《高等代数》(上)题库

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第一章 多项式

填空题

(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是 。

(1.5)2、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。

(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。

(1.7)5、设f(x)=x+3x-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。

(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为

f(x)= 。

(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是 。

(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则 。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则 。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则 。

(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则 。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则 。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则 。

(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则 。 (1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且 则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则 。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是 。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是 。

4

2

答案

1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2

文档

实用标准文案

5432

8、x-6x+15x-20x+14x-4 9、1-i,1+i 1+2,1-2 10、(f(x)h(x),g(x))=1

11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-α|f(x) 20、(f(x),f’(x))=1

文档

实用标准文案

判断并说明理由

(1.1)1、数集abi|a,b是有理数,i21是数域（ ） (1.1)2、数集abi|a,b是整数,i21是数域 （ ）

(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) ( ) (1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） (1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）

(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,则（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x))=1 ( ) 7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))=1 ( )

(1.6)8、设p(x)是数域p上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。 （ ）

(1.9)9、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。（ ） (1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）

(1.1)12、数集n(1.1)11、数集ab2|a,b是有理数2|n为整数是数域 （ ）

是数域 （ ）

(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) (1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x) ( )

(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )

(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）

(1.6)17、若p(x)是f’(x)内的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ） (1.7)18、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ） (1.8)19、奇次数的实系数多项式必有实根。（ ） (1.9)20、 f(x)=x6+x3+1在有理数域上可约。（ ）

答案：1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、√ 7、× 8、√ 9、× 10、

√11、√ 12、× 除法不封闭 13、× 当f(x)是不可约时才成立 14、× 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x时 不成立 15、√ 16、× 17、×如f(x)=xk+1+1 18×、19、√虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约

选择题

(1.1)1、以下数集不是数域的是（ ）

A、abi|a,b是有理数，i2= -1B、 abi|a,b是整数，i2= -1C、ab2|a,b是有理数D、全体有理数

(1.3)2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）

文档







实用标准文案

A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)

B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)

C、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则/ f(x)|h(x) D、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)

(1.4)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ） A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1

B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式

C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式

D、若(f(x)g(x),h(x))=1，则(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（ ） (1.7)4、关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ） A、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。

B、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。

C、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。 D、一个三次实系数多项式必有实根。

(1.6)5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）

A、若f(x)是f’(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式

B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，f’(x)的公因式 C、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式

D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是

f(x)的单因式 (f(x),f(x))(1.7)6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）

A、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)

B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约 C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根 D、一个三次的实系数多项式必有实根

(1.7)7、设f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=（ ） A、1 B、-1 C、±2 D、0 (1.9)8、设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。 A、1 B、0 C、-1 D、3或-5

(1.9)9、设f(x)=x3-tx2+5x+1是整系数多项式，当t=（ ）时，f(x)在有理数域上可约。

A、t=7或3 B、1 C、-1 D、0

(1.9)10、设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。

A、1 B、-1 C、0 D、5或-3

(1.5)11、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ） A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c≠0 C、p(x)是任何数域上的不可约多项式 D、p(x)是有理数域上的不可约多项式

(1.9)12、设f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）

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实用标准文案

A、f(x)在有理数域上 不可约 B、f(x)在有理数域上 可约 C、f(x)有一实根 D、f(x)没有有理根

(1.9)13、设f(x)=xp+px+1,p为奇素数，以下结论正确的是 （ ） A、f(x)在有理数域上 不可约

B、f(x)在有理数域上 可约 C、f(x)在实数域上 不可约 D、f(x)在复数域上 不可约

答案：

1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B 13、A

计算题

(1.3)1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2

3mp150解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即

m60求得m= -6 p=3

(1.6)2、判断f(x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数 解：f’(x)=4x3-12x+8 (f(x),f’(x))=(x-1)2

x-1是f(x)的三重因式

(1.7)3、设f(x)=x4-3x3+6x2-10x+16, C=3，求f(c)

解：用综合除法求得f(c)=40

(1.7)4、决是t的值，使f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根

15解J：由辗转除法使（f(x),f’(x)）≠求得t=3 或t=当t=3时 f(x)有三

4151重根1 当t=时，f(x)有二重根-

425432

(1.9)5、设f(x)=x+x-2x-x-x+2，求f(x)的有理根，并写出f(x)在实数域和复数域上

的标准分解式。

解：有理根是1（二重），2 实数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)

复数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+

4

2

3131i) -i)(x+2222(1.9)6、求f(x)=4x-7x-5x+1的有理根，并写出f(x)在有理数域上的标准分解式。

11解：有理根为（二重）分解式为f(x)=4(x+)2(x2-x-1)

225432

(1.9)7、求f(x)=x+x-6x-14x-11x-3的有理根，并写出f(x)在复数域上的标准分解式

解：有理根为－1（四重）3，分解式f(x)=(x+1)4(x-3)

(1.8)8、已知i, z-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根，求f(x)的全部根

1解：全部根为 i,-i,2-i,2+i, 

2(1.8)9、求以1-i, i为根的次数最低的复系数多项式f(x)

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实用标准文案

解：f(x)=x2-x+(1+i)

(1.8)10、求以1为二重根，1=I为单根的次数最低近的实系数多项式f(x).

