上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编：压轴题

题

宝山区、嘉定区

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧AB上，OA10，AC12，

AC∥OB，联结AB.

（1）如图8，求证：AB平分OAC；

（2）点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图9

中画出

点M的位置并求CM的长；

（3）如图10，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D

与点C的

距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

A

25.（1）证明：∵AO、BO是圆O的半径

O O D E O A AC C B 图8

C B 图9 B 图10

A ∴AOBO…………1分

O C B 图8

∴OABB…………1分 ∵AC∥OB

∴BACB…………1分 ∴OABBAC

∴AB平分OAC…………1分 (2)解：由题意可知BAM不是直角，

所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况:

AMB90和ABM90

1 当AMB90，点M的位置如图9-1……………1分过点O作OHAC,垂足为点H

∵OH经过圆心 ∴AHHC12AC ∵AC12 ∴AHHC6 在Rt△AHO中，AH2HO2OA2 ∵OA10 ∴OH8

∵AC∥OB ∴AMBOBM180 ∵AMB90 ∴OBM90 ∴四边形OBMH是矩形 ∴OBHM10

∴CMHMHC4……………2分

②当ABM90，点M的位置如图9-2

由①可知AB85，cosCAB255 在Rt△ABM中，cosCABABAM255 A H O C M B 图9-1 A O C M B 图9-2 ∴AM20

CMAMAC8……………2分

综上所述，CM的长为4或8.

说明：只要画出一种情况点M的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O作OGAB,垂足为点G 由（1）、（2）可知，sinOAGsinCAB

由（2）可得：sinCAB5 5A E O ∵OA10∴OG25……………1分 ∵AC∥OB∴

D C GB 图10

BEOB……………1分 AEAD又AE85BE,AD12x,OB10 ∴

BE85BE10805 ∴BE ……………1分

22x12x∴y11805BEOG25 2222x400……………1分

22x∴y自变量x的取值范围为0x12……………1分 长宁区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8． （1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，

SACOy，求y关于x的函数解析式并写出定义域； SOBD（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，ACAOCDOCDOBABAB图1 图2 第25题备用图 1AB4 （2分） 2在Rt△AOC中，ACO90，AO=5， ∴COAO2AC23 （1分）

OD5，CDODOC2 （1分）

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3 ∵AC=x，∴CH|x4|

在Rt△HOC中，CHO90，AO=5， ∴COHO2HC232|x4|2x28x25， （1分）

SACOSACOSOBCACOCxx28x25∴y SOBDSOBCSOBDBCOD8x5xx28x25  （0x8） （3分）

405x（3）①当OB//AD时， 过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，

则OF=AE， SABO11ABOH24ABOHOBAE ∴AEOF 22OB5在Rt△AOF中，AFO90，AO=5， ∴AFAO2OF2714 ∵OF过圆心，OF⊥AD，∴AD2AF. （3分） 55②当OA//BD时， 过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，

则由①的方法可得DGBM24， 在Rt△GOD中，DGO90，DO=5， 5∴GODO2DG27718，AGAOGO5， 555在Rt△GAD中，DGA90，∴AD综上得AD崇明区

AG2DG26 （ 3分）

14或6 525．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）

如图，已知△ABC中，AB8，BC10，AC12，D是AC边上一点，且

AB2ADAC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），AEFC，AE与BD相交于点G．

（1）求证：BD平分ABC；

（2）设BEx，CFy，求y与x之间的函数关系式； （3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．

A A

D

G B

F

D

E

（第25题图）

C

B

（备用图）

C

25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） （1）∵AB8，AC12 又∵ABADAC ∴AD2161620 ∴CD12 ……………………………1分

333∵ABADAC ∴

2ADAB ABAC又∵∠BAC是公共角 ∴△ADB∽△ABC …………………………1分 ∴∠ABD∠C，∴BDBDAD BCAB20 ∴BDCD ∴∠DBC∠C ………………………1分 3∴∠ABD∠DBC ∴BD平分∠ABC ………………………1分 （2）过点A作AH∥BC交BD的延长线于点H

16ADDHAH43DCBDBC2053∵AH∥BC ∴

∵BDCD2016，AH8 ∴ADDH ∴BH12 ……1分 33∵AH∥BC ∴

AHHG812BG12x ∴ ∴BG…1分 BEBGxBGx8∵∠BEF∠C∠EFC 即∠BEA∠AEF∠C∠EFC

∵∠AEF∠C ∴∠BEA∠EFC 又∵∠DBC∠C

∴△BEG∽△CFE ……………………………………………………………1分

12xxBEBG∴ ∴x8

y10xCFECx22x80∴y …………………………………………………………1分

12（3）当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1° GEGF 易证

GEBE2x2 ，即，得到BE4 ………2分 EFCF3y3 2° EGEF 易证BECF，即xy，BE5105 …………2分 3° FGFE 易证 奉贤区

25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）

已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD． （1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值； （2）若E是弧AB的中点，求证：BE2BOBC；

（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．

A

E A GEBE3x3 ，即 BE389 ………2分 EFCF2y2A D O C B

O B O B

黄浦区

25．（本题满分14分）

如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.

