高三数学高考数列求和(裂项及错位)

考点十二 数列求和（裂项及错位）

[真题1] (2009某某卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn) 均在函数ybr(b0且b1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记bnxn1(nN)，求数列{bn}的前n项和Tn. 4an[命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。

[命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(n,Sn)在函数ybr(b0的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年某某一道文科有相似之处：“已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（an,an1）（nN*）在函数y=x+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通

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x项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+2n，求证：bn·bn+2＜bn+1.”本题中增加了对参数r的求解，因此，如何正确求出r的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系

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a

式anS1,(n1)的正确理解（理角题目的条件：数列{an}是等比数列，则a1S1SnSn1,(n2)满足数列递推式）。第（2）问求数列{bn}的前n项和Tn，所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识] 数列求和的几种常见题型与求解方法

（1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1111； ②1(11)； n(n1)nn1n(nk)knnk11(k0)(nkn)③ **

knnk11111112. kk1(k1)kk(k1)kk1k①

④

（2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

设{an}是等差数列，且公差为d,{bn}是等比数列，且公比为q,记Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

Sna1b1a2b2a3b3...an2bn2an1bn1anbn① qSna1b2a2b3...an3bn2an2bn1an1bnanbn1② (1q)Sna1b1d(b2b3...bn2bn1bn)anbn1

（3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

《规X解答》

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[真题2]（2007某某卷）数列{a1n}的前n项和为Sn，若ann(n1)，则S5等于（A．1

B．

516 C．

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D．130

《规X解答》

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）