解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+2

(1.8)11、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。

解：全部根为1+i,1-i,1+2,1-2

证明题

f（1）f(1)f(1)f(1) x22证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b

f(1)f(1)f(1)f(1)求得a= ,b22(1.3)2、证明，h(x)(f(x),g(x))=(f(x)h(x),g(x)h(x))，其中h(x)是首项系数为1的多项式。

证明：设（f(x),g(x)）=d(x) ，则h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x)，又存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是 h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x))

(1.4)3、证明，如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x))=1，则f(x)|h(x)

证明：由(f(x),g(x))=1,存在u(x),v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,从而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以f(x)|h(x)

(1.4)4、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x))

证明：(f(x)+g(x))=d(x) 则d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 设d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任一公因式 则d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),从而d1(x)|d(x) 得证

(1.3)1、试证用x2-1除f(x)所得余式为

(1.5)5、证明，g(x)|f(x)的充分必要条件是g2(x)|f2(x)

证明：设f(x)=g(x)h(x), 则f2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，设g2(x)|f2(x),将f(x),g(x)分解f(x)= aP1l1(x)…psls(x),g(x)=bp1r1(x)…psrs(x) 其中，li ri为非负整数，pi(x)为互不相同的可约多项式那么f2(x)=a2p12l1(x)…ps(x),g(x)=bp1(x)…ps(x) 由g(x)|f(x),必有2ri≤2li,即ri≤li于是g(x)|f(x)。

(1.7)6、设f(x)=anxn+an-1xn-1…+a1x+a0有n个非零根，α1α2αn，证明g（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的n个根。 证明：设α为f(x)的任非零根，则 f(α)=anαn+an-1αn-1+…+a1α+ao=0

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2ls

2

2

2r1

2rs

2

2

112,1,,1n是

实用标准文案

g(

11n1n-111nnn-1

)=a0()+a1()+…an-1()+an=()(anα+an-1α+…+a1α+ao)=0所以是g(x)的根得证

1(1.5)7、设p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式

证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p1(x)p2(x) 其中 (p1 (x)) < (p(x)),  (p2(x))<  (p(x)) 显然p(x)|p1(x)p2(x) 但p(x)|P1(x), p(x)|p2(x) 这与题设矛盾，即p(x)是不可约的。

(1.5) 8、设p(x)是数域p上不可约多项式，f(x)是p上任一多项式，那么p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1

证明：设（p(x),f(x)）=d(x) 则d(x)|p(x) 由p(x)不可约，知d(x)=cp(x)， c≠0，或d(x)=1

当d(x)=cp(x)时，就有p(x)|f(x) (1.5)9、设p(x),q(x)是数域p上两个不可约多项式，证明（p(x)q(x)=1或p(x)=(q(x)) c≠证明：因p(x),q(x)皆不可约，故有(p(x),q(x))=1 或p(x)|q(x)且q(x)|p(x)即p(x)=cq(x)

(1.7)10、证明，如果x2+x+1|f1(x3)+xf2(x3)那么x-1|f1(x), x-1|f2(x) 证明：x-1=(x-1)(x+x+1)

设ω1,ω2是x2+x+1的根，则有ω31=1，ω32=1，且ω1,ω2为f1(x3)+xf2(x3)的根，那么有

f1(1)+ω1f2(1)=0 f1(1)+ω2f2(1)=0

因ω1≠ω2 解得f1(1)=0 f2(1)=0

即 x-1|f1(x), x-1|f2(x)

(1.9)11、设f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系数多项式证明，如果a0，an均为奇数，f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根

u证明：若f(x)有有理根，（u,v互素），则v|an u|a0,知u,v均为奇数，由u-v|f(1)，

vu+v|f(-1)知f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所以f(x)无有理根。

3

2

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实用标准文案

第二章 行列式

填空题

(2.2)1、n级排列u(n-1)…2 1的逆序数是 。

(2.2)2、如果排列i1’i2’…in的逆序数是k,则排列in’n-1…l’2l’1的逆序数是 。

2111121111211112(2.4)3、

(2.3)4、

xxxa4000a4xxa3000a3xx1xxa2000a2xxa1000a10xxx12x21x

(2.3)5、

5x12323中x3的系数为(2.3)6、f(x)

122x2xx12x11(2.3)7、

131x11中x3的系数为

(2.4)8、若行列式中每一行元素之和都等于零，则行列式的值为 。

1(2.4)9、

110a301011a200001a11a1a2

00a41100(2.4)10、

11a301a4

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实用标准文案

(2.2)11、在全部n级排列中，偶排列的个数为

(2.2)12、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列，则i= k=

120(2.6)13、512中2的代数余子式是123120

(2.6)14、512中5的代数余子式是123

(4.2)15、设A为5级方阵，且|A|=1,则|-2A|= 。 (4.2)16、设A为5级方阵，且|A|=2,则|-2A|= 。 (2.3)17、6级行列式中项a32 a43 a14 a51 a66 a25的符号为 。 (2.3)18、6级行列式中，项a43 a32 a51 a14 a26 a56的符号为 。

1abc(2.4)19、1bca1cab111

(2.4)20、a1b1c1bc1ca1ab11

1(2.5)21、△=212中1131 则△= 。

21（2.5）22、△=1212中1131 则△= 。

答案：

1、

n(n1)n(n1) 2、-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0，22n!9，a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、 12、i=8,k=3 13、-4 14、-6 15、