25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）

由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.

在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=x1，

22 所以2yx1，——————————————————————（1

2分）

则y分）

x22x30x3.———————————————（2

（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分）

则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.

∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————（1

分）

又AD=AE=1，

∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1

分）

由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1

分）

所以∠AEC=70°＋35°=105°. ——————————————————（1

分）

（3）当∠AEC=90°时，

易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，

得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2

分）

当∠CAE=90°时，

易知△CDA∽△BCA，又ACBC2AB2x24，

ADCA 则

ACCB分）

易知∠ACE<90°.

1x42x24117x（舍负）—————（2x2 所以边BC的长为2或

分）

117.——————————————————（12

金山区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）

如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinBBC上

一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线 CD相交于点E，设BP=x． （1）求证△ABP∽△ECP；

（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，

求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．

25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）

∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……

图9

备用图

A Q E D A

D

3，P是线段5B P C B C

（1分）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………

（1分）

∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1

分）

（2）作AM⊥BC，PN⊥AD，

∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，

∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1分） 在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=

3， 5∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………

（1分）

∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ= 2x-8，……………………………………（1

分）

∴y分）

定义域是4x11AQPN2x83，即y3x12，………………………（12213．………………………………………………………（1分） 2（3）解法一：由△QED 与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，

①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，

又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………

（2分）

②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠APB，∴ AB=AP，∵AM⊥BC，∴ BM=MP=4，∴ BP=8．………

（2分）

综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1

分）

解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD， 在Rt△APN中，APPQ3x422x28x25，

∵QD∥PC，∴

EQEP， QDPCAPEPAPEQ，∴， PBPCPBQD∵△APB∽△ECP，∴

2x8AQEQAQAP①如果，∴，即2QPPBQPQDx8x25x28x25，

x解得x5………………………………………………………………………（2分） ②如果

AQDQAQPB2x8，∴，即2QPAPQPQEx8x25xx8x252，

解得x8………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP的长为5或者8．…………………………………………………（1

分） 静安区

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满

分4分）

如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，cosABC1．对角线AC、3D

BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP= x．

A （1） 求AC的长；

（2） 设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时， 求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，

A O D

E ·P B 第25题图

O C

B C

第25题备用图

求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH⊥BC于H，且cosABC1，AB=6， 3E P· B A O D

那么BHABcosABC6BC=9，HC=9-2=7，

12…………（2分） 3H 第25题图(1)

C

AH622242， ……………………（1分） ACAH2HC232499﹒ ………（1分）

（2）作OI⊥AB于I，联结PO, AC=BC=9，AO=4.5 ∴∠OAB=∠ABC, ∴Rt△AIO中， cosIAOcosABCA I E P· B H O D

AI1 AO3∴AI=1.5，IO=22AI32 ……………………（1分） ∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=∴Rt△PIO中，

第25题图(2)

C 9x， ……………………（1分） 2981153OP2PI2OI2(32)2(x)218x29xx29x……（1

244分）

∵⊙P与⊙O外切，∴OPx29x153xy ……………………（14分） ∴y=分）

∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0（3）由题意得：∵点E在线段AP上，⊙O经过点E，∴⊙O 与⊙P相交 ∵AO是⊙O 半径，且AO＞OI，∴交点E存在两种不同的位置，OE=OA=

x29x1531x4x236x153x …………………………（1429 21 当E与点A不重合时，AE是⊙O的弦，OI是弦心距，∵AI=1.5，AE =3， ∴点E是AB 中点，BE13AB3,BPPE,PI3, IO=32 22OPPI2IO232(32)22733 ……………………（2

分）

2 当E与点A重合时，点P是AB 中点，点O是AC 中点,OP分） ∴OP33或闵行区

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．

（1）如果设BF = x，EF = y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果ED2EF，求ED的长；

（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．

D

E

19BC ……（2229． 2C

A

F B

A

C

B

（备用图）

25．解：（1）在Rt△ABC中，AC6，BC8，ACB90

∴AB10．……………………………………………………………（1分） 过E作EH⊥AB，垂足是H，

341易得：EHx，BHx，FHx．…………………………（1分）

55531在Rt△EHF中，EFEHFHxx，

5522222∴y10x(0x8)．………………………………………（1分+1分） 5（2）取ED的中点P，联结BP交ED于点G

∵ED2EF，P是ED的中点，∴EPEFPD． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．

∵EPEF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1

分）

又∵∠CEA =∠DEB，

∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）

3又∵BE是公共边，∴BEH≌BEG．∴EHEGGDx．

5在Rt△CEA中，∵AC = 6，BC8，tanCAEtanABC∴CEACtanCAEACCE， BCAC66339．……………………………（1分） 822∴BE891697．……………………………………………（1分） 222266721x．……………………………………（1分） 5525∴ED2EG（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）

①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形， 只可能∠ABD =∠CDB = 90o． 在Rt△CBD中，∵BC8，

CED32∴CDBCcosBCD，

5BDBCsinBCDAFB24BE． 532328CD16CE51； 5∴，32AB1025BE45∴

CDCE． ABBE∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．

∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形， 只可能∠ACD =∠CDB = 90o．

AFCEBD∵AC∥BD，∠ACB = 90o， ∴∠ACB =∠CBD = 90o．

∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o． 与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．

∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）

普陀区

25．（本题满分14分）

已知P是⊙O的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交⊙O于点C、D，两点位于AB的上方，AB＝6，OP＝m，sinP＝，如图11所示．另一个半径为6的

13⊙O1经过点C、D，圆心距OO1＝n．

（1）当m＝6时，求线段CD的长；

（2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

图11

备用图

P

C A

O

B

A

O

B

D

25．解：

（1）过点O作OH⊥CD，垂足为点H，联结OC．

在Rt△POH中，∵sinP＝，PO6，∴OH2． ························· （1分）

13 ∵AB＝6，∴OC＝3． ······························································· （1分） 由勾股定理得 CH5． ··························································· （1分）

∵OH⊥DC，∴CD2CH25． ············································ （1分） （2）在Rt△POH中，∵sinP＝，PO ＝m，∴OH＝213m． ····················· （1分） 3m在Rt△OCH中，CH＝9． ·············································· （1分）

32m在Rt△O1CH中，CH＝36n． ········································ （1分）

3223n281mm可得 36n＝9，解得m＝． ·························· （2分）

32n3（3）△POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：

● 当圆心O1、O在弦CD异侧时

223n281①OP＝OO1，即m＝n，由n＝解得n＝9． ·························· （1分）

2n即圆心距等于⊙O、⊙O1的半径的和，就有⊙O、⊙O1外切不合题意舍去．（分）

②O1P＝OO1，由(n1

m2m2)m2()＝n， 332293n281m＝nnn＝15． ，即，··························· （1分） ＝解得解得

3352n813n2● 当圆心O1、O在弦CD同侧时,同理可得 m＝．

2n9813n2∵POO1是钝角，∴只能是mn，即n＝，解得n＝5． ····· （2分）

52n综上所述，n的值为青浦区

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图9-1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90，点B在弧MN上移动，联结

995或15．55

BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y． （1）如图9-2，当ABOM时，求证：AM =AC； （2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.

25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM =90°． ············· （1分）

∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM． ··········· （1分） ∵∠OAC=∠BAM，OC =BM，

∴△OAC≌△ABM， ························································ （1分） ∴AC =AM．·································································· （1分） （2）过点D作DE//AB，交OM于点E． ····································· （1分）

∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM． ·································· （1分） ∵DE//AB， ∴

OCANBCNBN DMODMOMA图9-1 图9-2 备用图

MDME，∴AE＝EM， DMAE∵OM=2，∴AE＝∵DE//AB， ∴

122x． ······································ （1分）

OAOC2DM，···················································· （1分） OEODODDMOA， OD2OE∴

∴yx．（0x2） ··········································· （2分）

x2（3）（i） 当OA=OC时， ∵DM111BMOCx， 222DM1， 2x2．∵yOD4在Rt△ODM中，ODOM2DM21xx21x22x24∴

．解得x1422，或x142（舍）．

2 ··································································································· （2分）

（ii）当AO=AC时，则∠AOC =∠ACO，

∵∠ACO >∠COB，∠COB =∠AOC，∴∠ACO >∠AOC，

∴此种情况不存在． ························································· （1分） （ⅲ）当CO=CA时，

则∠COA =∠CAO=，

∵∠CAO >∠M，∠M=90，∴>90，∴>45， ∴BOA290，∵BOA90，∴此种情况不存在． ··· （1分）

松江区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）

如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长；

（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.

1 如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；

2 如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE∥CD ∴

(第25题图)

(备用图)

A D D A

B

C E B

C E BCDC…………………………………1分 BEAEA D ∵BC=DC

∴BE=AE …………………………………1分 设CE=x 则AE=BE=x+2 ∵ ∠ACB=90°，

(第25题图)

B

C E ∴AC2CE2AE2

即9x2(x2)2………………………1分 ∴x54 即CE54…………………………………1分 （2）①

∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P

∴∠ACQ=∠P…………………………………1分 又∵AE∥CD ∴∠ACQ=∠CAE

∴∠CAE=∠P………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA，…………………………1分∴AC2CECP…………………………1分 即3254CP ∴CP365 ……………………………1分 ②设CP=t，则PEt54 ∵∠ACB=90°， ∴AP9t2 ∵AE∥CD ∴

AQECAPEP……………………………1分 Q A D B

C E P

5AQ54t29t54t54即

5t29∴AQ……………………………1分

4t55t29若两圆外切，那么AQ1

4t5此时方程无实数解……………………………1分

5t29若两圆内切切，那么AQ5

4t5∴15t40t160

2解之得t20410………………………1分

15又∵t5 4∴t20410………………………1分

15徐汇区

25. 已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作

CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H.

（1）如图1，当EFBC时，求AE的长；

（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y； ① 求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

3 联结EG，当DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长.

杨浦区

25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E. （1） 当圆P过点A时，求圆P的半径；

（2） 分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆

P相交，试求圆B的半径r的取值范围；

（3） 将劣弧

沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为

定值，并求出此定值。