数学：第6章《三角函数》单元测试(沪教版高一下)

第六章 三角函数 一、选择题.（每小题5分，共50分）

231. sin π的值等于

63311 B.  C. D. 

22222. 下列角中终边与 330° 相同的角是

A. 30° B. - 30° C. 630° D. - 630°

tan x sin x |cos x|3. 函数y =++的值域是

|sin x|cos x|tanx|A. {1} B. {1，3} C. {- 1} D. {- 1，3}

sin α 2cos α4. 如果 = - 5，那么tan α的值为

3sin α5cos α23 23A.-2 B. 2 C. D.-

16163335. 如果 sin α + cos α =，那么 sin α – cos α 的值为

425252525A. 23 B. -23 C. 23或-23 D. 以上全错

128128128128

2

6. 若 a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f(x)= cos x + 2asin x - 1的最大值为

A.

A. 2a1

B. 2a1

C. 2a1 D. a2

π7. 函数y = sin 2x的单调增区间是

43π3ππ5πA. kπ， B. kπ， kπ，k∈Z kπ，k∈Z

8888π3π3π7πC. kπ， D. kπ， kπ，k∈Z kπ，k∈Z

8888

8. 若函数y = f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将

1π整个图象沿x轴向左平移个单位；沿y轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x的图象；

22则函数 y = f(x)是

1π1πA. y =sin2x1 B. y =sin2x1

22221π1πC. y =sin2x1 D. y =sin2x1

2424

π9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜的图象，

2那么

1011ππA. ω= ，φ = B. ω= ，φ = -

661110ππC. ω= 2，φ = D. ω= 2，φ = -

(第9题) 66

- 1 -

10. 如果函数 f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，函数 f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是

ππA.3，  ∪(0，1)∪， 3

22ππB.， 1 ∪(0，1)∪， 3

22C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3)

πD.3，  ∪(0，1)∪(1，3)

2(第10题)

二、填空题. （每小题5分，共30分） 11. 若f(cosx)cos3x，那么f(sin30)的值为 .

12. 若扇形的半径为R，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c，则这个扇形的最大面积为___.

m342m13. 若 sin θ =，cos θ =，则m =___.

m5m5114. 若 cos(75° + α)=，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)=

3___.

15. 函数y = lg (sin x) +16x2的定义域为 . π16. 关于函数f(x)= 4 sin2x(x∈R)，有下列命题：

3π

①函数 y = f(x)的表达式可改写为y = 4cos(2x - )；

6

②函数 y = f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；

π③函数 y = f(x)的图象关于点， 0对称；

6π

④函数 y = f(x)的图象关于直线x = - 对称.

6

其中正确的是___.

答题卷

一、选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 8 9 10 二、填空题.

11、 12、

13、 14、

15、 16、

- 2 -

三、解答题.（共70分）

17. （12分）已知角α是第三象限角，

α求：（1）角是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.

2

18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P(4，- 3)，求2sin α + cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P(4a，- 3a)(a≠0)，求 2sin α + cos α的值； (3)已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.

122

19. （12分）已知tan α，是关于x的方程 x - kx + k - 3 = 0的两实根，

tan7且3π＜α＜π，求cos(3π + α)- sin(π + α)的值.

2

π2

20. （14分）已知0≤x≤，求函数y = cos x - 2a cos x的最大值M(a)与最小值m(a).

2

- 3 -

21. （16分）某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元.

（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式;

（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数； (3) 求该商店月利润的最大值.

- 4 -

参考答案

一、选择题. 1. A

2323π1【解析】sinπ=sinπ2π2sin.

66622. B

【解析】与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k∈Z}. 当 k = - 1时，α = - 30°. 3. D

【解析】将x分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}. 4. D

【解析】∵ sinα - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，

23∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -.

165. C

7【解析】由已知易得 sin α cos α = -. 323322

∴ |sin α - cos α| = |(sin α- cos α)(sin α + cos α + sin α cos α)| =12sincos ∙ |1 + sin α cos α| = ∴ sin α - cos α = ±

3

3

2523. 1282523. 1286. B

2

【解析】f(x)= 1 - sin x + 2asin x - 1

2

= - sin x + 2asin x. 令sin x = t，∴ t∈[-1，1].