1-32 16、-64 17、正 18、负 19、(b-a)(c-a)(c-b) 20、(b-a)(c-a)(c-b) 21、0 22、-3

判断题

(2.4)1、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）

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实用标准文案

(2.3)2、6级行列式中，项a32 a45 a51 a66 a25带负号 （ ）

a11a12a1na12a1na11(2.4)3、设d=

a21a22a2n则a22a2na21=d（ ）

an1an2annan2anan1a11a12a1na21a22a2n(2.4)4、设d=

a21a22a2n则ad（ ）

n1an2annan1an2anna11a12a1n000a(2.3)5、

00bx0cyyabcd ( )

dzzzxyza(2.3)6、

xyb0xc00abcd （ ）

d000abcd(2.3)7、

00ef00gh0 （ ） 00xya000(2.4)8、

b000cegxa(gyhx) （ ） dfhy1234(2.4)9、

567811110 （ ） 103710(2.3)10、若n级行列试D中等于零的元素的个数大于n2-n，则D=0 （(4.2)11、设A为n级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) (4.2)12、设A为n级方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n2 （ ）

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） 实用标准文案

00ba(2.8)13、

00abba00(b2a2)2 （ ）

ab00ab00(2.8)14、

ba00200ab(ab2)2 （ ）

00bacadb(2.4)15、acdbacbd0 （ ）

cabd3111(2.4)16、

1311113148 （ ） 1113a1a2a3a4(2.3)17、设D=

b1b2b3b4c1c2c3c则a3 b2 c1 d3是D的一项。（ 4d1d2d3d4a1a2a3a4(2.3)18、设D=

b1b2b3b4c1c2c3c，则项a3 b4 d1 c2带正号。（ 4d1d2d3d4(2.3)19、如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整数。（ (2.3)20、如果行列D的元素都是自然数，则D的值也是自然数。（a1(2.3)21、

a2a1a2an （ ）

an01000020(2.3)22、=n！ （ ）

000n1n000文档

） ） ））

实用标准文案

答案：

1、√ 2、× 3、× 4、× 5、√ 6、× 7、√ 8、× 9、√ 10、√ 11、× 12、√ 13、√ 14、√ 15、√ 16、√ 17、× 18、× 19、√ 20、× 21、× 22、×

单项选择题

(2.2)1、排列n(n-1)…2 1 的逆序数为 （ ） A、n-1 B、

n(n1)2 C、n D、n(n1)2 (2.2)2、如果排列i1i2…in的逆序数是k,则排列inin-1…l’2l’1的逆序数是

A、k B、n-k C、

n(n1)n2k D、(n1)2k (2.2)3、关于n级排列i1i2…in,以下结论不正确的是（ ）

A、逆序数是一个非负整数 B、一个对换改变其奇偶性 C、逆序数最大为n D、可经若干次对换变为12…n

(2.2)4、关于排列n(n-1)…2 1的奇偶性，以下结论正确的是 （ A、当n为偶数时是偶排列

B、当n为奇数时是奇排列

C、当n=4m或n=4m+2时是偶排列

D、当n=4m或n=4m+1时是偶排列，当n=4m+2或n=4m+3时奇排列 (2.3)5、以下乘积是5级行列式的项，且符号为正的是（ ） A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12 a23

C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51

a1a2a3a4(2.3)6、以下乘积是

b1b2b3b4c1c2cc的一项是符号为负的是（ ）34d1d2d3d4A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2 b1 d3 c4 D、a1 b2 c3 d4

a11a12a1na12a1na11(2.4)7、设d=

a21a22a2na22a2na21则

= （ ）an1an2annan2annan1 A、d B、-d C、(-1)nd D、(-1)n-1d

a11a12a1n(2.4)8、设d如上，则

aa= （ ）

n1n2amna11a12a1n文档

） ）

（ 实用标准文案

A、(-1)nd B、(-1)n-1d C、d D、-d

an1an2annan1,1an2,2an1,n(2.4)9、设d如上则()

a21a22a2na11a12a1nn(n1) A、d B、-d C、(1)2d D、(-1)n-1d

120(2.6)10、512中，5的代数余子式是 （ ）

123 A、5 B、-5 C、-6 D、6

120(2.6)11、512中，-2的代数余子式是 （ ）

123 A、 2 B、-2 C、4 D、-4

12(2.4)12、设131则112= ( ) 21 A、-3 B、0 C、3 D、1

12(2.4)13、设131则21=（ ）

21 A、1 B、0 C、-1 D、

0001000200(2.3)14、=（ ） n100000000n A、n! B、1n(n1)n! C、1n(n1)(n2)22n! D、(-1)n

n!

(4.2)15、设A为n级方阵，且|A|=2，则|-3A|=（ ） A、-6 B、6 C、2 (-3)n D、2n（-3）n

(4.2)16、设A为n级方程，且|A|=3，则|-2A|=（ ） A、-6 B、6 C、(-2)3n D、(-2)n3

(4.2)17、设A为n级方阵，|A|=2,则|-A|= （ ） A、-2 B、(-1)n2 C、2 D、-2

(4.4)18、设A为n级方阵，A*是A的伴随矩阵，则当|A|= -2时|A*|=（文档

）

实用标准文案

A、2 B、-2 C、（-2）n D、（-2）n-1

2x1(2.4)19、设3x21=0，则x=（ ）

4x31 A、1 B、0 C、1或0 D、-1

111(2.4)20、设xx2x3=0，则 x= （ ） 123A、1或0 B、1 C、0 D、-1

2xx21(2.3)21、f(x)=

1x11321x中，x3的系数是 （ ） 11x1 A、4 B、2 C、-1 D、1

a0010a00(2.5)22、Dn==( )

00a0100a A、an-1 B、an+1 C、an-2-1 D、an-an-2

0abc0111(2.4)23、设Da0cb10c2b21=bc0a， =

1c20a2则D1与D2的关系为 （ cba01b2a20A、D111= D2 B、D2=（abc）D1 C、D2(abc)D1 D、D2(abc)2D1a00b(2.6)24、

