关于sinx、cosx的三角齐次式的解法举例

番禺区鱼窝头中学 石军

历经多次高考改革，三角变换始终是高中数学教学与考试的重点。其中，关于sinx、cosx的三角齐次式的命题多次出现在近年的高考试题中，通过对这类题型的研究，我们

【1】

不难发现此类题型的一般解题规律：直接或间接地已知tanx的值,要求关于sinx、cosx的某些三角齐次式的值。

根据所给的条件和结论中式子的结构特征，大致归类如下：

cos的齐次式 1 “分式型”三角齐次式：分子分母中的各项均为sin、sin2cos21例1（04年天津）已知tan()，（1）求tan的值；（2）求的值.

1cos24211分析：由已知条件tan()，不难求出tan。

342cos的2次齐次式2sincos； 题中，倍角sin2当作是关于sin、cos2当作是关于sin、cos的2次齐次式cos2sin2； cos的2次齐次式sin2cos2。 常数1均可看作是关于sin、2sincoscos2cos的二次齐次式，只需则原式可化为，分子分母均为sin、22cos2分子分母同时除以cos，即可转化为含tan的式子。

11略解： 由tan()，得tan.

3422sincoscos2sin2cos2故＝2 2221cos2sincoscossin2sincoscos22tan15＝

262cos2【2】

说明 在三角函数式中，sin22sincos、cos2cossin、

22cos的2次齐次式。 常数1sincos均可看作是关于sin、22

cos的齐次式 2 整式型三角齐次式：整式中的各项均为sin、

1

例2【04湖南改编】 已知tan()2，求2sincoscos2的值。

4cos的2次齐次式，为了将它转化成含tan分析：2sincoscos2是关于sin、2sincoscos22sincoscos2的式子，只需，同例2即可求解。 221sincos解略。

【3】

说明 整式型三角齐次式通过除以常数1，可化为分式型三角函数式。

3 “隐性”型三角齐次式：

解决三角齐次式问题通常需要已知正切tan的值，且将所要求的式子通常化为含

sin、cos的齐次式，但在很多情况下这些条件并未直接给出来，这就需要我们通过对

已知条件和结论进行转化，使得解题所需条件更加“显化”。

（1） 条件“隐性”型

4例3．（06安徽文）已知0,sin

25sin2sin25（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan()的值

cos2cos24分析：

44本题虽未直接给出tan的值，但通过已知0,sin，易求得tan，

325条件立刻“显现” ！

sin2sin2cos的齐次式！ 而中分子分母显然是含sin、2coscos2

（2）结论“隐性”型

例4．【04年福建改编】已知tan2sin2sin22，求的值。

1tan2sin2sin21分析：在中函数名称出现“不和谐”的，但只需转化为

1tan1tan12sin2sin212sin2sin2cos的齐次式特征••，含sin、221tan11tansincos立刻“显现” ！

2

三角齐次式解题规律性较强，在实际的考试中往往会出现各种或条件“隐性”型或结论“隐性”型三角齐次式，但只要我们把握住本文中【1】【2】【3】这几条规律，解题思路往往会变得更加清晰！

附录部分近年高考三角齐次式解题的考题： 1．【旧教材推导万能公式】若为锐角，且tan1，求sin和cos的值。 24分析：sin2sincos222sincos2sincos2tan22222

1222sincostan12222同理，coscossin222cos2sin2cos2sin21tan222222

1sin2cos21tan2222此过程即为万能公式的推导过程。

52．（06天津文） 已知tancot,(,),求cos2和sin(2)的值

2424

3.（06安徽文）已知02,sin4 5sin2sin2（Ⅰ）求的值； 2coscos25（Ⅱ）求tan()的值

44. （06北京文〕已知tan

=2，求 246sincos （2）的值

3sin2cos310,tancot 5. （06安徽理）已知43（Ⅰ）求tan的值；

5sin2（Ⅱ）求

（1）tan（）的值

28sin2cos211cos228的值

2sin2 3

16．( 04湖南 ) 已知tan()2，求的值.

42sincoscos2

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