高二数学椭圆双曲线专项练习含答案

高二数学椭圆双曲线专

项练习含答案

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高二数学椭圆双曲线专项练习

选择题：

1、双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ ） A．(1a, 0) , (－1a, 0)

C．（－

B．(1a, 0), (－1a, 0)

a1a1a1a1, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0) aaaa12、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为yx,则该双曲线的离心率为（ ）

2 A．5 B．5/2 C．5 D．5/4

x2y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为3．椭圆4P，则|PF2|= （ ） A．3/2

B．3 C．4 了 D．7/2

4．过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点，若FA2FB，则椭圆的离心率等于 （ ） A

2212 B C D 3223x2y2x2y22和双曲线2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是5．已知椭圆223m5n2m3n（ ）

A．x＝±

151533y B．y＝±x C．x＝± y D．y＝±x 2244x22

6．设F1和F2为双曲线y＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△

4F1PF2的面积是（ ） A．1 B．

5 C．2 D．5 27．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且

PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ） A．e1e22

24 B．e12e2C．e1e222

D．

112 2e12e2y2x28．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）

|m|12mA．m<2 B．13 2x2y2x2y29．已知双曲线2－2=1和椭圆2+2=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m

abbm为边长的三角形是（ ）

D．锐角或钝角三角形

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形

x2y21上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大10．椭圆431于的等差数列, 则n的最大值是（ ） A．198 B．199 C．200 100 D．201 x2y2一、 填空题： 11．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表4kk1示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④

5若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜ 其中所有正确命题的序号为_______ 2______

x2y212．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中916心距离__

x2y213．双曲线＝1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的916距离____

14．若A（1，1），又F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值_______

315、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是

5二、 解答题：

y216、设椭圆方程为x=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点

421P满足OP(OAOB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

2

x2y2 17、已知F1、F2为双曲线221（a＞0，b＞0）的焦点，过F2

ab作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的

渐近线方程．

图 x2y218、已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作

ab垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；

19、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)。 (1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2(其中O为原点)，求k的取值范围。

233x2y2.20、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是23ab（1）求双曲线的方程； （2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

x28y221、设F1、F2分别为椭圆C：22 =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的

ab点A（1，

3）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设2点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、

PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对

x2y2双曲线221写出具有类似特性的性质，并加以证明．

ab

参考答案:

1、双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ C ） A．(1a, 0) , (－1a, 0)

0), (－1a, 0) C．（－

B．(1a,

a1a1a1a1, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0) aaaa12、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为yx,则该双曲线的离心率e（ B ）

2 A．5 B．5/2 C．5 D．5/4

x2y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为3．椭圆4P，则|PF2|= （ D ）

A．3/2 B．3 C．4 D．7/2

4．过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点，若FA2FB，则椭圆的离心率等于 （D ）A

2212 B C D 3223x2y2x2y22和双曲线2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是5．已知椭圆223m5n2m3n151533（ D ）A．x＝±y B．y＝±x C．x＝± y D．y＝±x

2244解：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点（3m25n2，0），双曲线焦点（2m23n2，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±

6|n|·x∴代入2|m|m2=8n2，|m|=22|n|，得y=±

3x． 4x22

6．设F1和F2为双曲线y＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△

4F1PF2的面积是（A ）A．1

B．

5 C．2 2D．5

x2解：由双曲线方程知|F1F2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P（x，1），由已知

4x2x211241F1P⊥F2 P，有4,S2541，即x252x5x5x211， 47．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且

PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ D ） A．e1e22

24 B．e12e2C．e1e222 D．

112 2e12e2y2x28．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

|m|12m（ D ）

3 2A．m<2 B．1x2y2x2y29．已知双曲线2－2=1和椭圆2+2=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m

abbm为边长的三角形是（ B ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或

钝角三角形

x2y21上有n个不同的点: P1, P2, …, Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列｛|PnF|｝是公差大10．椭圆431于的等差数列, 则n的最大值是（ C ） A．198 B．199 C．200 100 D．201 二、填空题：

x2y211．对于曲线C∶=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k4kk1＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④若曲线C表示焦点在x

