二元一次方程组应用题提高

二元一次方程组应用题提

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第八章：二元一次方程

组

第二讲：二元一次方程组应用题（提高）

【课标导航】

课程目标 经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世★ 界中含有多个未知数的问题的有效数学模型； 层次要求 能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量★★ 关系，列出方程组； 学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并★★ 正确作答； 培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价★★★ 值，感受数学文化。 【知识梳理】

一、列方程解应用题的体步骤是：

1) 审题：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的

相等关系是什么。

2) 设元（未知数）：①直接未知数

②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

3) 用含未知数的代数式表示相关的量。

4) 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方

程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

5) 解方程及检验。

6) 答。

二、常用的相等关系

1) 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)： ⑵追及问题（同时出发）： ⑶水（风）中航行：

2) 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂

3) 增长率问题：

4) 工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位

“1”）。

5) 数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，

则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc

6) 几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质

等。

【经典例题】

【例1】某单位组织了200人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍

少10人．到两地参加旅游的人数各是多少

【变式1-1】

一种口服液有大小盒两种包装，3大盒4小盒共108瓶；2大盒3小盒共76瓶．大

盒、小盒每盒各装多少瓶 【变式1-2】

甲、乙两数和为42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．设甲数为x，乙数为y，则下列方程组正确的是()．

xy42,4x3y.(A)

(B)

xy42,3x4y

(C)

4x3y42,3x4y (D)

3x4y42,4x3y

【变式1-3】

某车间工人举行茶话会，如果每桌12人，还有一桌空着；如果每桌10人，则还差两个桌子．此车间共有工人多少名

【例2】一个两位数，十位上的数字为x，个位上的数字为y，这个两位数为______；若

将十位与个位上的数字对调，新的两位数是______．

【变式2-1】

一个两位数，个位数和十位数数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是______．

【例3】某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列

火车全在桥上的时间为40秒钟，则火车的长度为______，火车的速度为______．

【例4】甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按

50％的利润定价，乙种服装按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲、乙两件服装的成本各是多少元

【变式4-1】

某商场购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件的进价为35元，利润率是20％，乙种商品每件的进价为20元，利润率是15％，共获利278元，则甲、乙两种商品各购进多少件？

【例5】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生

产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套

【变式5-1】

现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒

底配成一个完整的盒子。问：用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

【例6】足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个

队打14场比赛负5场共得19分，那么这个队胜了多少场

【变式6-1】

在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场平几场

【例7】某地生产一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后

销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但这两种加工方式不能同时进行．因受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研究出了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的到市场直接销售．

方案三：将一部分粗加工，其余部分进行精加工，并恰好用15天完成．

你认为选择哪种方案获利最多为什么

【变式6-1】

一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用两种货车的情况如下表：

第一次 第二次 甲种货车数量(单位：辆) 2 5 乙种货车数量(单位：辆) 3 6 累计运货数量(单位：吨) 15.5 35 现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货．如果按每吨运费30元，问货主应支付运费多少元

【强化训练】&【课后作业】

（注：本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习，部分做为

课后作业。） 【A卷】

1. 小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，则可列方程组为。

2. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一

次可以运货35吨，问大车和小车一次可以运货各多少吨？

3. 一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成。如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或

做桌腿300条，现有10立方米木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？

4. 为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共

100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．

（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲．．种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

5. 一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安

全帽，女生戴红色安全帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍.

问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？

6. 在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%

的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：

（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

7. 17.某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统

计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．

（1）一月份销售收入为万元，二月份销售收入为万元，三月份销售收入为万元；

（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？

一月三月二月8. 18.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数

式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的３个数、每列的３个数、斜对角的３个数之和均相等．

3–22y–4xy(1)求x，y的值；

(2)在备用图中完成此方阵图．

3–249. 19.某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B

种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

（1） 求A、B两种纪念品的进价分别为多少？

（2） 若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7

元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

【B卷】

1. 奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人

一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．

（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分

可以享受8折优惠，若买x(x0)支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．

2. 某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步

行。车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知

汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。

3. 甲乙两地相距60千米，A、B两人骑自行车分别从甲乙两地相向而行，如果A比B先

出发半小时，B每小时比A多行2千米，那么相遇时他们所行的路程正好相等。求A、B两人骑自行车的速度。（只需列出方程即可）

4. 已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高

10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元。

【课堂小结】 【教师课堂点评】 【作业完成情况】