南澳县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（ ） A．1

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B．0

C．﹣1 D．0或﹣1

xy2„02． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…03131A. B. C. D.

8844【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 3． 已知奇函数f(x)是[1,1]上的增函数，且f(3t)f(t)f(0)，则t的取值范围是（ ） A、t112t B、tt6334 C、t313112t D、tt

6334． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0） 5． 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z

=2（+i），则z=（ ）

A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i

6． 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

7． 在复平面上，复数z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）关于实轴对称，则a+b的值为（ ） A．1

B．﹣3 C．3

D．2

8． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：

降水量X 工期延误天数Y 概率P X＜100 0 0.4 100≤X＜200 5 0.2 200≤X＜300 15 0.1 X≥300 30 0.3 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ） A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5

kx＋b

9． 函数f（x）＝，关于点（－1，2）对称，且f（－2）＝3，则b的值为（ ）

x＋1A．－1 C．2

2B．1 D．4

10．已知M、N为抛物线y4x上两个不同的点，F为抛物线的焦点．若线段MN的中点的纵坐标为2，

|MF||NF|10，则直线MN的方程为（ ）

A．2xy40

B．2xy40

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C．xy20 真命题的是（ ）

D．xy20

11．已知命题p：对任意x0，，log4xlog8x，命题：存在xR，使得tanx13x，则下列命题为A．pq B．pq C．pq D．pq 12．设a＞0，b＞0，若A．8

B．4

C．1

ab

是5与5的等比中项，则+的最小值为（ ）

D．

二、填空题

13．椭圆

+

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

，则

+

的最大值为 ．

14．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足已知A（1，，

15．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ．

16．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是 ．

17．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）

18．若函数y=ln（﹣2x）为奇函数，则a= ．

三、解答题

19．已知函数

（1）当m=2时，求f（x）的极大值；

（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；

（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．

20．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）． （1）求f（x）的单调区间；

（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

，（其中常数m＞0）

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21．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

22．（本小题满分10分） 已知函数f(x)|xa||x2|.

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集； （2）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求的取值范围.

23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小； （3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．

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24．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．

（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．

x2y2

25．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－. 2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

26．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

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（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：

＜．（参考数据：ln2≈0.693）

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南澳县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

2． 【答案】B 【

解

析

】

3． 【答案】A 【解析】

考

点：函数的性质。 4． 【答案】A

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．

x﹣1

得，f（1）=5，

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5． 【答案】B

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi， 由z

=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，

22

整理得a+b=2a+2（b﹣1）i．

则

所以z=1+i． 故选B．

，解得．

【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．

6． 【答案】C

2222

【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，

求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．

＜=2，

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

7． 【答案】A

【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称， ∴

，∴a+b=2﹣1=1，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

8． 【答案】D

【解析】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P， 设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B， P（A）=0.6，P（AB）=0.3， P=P（B丨A）=故答案选：D．

9． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P（m，n）是函数图象上任一点，P关于（－1，2）的对称点为Q（－2－m，4－n），

=0.5，

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则，恒成立．

k（－2－m）＋b4－n＝－1－m

由方程组得4m＋4＝2km＋2k恒成立， ∴4＝2k，即k＝2，

2x＋b－4＋b∴f（x）＝，又f（－2）＝＝3，

x＋1－1∴b＝1，故选B. 10．【答案】D

【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．

设M(x1,y1)、N(x2,y2)，那么|MF||NF|x1x2210，x1x28，∴线段MN的中点坐标为(4,2).

22由y14x1，y24x2两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，而

km＋b

n＝

m＋1

yy2y1y21，∴1∴直线MN2，

x1x22的方程为y2x4，即xy20，选D． 11．【答案】D 【

解

析

】

考

点：命题的真假. 12．【答案】B 【解析】解：∵

ab

∴5•5=（

ab

是5与5的等比中项， 2

）=5，

即5a+b=5， 则a+b=1，

则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2当且仅当=，即a=b=时，取等号， 即+的最小值为4， 故选：B

【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．

=2+2=4，

二、填空题

13．【答案】 4

．

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【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣

sinθ）

=

，

，

）=1时，d取得最大值为4

故答案为：4．

14．【答案】 ．

【解析】解：设∴

+

．

=

故答案为：

=

，则=1×

×

=

≤

=

，

的方向任意．

．

，因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．

15．【答案】

【解析】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足， 并延长OC交

于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．

=

=

，

，

．

Rt△AOC中，r=AO=从而弧长为 αr=2×故答案为

．

【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题．

16．【答案】 20 ．

26

【解析】解：（1+x）（x+）的展开式中，

x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；

26

又（x+）的展开式中，

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通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意； 令12﹣3r=2，解得r=