5轴上的椭圆，则1＜k＜ 其中所有正确命题的序号为_______ ______③④； 12．设圆过

2x2y2双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是916______16/3；

ca53x2y2解：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|＝＝4，代入＝1，得229162216716xy22y02＝，∴|OP|＝x0y0． 13．双曲线＝1的两个焦点为F1、93916F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 ．16/5；

解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝６ m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32. 又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝16/5．

14．若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是_______ ___．62；

15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=

3sinA,则顶点A的轨迹方程是5

x2y21(x3) 916三、解答题：

y216、设椭圆方程为x=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点

421P满足OP(OAOB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

2解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，

2k8y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－y+y=，由,12224k4k11OP(OAOB) 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：

22x1x2kx24k2 yy1y2424k2消去k得：4x2+y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程

所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0．

图 x2y2 17、已知F1、F2为双曲线221（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双

ab曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．

c2y0b2b2解：（1）设F2（c，0）（c＞0），P（c，y0），则22=1．解得y0=± ∴|PF2|=，

abaa2b2

在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°解法一：|F1F2|=3|PF2|，即2c=3，将c2=a2+b2代

a

入，解得b2=2a2 解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，得|PF2|=2a. ∵

bb2b2|PF2|=，∴2a=，即b2=2a2，∴2 故所求双曲线的渐近线方程为y=±2x．

aaax2y218、已知椭圆221(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作

ab垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；

b2b2b解：（1）∵F1(c,0),则xMc,yM，∴kOM．∵kAB,OM与AB是共线向

aacaFQr1,F2Qr2,F1QF2,2b2b1，∴b=c,故e量，∴．（2）设

2acar1r22a,F1F22c,r12r224c2(r1r2)22r1r24c2a2a2cos110

rr2r1r22r1r2r1r2(12)22当且仅当r1r2时，cosθ=0，∴θ[0,]．

219、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2(其中O为原点)，求k的取值范围。

x2y2解：（Ⅰ）设双曲线方程为221 (a0,b0).由已知得

abx22222a3,c2,再由ab2,得b1.故双曲线C的方程为y21.

3x2y21得 (13k2)x262kx90. （Ⅱ）将ykx2代入3213k0,由直线l与双曲线交于不同的两点得 222(62k)36(13k)36(1k)0.1即k2且k21. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

362k9xAxB,xx,由OAOB2得xAxByAyB2, AB13k213k2而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2 962k3k27(k1)2k22.于是2213k13k3k13k273k2912,即0,解此不等式得k23. ② 223k13k13331由①、②得 k21. 故k的取值范围为(1,)(,1).

3332233x2y2.20、已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是23ab（1）求双曲线的方程； （2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

解：∵（1）c2a3daba2b23abc,原点到直线AB：

xy1的距离ab32.2． 故所求双曲线方程为 xy21.

3b1,a3.（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得 (13k2)x230kx780.

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

x0kBEx1x215k5ykx5,00213k213k2x0ky0k0,y110.x0k15k5k2k0,又k0,k7 2213k13k故所求k=±7.

x28y221、设F1、F2分别为椭圆C：22 =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的

ab点A（1，

3）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； 2（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆

具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定

x2y2值.试对双曲线221写出具有类似特性的性质，并加以证明．

ab解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，

32()312即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此22=1得b2=3，于是c2=1.所以椭圆C的方程为2b2x2y2=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段431x1y,y1， 即x1=2x+1，y1=2y. F1K的中点Q（x，y）满足： x22(2x1)2(2y)2124y21为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、因此=1.即(x)4323x2y2N是双曲线：22=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、

abPN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 设点M

m2n2的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中22=1.又设点P的坐标为（x，

aby），由kPMynyny2n2ynyn,kPN，得kPM·kPN=，将xmxmx2m2xmxmb22b222b222y2xb,n2m－b代入得kPM·kPN=2.

aaa2