0a0000a0=（ ）

b00aA、a4(a4-b2) B、a4(a4+b2) C、a4(a2-b2) D、a2(a2-b2)

0a00(2.6)25、

bc0000de=（ ）

000fA、abcdef B、-abdf C、abdf D、edf

文档

）

实用标准文案

答案：

1、B 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C 11、D 12、A 13、B 14、C 15、C 16、D 17、B 18、D 19、C 20、A 21、D 22、A 23、 24、D 25、B

计算题

1234(2.5)1、d=

234134124123

解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）减去第一行（列） d=160

1x11x110a0111y100010a1111y111a(2.5)2、d=

解按第一列（行）拆成两个行列式之和 d=x2y2

01(2.6)3、Dn=



解：按一行列（行）展开 Dn=an-2(a2-1)或由接拉普拉斯定理，按第1，n行（列）展开

2x1x113=0 2(2.5)4、求x的值使3x21+x214x31x31x11左式=x216=5x2(x-1) 故x=0 或x=1

x31611(2.5)5、023n100n00

1022000n11n(n1)! 2解：各列各到第一列，（-1）n-1

xaxaaax(2.5)6、Dn=

aa

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实用标准文案

解：各行（列）都加到第一行（列）后，各列（行）减去第一列（行）Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1

ab0000ab00(2.6)7、Dn=

0b0000a0ba解：按第一列展开 Dn=an+(-1)n+1bn

a01(2.6)8、Dn+1=

111a100110 00a20ann解：从第2，3，n+1列分别提出a1,a2，…，an后，第一列减去各列Dn+1=a1 a2…an(a0-i11) ai13(2.6)9、Dn=3323333333

333n解：各行（列）减去第3行 Dn=6(n-3)! (2.5)10、解关于x的方程

a1D(x)=

a2anan=0, 其中ai≠aj i≠j a1≠0

a1a1aixa1a1a2a2an1anxan0=a1(a1-x)… （an-1-x） 所以x=a1,a2，an-1或者：

解：D（x）=

0a1x00an1x因为D（ai）=0 i=1，…, n-1 所以，x=a1,a2, …,an-1

111a11(2.5)11、Dn=a12a1a1n1a1n2文档

a212a2a2n1n2a2a2an12anan n1n2anan实用标准文案

解从第二行起，各行减去上一行，得一范得蒙行列式Dn=

321321

32131jin(ai-aj)

(2.6)12、Dn=

解：按第一行展开Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-Dn-1=2(Dn-1-Dn-2) 继续下去，Dn-Dn-1=2n-2(D2-D1) D2-D1=22 Dn-Dn-1=2n又按第一列展开Dn=3Dn-1-2Dn-2

n+1

Dn-2Dn-1=Dn-1-2Dn-2=…D2-2D1=1 解得 Dn=2-1

或用归纳法 D1=3=22-1 Dn=3Dn-1-2Dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1

ana1c1cnb1d1dnnbn(2.8)13、D2n=

解：由拉普拉期定理，按第n，n+1列展开得(aidibici)

i1证明题

c(2.4)1、证明

ca1anncn1(zaibi)其中c0 bni10b1证明：将第i行乘以ai后加到第n1行ci1,,n

1a11111a21(2.5)2、证明111a311111n1a1a2an(1i11an1 )其中ai0i1,2,,nai文档

实用标准文案

证明：按第一列拆成两个行列式的和，再用逆堆法Dn=a1Dn-1+a2…an=a1Dn-1+

a1a2an a1a1Dn-1=a1a2Dn-2+

a1a2anaaan… a1a2…an-2D2=a1a2… an-1D1+12 各式相加得证。 a3an1(2.5)3、设b，a0，a1，…，an是n+2个互不相同的数，且a0≠0

a0a0f(x)=a0a0a1xa1a1a2a2xa2ananan证明（x-b，f(x)）=1 xa20xa20an0n0=a0(x-ai) 因为b,a0, a1,… ，an互

i1xana0a10xa10证明：f(x)= 000不相同，且a0≠0 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b，f(x))=1

a0a1a2an1an1x0000x00000x00001x1(2.6)4、证明Dn+1=

=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

证明：按第一行展开Dn+1=aoxn+Dn继续下去即得

1(2.6)5、D（x）=

xa1x2a12xn1a1n1其中ai≠a，i≠j，证明，D(x)是一个关于x

11an12n1anan11的n-1次多项式，并求D(x)的根。

证明：因为展开式中每一项含且仅含第一行的一个元素，所以D（x）是一个关于x的

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n-1次多项式。D(x)是一个范得蒙行列式 D(x)=i=1,2,…,n所以d(x)的根为a1，a2，…，an

1jin (x-ai)(ai-aj) D(an)=0

(2.7)6、设a1，a2，…，an是数域P中互不相同的数，b1，b2，…，bn是数域P中任一组数，证明，存在P上的唯一的多项式f(x)=Cn-1xn-1+Cn-2xn-2+…+C1x+C0 使得f(ai)=bi i=1,2，…，n

