萧山二职数学竞赛辅导七（7.1）
[考点概述]
数学应用性问题是历年中职数学竞赛命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
一、求解应用题的一般步骤：
1、审清题意：
认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
2、建立文字数量关系式：
把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：
利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。 5、返本还原：
把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。 二、应用题的常见题型及对策
1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型
常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题
常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
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解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题
常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。 解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。 4、与直线、圆锥曲线有关的题型
常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。 常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。 5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型 常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。 6、与排列、组合有关的问题 运用排列、组合等知识解决 7、与概率、统计有关的应用问题 （一）代数的应用题 1．求函数表达式：
例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。
2．面积问题：
思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？
例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.
3．利润问题：（1）利润=收入成本 （2）利润=单位利润×销售量
例3．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元. 如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？
例4. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单
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价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？
4．与增长率相关的问题：
〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率) x
增长率为负：原产量×(1 增长的百分率) x （x是指经过x年） 例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
例6. 某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.
例7. 电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P. 97. 例2）
x 2x
5．记数问题：
例8. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm, 将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.
6．图表应用题
例11．中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：
存期 年利率（%） 1年 2.25 2年 2.43 3年 2.70 5年 2.88 个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000元，存期3年，试问
萧山二职数学竞赛辅导七（7.2）
例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求： （1） 第10个正方形的面积 （2） 这10个正方形的面积的和
例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？
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3年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？
例12．光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.
表一： 表二：
品种 酸奶 奶片
每天加工吨数 3 1
品种 鲜奶 酸奶 奶片 每吨获利润（元） 500 1200 2000 光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成. 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
（二）三角的应用题 1．弧长问题
例13．某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求： （1）飞轮每秒钟转过的弧度数; （2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长. 2．电学
例14．电流I随时间t变化的函数关系式是I = Asinωt. 设ω= 100 (rad /秒)，A = 5（安培）.
（1）求电流强度I变化的周期与频率;
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（2）当t = 0,
1131,,,(秒)时，求电流强度I 200100200503．利用三角函数解决有关面积问题
例15．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？
（三）解析几何中的应用题
例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？ y
例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地 球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米， 远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫 星的轨道方程.
B
0 2 4 x 2R 2Rcos 2Rsin
y F1 F2 · · O A x
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