3

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x的系数是故答案为：20．

17．【答案】 3.3

【解析】

解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子． 设BC=x，则根据题意 =

，

AB=x，

在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，

=

=

，求得

则，即

x=3.3（米）

故树的高度为3.3米， 故答案为：3.3．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

18．【答案】 4 ．

【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数， 可得f（﹣x）=﹣f（x）， ln（ln（

+2x）=﹣ln（+2x）=ln（

﹣2x）．

）=ln（

）．

22

可得1+ax﹣4x=1，

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解得a=4． 故答案为：4．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当m=2时，

（x＞0）

令f′（x）＜0，可得令f′（x）＞0，可得∴f（x）在故 （2）

①当0＜m＜1时，则

，故x∈（0，m），f′（x）＜0；

（x＞0，m＞0）

或x＞2； ，

和（2，+∞）上单调递减，在

单调递增

x∈（m，1）时，f′（x）＞0

此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增； ②当m=1时，则

，故x∈（0，1），有

恒成立，

此时f（x）在（0，1）上单调递减； ③当m＞1时，则故

此时f（x）在

，

时，f′（x）＜0；

上单调递减，在

时，f′（x）＞0 单调递增

（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2） 即

⇒

∵x1≠x2，由不等式性质可得又x1，x2，m＞0 ∴

⇒

恒成立，

对m∈[3，+∞）恒成立

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令

对m∈[3，+∞）恒成立

，则

∴g（m）在[3，+∞）上单调递增， ∴故从而“

对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“

”

∴x1+x2的取值范围为

【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键

20．【答案】

【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得

．

（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒

a1

成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e﹣﹣1．

a1

当x∈（﹣1，e﹣﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数． a1

当x∈（e﹣﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．

，∴f（x）的增区间为，减区间为

“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“ea﹣1﹣1≤0”，即ea﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1． 故a的取值范围是（﹣∞，1]．

21．【答案】

【解析】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真 命题，m＜1 f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2， 由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m＜2．

【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．

22．【答案】（1）{x|x1或x8}；（2）[3,0]. 【解析】

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试

2x5,x22x3，当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1； 题解析：（1）当a3时，f(x)1,2x5,x3当2x3时，f(x)3，无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x8，∴f(x)3的解集为

{x|x1或x8}.

（2）f(x)|x4||x4||x2||xa|，当x[1,2]时，|xa||x4|4xx22， ∴2ax2a，有条件得2a1且2a2，即3a0，故满足条件的的取值范围为[3,0]. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题. 23．【答案】

【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF， 由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点， ∴DF∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD； …

（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角． DF=BC1=

=1，A1D=

=

，A1F=A1C=1．

=

，

在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF=∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=

，

∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…

（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD=∴

=

﹣S△BDE﹣

﹣…

=

=1．

∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=

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【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．

24．【答案】

【解析】解：（I）由题意可得：2

，解得c=1，a=2，b=3．

∴椭圆E的方程为=1．

（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOA•kOB=﹣1． ①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：取A

=1，解得y=

，

，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣∴

，x1x2=．

kOA•kOB=====

，

假设

=﹣1，化为k2=﹣

，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．

综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．

（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6． ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣|AB|=

，x1x2=．

=

．

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点O到直线AB的距离d=∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB==2×

×

=

．

．

2则S=

=＜36，

∴S＜6．

因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．

25．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k即M（

21＋2k

2

，2k1＋2k

2

），N（

－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

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∴|MN|＝ ＝4

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋141＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，2≤2＝1， 1＋2k1＋2k当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22

即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.

2226．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）

．

当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，故f（x）在调递增；

当a＜0时，由f'（x）=0得，f（x）在

所以α+β=0，αβ=a﹣1．

．

由0＜a＜1得，0＜β＜1．

证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且

，

上单调递增．

，

上单调递减，在

上单调递增，在

，

上单调递减，在

上单

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构造函数．

，

22

设h（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣2x+x，x∈（0，1），

则

，

因为0＜x＜1， 所以，h'（x）＞0，

故h（x）在（0，1）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递增， 所以，

故．

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