证明由f(ai)=bi,得一线性方组，其系数行列式是一范得蒙行列式，且为不0，从而有唯一解C0,C1,…Cn-1

(2.7)7、设a1，a2，…，an，是数域P中互不相同的数，f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c是P上一个n-1次多项式，说明，如果f(ai)=0,i=1，2，…，n，则f(x)必为零多项式。 证明：由f(ai)=0，得一齐次线性方程组，其系数行列式为一范得蒙行列式，且不为0方程组只有零解，即C0，C1，…，Cn-1全为0，即f(x)为零多项式。

aba0(2.7)8、证明Dn=

00baba000b000a000an1bn1其中ab abbabab00ab证明：按第一列展得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2写成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)可推出

an1bn1Dn-aDn-1=b(D2-aD1)=b 同理有Dn-bDn-1=a，解得Dn=

abn-2

n

n

ab10(2.6)9、证明Dn=

00abab1000ab0001000an1bn1其中ab abababab00ab证明Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2写成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)即Dn-aDn-1=bn同理Dn-bDn-1=an 由a≠b，

an1bn1消去Dn-1得Dn=

ab文档

实用标准文案

01101x1x1x(2.6)10、证明Dn=

1x0xx(1)n1(n1)xn2其中x0

11xxxx0xx0证明：将第一列的-x倍加到其他各列，再从第2,3，…，n列提出x后都加到第一列便得。

523503000002500(2.7)11、证明Dn=3n12n1

0000005235证明：Dn=5Dn-1-3·2Dn-2 写成Dn-3Dn-1=3(Dn-1-3Dn-2)=2n 同理 Dn-2Dn-1=3n 解得Dn=3n+1-2n+1

211201000001200(2.7)12、证明Dn=n1

0000002112证明：Dn=2Dn-1-Dn-2写成Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2可得Dn-Dn-1=…D2-D1=1相加得Dn=n+1

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第三章 线性方程组

填空

(3.3)1、一个向量线性无关的充要条件是这个向量为 。 (3.3)2、两个非零n维向量线性相关的充要条件是它的 。 (3.3)3、秩为r的向量组中任意r+1个向量都线性 。 (3.3)4、线性无关的向量组中任意一部分向量都线性 。 (3.4)5、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式等于 。 (3.5)6、线性方程组AX=B有解的充要条件是 。

xx20(3.4)7、当λ= 时，齐次线性方程组1有非零解。

x2x021(3.6)8、设线性方程组AX=B有解，并且AX=0的基础解系为X1、X2,特解为X0，则AX=B

的任一解可表为 。

(3.6)9、若n元齐次线性方程组AX=0满足r(A)= r，则AX=0的基础解系中有 个解向量。

(3.6)10、在线性方程组AX=B有解的条件下，解释唯一的充分必要条件是AX=0 (3.4)11、矩阵A的秩为0的充要条件是A= 。

(3.4)12、设矩阵A中有一个r阶子式不为0则r(A) ， 设矩阵A中所有的r+1阶子式全为0则r(A)

答案

1、非零向量 2、分量成比例 3、相关 4、无关 5、0 6、r(A)=r(AB) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2为任意数) 9、n-r 10、只有零解 11、0 12、≥r ＜r+1

判断题。

(3.3)1、若向量组的秩为r，则其中任意r个向量都线性无关。（ ） (3.3)2、若向量组的秩为r，则其中任意r+1个向量都线性相关。（ ） (3.3)3、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。（ ）

(3.3)4、当a1=a2=…ar=0时，有a1α1+a2α2+…+arαr=0, 那么α1,α2,…,αr线性无关。（ ）

(3.3)5、若向量组α1,α2,…,αm中每一个向量都不是其余向量的线性组合，那么α1,α2,…,αm线性无关（ ） (3.3)6、 若向量组α1,…,αr线性无关，且αr+1不能由α1,…,αr线性表出，那么α1,…,αr,αr+1也线性无关（ ）

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(3.3)7、若向量组α1，…，αr线性相关，则它的任意一部分向量也线性相关。（ ） (3.3)8、若向量组α1，…，αr线性无关，则它的任意一部分向量也线性无关。（ ） (3.4)9、在秩为r的矩阵中，一定存在不为0的r-1级子式。（ ） (3.4)10、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式均为0。（ ） (3.5)11、若线性方程组AX= B中，方程的个数小于未知量的个数，则AX=B一定有无穷多解。（ ） (3.5)12、若线性方程组AX=B中方程的个数等于未知量的个数，则AX=B有唯一解。（ ） (3.5)13、若线性方程组AX=B的方程的个数大于未知量的个数，则AX=B一定无解。 （ ）

(3.6)14、若线性方程组AX=B的导出组AX=0有穷多解，则AX=B有无穷多解。（ ） (3.6)15、若线性方程组AX=B的导出组AX=0只有零解，则AX=B有唯一解。（ ） (3.6)16、若矩阵A的行向量组线性无关，则方程组AX=0只有零解。（ ） (3.6)17、若矩阵A的列向量组线性无关，则方程组AX=0只有零解。（ ） (3.6)18、任意一个齐次线性方程组AX=0都有基础解系。（ ） (3.6)19、任意一个非齐次线性方程组AX=B都不存在基础解系。（ ） (3.6)20、若n元齐次线性方程组AX=0满足r(A)=r＜n则它有无穷多个基础解系。（ ）

答案：

1、× 2、√ 3、× 4、× 5、√ 6、√ 7、× 8、√ 9、√ 10、√ 11、× 12、× 13、× 14、× 15、× 16、× 17、√ 18、× 19、 √ 20、√

单选

(3.3)1、若向量组α1,α2,…,αr线性相关，则向量组内（ ）可被该向量组内其余向量线性表出。

A、至少有一个向量 B、没有一个向量 C、至多一个向量 D、任何一个向量 (3.3)2、向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），

