导数的概念及运算专题练习(含参考答案)

π1

1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′2＝( ) x3

A．－2

π3C．－

π

1B．－2

π1D．－ π

2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0

B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0

3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( ) A．－6 C．6

B．－8 D．8

4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )

A．－1 C．2

B．0 D．4

5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( ) A．1 C．

2

2

B．2 D．3

6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．

7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．

8．(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 1

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4

1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )

1

－，＋∞ A．2C．(0，＋∞)

1

B．[－，＋∞)

2D．[0，＋∞)

17

2．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且

22与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )

A．－1 C．－4

B．－3 D．－2

3．(2019·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．

1

4．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐

x标为________．

9

5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象

2限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

【参考答案】

π1

1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′2＝( ) x3

A．－2

π3C．－

π

1B．－2

π1D．－ π

π11123

解析：选C．因为f′(x)＝－2cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－. 2xxπππ2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0

B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0

1

解析：选C．由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线

x方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( ) A．－6 C．6

解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.

所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14.

又f′(2 018)＝6，所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.

4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )

B．－8 D．8

A．－1 C．2

B．0 D．4

11

解析：选B．由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因

33为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝11

－＝0. ＋3×35．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( ) A．1

B．2

C．

2 2

D．3

1

解析：选B．因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的

x切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝

2

＝2. 26．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．

2

解析：由题意知，y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方

x程为y－0＝2(x－1)，

即y＝2x－2. 答案：y＝2x－2

7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．

解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex， 所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e. 答案：1＋e

8．(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

1

解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－

x1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.

答案：1

9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

f(0)＝b＝0，

(1)由题意得

f′(0)＝－a(a＋2)＝－3，

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0， 1

所以a≠－.

2

11

－∞，－∪－，＋∞. 所以a的取值范围为2210．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 1

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1， 所以直线l的方程为

3y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16，

又因为直线l过点(0，0)，

3所以0＝(3x20＋1)(－x0)＋x0＋x0－16，

整理得，x30＝－8， 所以x0＝－2，

所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13.

所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 1

(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，

4

所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x20＋1＝4， 所以x0＝±1.

x0＝1，x0＝－1，所以或

y0＝－14y0＝－18，

即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.

1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )

1

－，＋∞ A．2C．(0，＋∞)

1

B．[－，＋∞)

2D．[0，＋∞)

2ax2＋11

解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋

xx1

1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故

x选D.

17

2．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且

22与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )

A．－1 C．－4

1

解析：选D.因为f′(x)＝，

x所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，

所以切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

B．－3 D．－2

17

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2. 22

3．(2019·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．

解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.

答案：4

1

4．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐

x标为________．

1

解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)

x111

的导数为y′＝－2(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m>0)，因为两切线垂

xxm直，所以k1 k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．

答案：(1，1)

9

5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象

2限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 9

解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，

2则y1＝kx1，① 9

y1＝－x21＋x1－4，② 29

－2x1＋＝k，③

2

联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)． 1

所以k＝.

2

(2)过P点作切线的垂线， 其方程为y＝－2x＋5.④ 将④代入抛物线方程得，

13

x2－x＋9＝0.

2

设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9， 9

所以x2＝，y2＝－4.

29

，－4. 所以Q点的坐标为2

6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因为f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0， 所以a＝－2.

(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线， 则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)． 因为g′(x0)＝6x0＋6，

2＋6x＋12)＝(6x＋6)(x－x)， 所以切线方程为y－(3x0000

将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.

②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1.

在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.

综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.