：（1）FH与FC的数量关系是：FHFC． … 1分

证明：延长DF交AB于点G，

由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG∥CB．

∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且DC12AC． ∴DG为△ABC的中位线．

∴DG12BC．

∵AC=BC， ∴DC=DG．

∴DC- DE =DG- DF． 即EC =FG．

∵∠EDF =90°，FHFC，

∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH． ∴ CF=FH． （2）FH与FC仍然相等．

H

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