（1，2，1），（3，0，1）的秩为（ ）。

A、3 B、2 C、4 D、5

11011100(3.3)3、设向量组α1=,α2=,α3=,α4=，则极大无关组为（ ）。

10111010A、α1,α2 B、α1,α2,α3 C、α1,α2,α4 D、α1

(3.5)4、设A A，分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解,则（ ）。

A、r(A)=r(A) B、r(A)＜r(A) C、r(A)＞r(A) D、r(A)＝r(A)-1 (3.6)5、若线性方程组AX=B的导出组AX=0只有零解，则AX=B（ ）。

A、可能无解 B、有唯一解 C、有无穷多解 D、也只有零解 (3.5)6、以下结论正确的是（ ）

A、 方程的个数小于未知量的个数的线性方程组一定有解 B、 方程的个数等于未知量的个数的线性方程组一定有唯一解

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C、 方程的个数大于未知量的个数的线性方程组一定有无穷多解 D、A、B、C均不对

(3.3)7、以下结论正确的是（ ）

A、 对向量组α1,α2,…αr,若k1α1+k2α2+…+krαr=0就有k1=k2=…kr=0，则称α1,α2，…，

αr线性无关

B、 若有一组不全为0的数λ1，λ2，…，λr使λ1α1+λ2α2+…，λrαr≠0，则向量组

α1，α2，…，αr线性无关

C、 若α1，…, αr线性相关，则其中每一个向量都可由其余向量线性表出。

D、 若有全为0的数k1=k2=…=kr=0使k1α1+k2α2+ …+krαr=0，则α1, α2，…，αr线性

无关。

x12x31(3.5)8、设线性方程组AX=B的一般解为（x3是自由未知量），则（ ）

x3x1323A、 只有令x3=0才能求出AX=B的特解。 B、令x3=1求得特解为2

51C、令x3=2求得特解为5 D、令x3=0求得特解为1

2(3.6)9、设A为n×n矩阵，且齐次线性方程组AX=0只有零解，则对任意n维列向量B，方程组AX=B（ ）

A、有无穷多解 B、无解 C、有唯一解 D、只有零解

(3.6)10、设齐次线性方程组AX=0有无穷多解，则对任意n维列向量B，方程组AX=B （ ）

A、有无穷多解 B、可能无解 C、有唯一解 D、只有零解

答案：

1、A 2、A 3、B 4、D 5、A 6、D 7、A 8、C 9、C 10、B

计算题（解答题）

(3.6)1、问向量组α1=(1,-2,1,0,0) ,α2 =(0,0,-1,1,0) ,α3=(4,0,0,-6,2) 是不是齐

x1x2x3x4x503x2xxxx02345次线性方程组1① 的一个基础解系？为什么？

x2x2x6x023455x14x23x33x4x50解答：

是基础解系。

∵可验证①的系数矩阵的秩为2，∴基础解系中含有3个解向量，又易知α1,α2,α3是①的3个线性无关的解，故α1,α2,α3可作为①的基础解系。

(3.6)2、问向量组α1=(1,-2,1,0,0) ，α2=(0,0,1,-1,0) ，α3=(1,-2,3,-2,0)是不是齐次线性方程组

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x1x2x3x4x503x2xxxx012345 ① 的一个基础解系？为什么？ x22x32x46x505x14x23x33x4x50解答：

不是基础解系

∵α3=α1+2α2 ∴α1,α2,α3线性相关。

(3.5)3、λ为何值时，下列方程组有解？有解时，求出解。

2x1x2x3x41x12x2x34x42 x7x4x11x2341解答：

150164211112111 →3105→3105 1214233由 1741193015400005x233x15x4可得λ=5时有解，且它的一般解为

45x6x14x3 x1,x4为自由未知量。

(3.6)4、用线性方程组的特解及导出组的基础解系表示出一般解。

2x1x2x3x41x12x2x3x42 xx2xx32341解答： 由

211111211211213→

211113300310302→

211111100110302→

101100021211001→01303 103021030232x13x333可得导出组为x23x3， 基础解系为α=， 特解为γ0=， 所以一般解为

10x2x3422γ0+kα。（k为任意数）

(3.3)5、试判断向量组 α1=（4，3，-1，1，-1）

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实用标准文案

α2=（2，1，-3，2，-5） α3=（1，-3，0，1，-2） α4=（1，5，2，-2，6） 的线性相关性。 解答：

设有x1,x2,x3,x4,使得 x 1α1+x2α2+x3 +x4α4=0

2112121241123305611135135则由130213020110

121242110639152615260314

12121212011011000011110011，可得α1，α2，α3，α4线性相关。

0000009900000044证明题

(3.3)1、设在向量组α1,α2,…,αm中α1≠0，且每一个α（都不能由α1,α2,…,ii=2,…,m）

αi-1线性表出，证明：此向量组线性无关。 证明：设有等式k1α1 +k2α2+…+kmαm=0， ∵αm不能由α1，…,αm-1线性表出，∴km=0。上式为k1α1+…+km-1αm-1=0，同理，αm-1不能由α1，…，αm-2线性表出，故km-1=0。依此类推最后得k1α1=0,又α1≠0,k1=0，因此α1，α2，…,αm线性无关。 (3.3)2、设向量β可由向量组α1,α2,…αr线性表出，但不能由α1,α2,…，αr-1线性表出，证明：αr能由α1，…，αr-1，β线性表出，但不能由α1,…，αr-1线性表出。

证明：由题设

β=K1α1+K2α2+…+Krαr，但β不能由α1，…，αr-1线性表出，∴Kr≠0αr可由α1,…，αr-1，β线性表出。假设αr可由α1，α2，…，αr-1线性表出，即αr=a1α2+…+ar-1αr-1把它代入β= K1α1+K2α2+…+Krαr整理得β可由α1，…，αr-1线性表出。矛盾。 (3.3)3、设α1,α2,…，αn线性无关，且β=α1+α2+…+α（证明：β-α1,β-α2,…，nn>1）β-αn也线性无关。 证明：设有等式

K1（β-α1）+K2（β-α2）+…+Kn(β-αn)=0即

（K2+…+Kn）α1+( K1+K3…+Kn) α2+…+（k1+…+kn-1）αn=0 ∵α1, α2,…, αn线性无关,∴得

01111k2k3kn1kn010111kkkk013n1n系数行列式11011(1)n1(n1)0 k1k2k3kn1011110文档

实用标准文案

∴齐次线性方程组只有零解，即K1=K2=…=Kn=0，故β-α1 ，β-α2，…，β-αn线性无关。

a11a12a1n1a1n(3.5)4、设n阶行列式

a21an1a22a2an2ann1a2nannn1≠0

a11x1a12x2a1n1xn1a1naxaxa2112222n1xn1a2n证明线性方程组无解。

an1x1an2x2ann1xn1ann证明：∵行列式≠0， ∴方程组的增广矩阵的秩为n，但方程组中只有n-1个未知量，∴系数矩阵的秩≤n-1，即系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩，∴方程组无解。 (3.6)5、设齐次线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn的系数行列式D=0，而D中某一元素aij的代数余子式Aij≠0，an1x1an2x2annxn0证明：这个方程组的每一解都可写成（kAi1,kAi2,…，kAin）的形式，这里k为任意数。 证明：∵D=0，∴所给齐次线性方程组有非零解，又∵某一元素aij的代数余子式Aiy≠0，∴系数矩阵的秩为n-1，因此基础解系中只含有一个解向量。

0由ak1Ai1+ ak2Ai2+…+ aknAin=D0ikik，可得（Ai1,Ai2,…,Ain）为其一个解，又Aij≠0，

∴它是一个非0解，于是（Ai1,Ai2,…,Ain）可作为基础解系，∴这个方程组的任一解都可写成（KAi1,KAi2,…，KAin）的形式。（K为任意数） (3.6)6、设线性方程组AX=B有解

证明：AX=B有唯一解的充要条件是导出组AX=0只有零解。 证明：

必要性：若导出组有非零解，那么这个解与原方程组AX=B的一个解的和是其另一个解，∴AX=B不止一个解。

充分性：若AX=B有两个不同的解，那么它们的差是导出组AX=0的一个非零解，∴若导出组只有零解，那么AX=B有唯一解。

第四章 矩阵

填空。

(4.3)1、设A为n阶方阵，则|-2A|= |A|。 (4.3)2、设A，B为两个三阶方阵，且|A|= -1，|B|=2,那么|（A′B-1）2|= 。

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实用标准文案

(4.2)3、若A+BC-X=2E，则X= 。

12, B=120, 则（A+B′）′= 。 01(4.2)4、设A=31113(4.2)5、设A,B是可逆矩阵，则矩阵方程C+A′XB=D的解X= 。

001,则A1020(4.4)6、设A=3000(4.5)7、设A，B是两个可逆矩阵，则B

A10

ab(4.4)8、设A=,则A*cd

cos(4.4)9、设A=sinsin,则A1cos

(4.4)10、设A可逆，则数乘矩阵KA可逆的充要条件是 。

(4.4)11、设|A|=a≠0，则|A-1|= 。

(4.4)12、设A，B为n阶可逆矩阵，则（AB）-1= 。

答案：

1、（-2） 2、

n

0211-1-1

3、A+BC-2E 4、 5、(A′)(D-C)B 45221003106、00 7、12A1001-1-1

11、 12、BA

aB1dbcos 8、 9、sinca0sin 10、K≠0

cos判断题

(4.4)1、若A，B都不可逆，则A+B也不可逆。 （ ）

(4.4)2、若A，B都可逆，则A+B也可逆。 （ ） (4.4)3、若AB可逆，则A，B都可逆。（ ）

(4.4)4、若AB不可逆，则A，B都不可逆。 （ ） (4.2)5、对任意矩阵A，A′A是对称矩阵。 （ ）

(4.3)6、四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4。 （ ） (4.2)7、2A-AB=A（2-B） 。 （ ） (4.3)8、|A+B|=|A|+|B| 。 （ ）

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实用标准文案

(4.2)9、若AB=0，则A=0或B=0。 （ ） (4.2)10、若AB=0，且A≠0，则B=0。 （ ） (4.2)11、若AB=AC，且A≠0，则B=C 。 （ ） (4.4)12、若AB=AC，且|A|≠0，则B=C 。 （ ） (4.2)13、（A+B）（A-B）=A2-B2 。 （ ） (4.2)14、若AB=BA ，则（AB）n=AnBn。 ( ) (4.4)15、若AB=E，则B=A-1，A=B-1。 （ ） (4.3)16、|KA|=|K| |A|，k为数。 （ ） (4.4)17、若|A|≠0，则|A*|≠0。 （ ）

(4.4)18、若A满足A2+3A+E=0，则A可逆。 （ ） (4.2)19、（A+E）（A-E）=（A-E）（A+E）。 （ ） (4.4)20、只有可逆矩阵，才存在伴随矩阵。 （ ）

答案：

1、× 2、× 3、√ 4、× 5、√ 6、× 7、× 8、× 9、×× 11、× 12、√ 13、× 14、√ 15、√ 16、× 17、√ 18、√ 19√ 20、×

单项选择

(4.3)1、若矩阵A，B满足|A|=|B|，则 （ ）。 A、A=B B、A2=B2 C、A≠B D、不一定有A=B

(4.2)2、设A，B分别为S×n，n×m矩阵，则 （ ）有意义。 A、B′A′ B、BA C、A′B D、B′A

(4.3)3、设A为3阶方阵，且|A|=a，则|3A|=（ ）。 A、3a B、-3a C、27a D、-27a

349(4.4)4、在矩阵571中，A23

= 。 534 A、-11 B、11 C、20 D、-20

(4.4)5、若n阶方阵A*=0，则r(A)为 。 A、n-1 B、(4.4)6、设A=abcd，则A*= 。 

A、dc B、dcdbbbaba C、ca D、dca A100(4.5)7、设A=00A，且AA-1

21，2，A3都可逆，则A= 。0A30 A1100A100

A、00A110A12 B、30 0A1200A130文档

、、 10实用标准文案

A11C、000A310A1100 D、010A201A2000 A31(4.4)8、若A可逆，则AX=B+C的解为（ ）。

A、X=BA-1+CA-1 B、A-1B+A-1C C、BA-1+A-1C D、不存在 (4.2)9、对任一S×n矩阵A，则AA′一定是（ ）。

A、可逆矩阵 B、不可逆矩阵 C、对称矩阵 D、反对称矩阵 (4.2)10、若A可逆，则（A*）-1=（ ）。

A、

111A B、A C、|A| A D、|A|A-1 |A||A|答案

1、D 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C 7、A 8、B 9、C 10、A

计算

40161203(4.2 ;4.4)1、①21211112120的逆  ②求A34541203131233215 ②19568解答：①1818372499(4.2;4.4)2、解矩阵方程

131 91912510，B=21 210AX=B。 其中A=47153213解答：X=A-1B=611251235310821142157 325511(4.5)3、求矩阵A=0002010000000120的逆

4213510文档

实用标准文案

0012110020017解答：A-1=1001710027a11(4.2)4、①设Aa21a31a12a22a320027 1767a13100010,计算AB,BA a23,Ba3300b113112②设23X=311,求X。 202a11解答：①AB=a21a31a12a22a32ba13a11ba23,BA=a21ba33ba31a12a22ba32a13a23 ba331113112②X=(2) 31132021433 = 3113423,求A。 110(4.4)5、已知矩阵A，B满足关系式：AB=2A+B，其中B=123解答：由AB-2A=BA(B2E)B

423143153 110 ∴A=B（B-2E）-1=412316386 296 =21290000(4.5)6、求矩阵A=abcd文档

cossin00sincos的逆00其中adbc0

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0-1

解答：A=0cossin0sincosdadbccadbc00badbca

adbc00证明题

(4.2;4.4)1、设n阵矩阵A的每一行之和为常数a，证明：①当A可逆时，a≠0

②A-1的每行之和为a-1

证明：①由题设可得

1a1aA=，若a=0说明齐次线性方程组AX=0有非零解，则|A|=0与A可逆矛盾。 1a∴a≠0。

②由A可逆及上式，可得

1a1111a1111a1A1aA1，即A1。因此，A-1的每行之和为。 a1a1111a(4.4;4.6)2、证明，秩为r的矩阵总可表为r个秩为1的矩阵之和。

E证明：设矩阵A的秩为r,则存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=r000Eii1(i)00(i)0。令 0i1,2,r

则PAQ=E11+E22+…+Err 因此，A=P-1E11Q-1+P-1E22Q-1+…+P-1ErrQ-1

∵P-1，Q-1是可逆矩阵，∴r(P-1EiiQ-1)=r(Eii)=1,故A表成了r个秩为1的矩阵的和。

A1(4.5;4.6)3、设A=00，其中r(A1)=r1，r(A2)=r2，证明：r(A)=r1+r2

A2证明∵r(A1)=r1 r(A2)=r2

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E∴存在可逆矩阵 P1，Q1，P2，Q2使得P1A1Q1=r10p令P=10pPAQ=100Q1，Q=0p20p2A100 则 Q20p1A1Q1=Q200Er2 PAQ=222000 00Q1A20Er10=p2A2Q200Er20 0∵P1，P2，Q1，Q2 可逆，∴P Q可逆，因此r(A)=r(PAQ)=r1+r2 (3.6;4.2)4、设A为mxn矩阵，证明存在非零的n×s矩阵B，使AB=0的充要条件是r(A)b1b2“”若r(A) ＜n，则齐次线性方程组AX=0有非零解。设

bnb100b00≠0 就有AB=0 是AX=0的一个非零解，则令B=2b00n(4.2;4.4)5、证明：设A，B为n阶方阵，证明：若A+B+AB=0，则AB=BA。 证明：∵A+B+AB=0，∴E+A+B+AB=E ①， 因此有（E+A）（E+B）=E， 即E+A可逆，故可得（E+B）（E+A）=EE+B+A+BA=E ② ，比较①②式便得AB=BA AB(4.7)6、设A，B为n阶矩阵，证明矩阵可逆的充分必要条件是矩阵A+B，A-BBA均可逆。

AB证明：对作初等变换 BAABABBAABBABABABAB∴可逆BBA

0 AB0可逆ABAB≠0A+B;A-B均可逆。 AB文档