222

∴ f(t)= - t + 2at = -(t - a) + a，t∈[-1，1]. ∴ 当t = 1时，函数 f(t)取最大值为2a - 1. 7. D

ππππ3π【解析】∵ y = sin(- 2x)= - sin(2x -)，∴ + 2kπ ≤ 2x -≤+ 2kπ，

442423π7π∴ + kπ ≤ x ≤+ kπ.

888. B 9. C 10. B

二、填空题. 11. -1

【解析】f(sin30)=fcos60cos360cos1801

c212. .

16【解析】设扇形面积为S，弧长为l .

1112

∴ S = lR = (c-2R)² R = -R +cR. 222 c - 2R＞0， ∵ R＞0，

- 5 -

∴ 0＜R＜

c. 2cc2当 R = 时，Smax =.

16413. 0或8；

22

【解析】sin θ +cos θ = 1，

222

∴ (m - 3) +(4 - 2m) =(m + 5)， m = 0，或m = 8.

221. 3【解析】cos(105º - α)+ sin(α = - cos(75º + α)- sin(α∵ 180º＜α＜270º，∴ 255º＜α

1又 cos(α + 75º)=，∴ sin(α

314.

- 105º) + 75º).

+ 75º＜345º. + 75º)= -22.

312221∴ 原式 =. 233315. [- 4，- π)∪(0，π).

【解析】由已知得

sinx＞0 2kπ＜x＜2kπ + π，

∴ ∴ x∈[- 4，- π∪(0，π). ) 16 - x2≥0， -4≤x≤4. 16. ①③.

πππ 【解析】① f(x)= 4sin2x= 4cos2x

332π = 4cos2x

6π= 4cos2x.

62π ② T == π，最小正周期为π.

2ππ ③ ∵ 2x += kπ，当 k = 0时，x =，

36π∴ 函数 f(x)关于点， 0对称.

61πππ ④ 2x += kπ +，当 x = -时，k =，与 k∈Z 矛盾.

3262∴ ①③正确. 三、解答题.

17.【解】(1)由2kπ + π＜α＜2kπ +得kπ +

π3＜＜kπ +π，k∈Z. 2423π，k∈Z， 2将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角(2)由2kπ + π＜α＜2kπ +

2为第二象限或第四象限的角.

3π，k∈Z， 2得4kπ + 2π＜2α＜4kπ + 3π，k∈Z.

- 6 -

∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y轴的非负半轴.

18.【解】(1)∵ rx2y2 = 5， y3x4，cos α =，

r5r5642∴ 2sin α + cos α =.

555∴ sin α =

(2)∵ rx2y25a，

∴ 当 α＞0时，∴ r = 5a，sin α =∴ 2sin α + cos α =3a34，cos α = 5a552； 543a3，cos α = -， 5a55当 a＜0时，∴ r = -5a，sin α =∴ 2sin α + cos α =

2. 534，cos α =，2sin α + cos α = 2； 55342当点P在第二象限时， sin α =，cos α =，2sin α + cos α =；

55534当点P在第三象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α = - 2；

55342当点P在第四象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α =.

55512

19.【解】由已知得 tan α = k - 3=1，

tan∴ k =±2.

17又 ∵ 3π＜α＜π，∴ tan α＞0，＞0.

2tan1∴ tan α += k = 2＞0 (k = -2舍去),

tan1∴ tan α == 1,

tan2∴ sin α = cos α = -, 2∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.

22 2

20.【解】y = cos x - 2a cos x = (cos x -a)- a， 令 cosx = t，

(3)当点P在第一象限时， sin α =∵ 0≤x≤

π， 2∴ t∈[0，1].

22

∴ 原函数可化为f(t) = (t - a) - a，t∈[0，1].

①当 a＜0 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(0) = 0.

12

②当 0≤a＜ 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(a) = –a.

212

③当 ≤a≤1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(a) = –a.

2④当 a＞1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(1) = 1–2a. 21. 【解】

分别令厂价格、销售价格的函数解析式为

- 7 -

厂价格函数： y1A1sin1x1b1, 由题意得：A1销售价格函数：y2A2sin2x2b2,

821062；A22,b16；b28 22T12738；T22958

222222T11；T22

1T1842T284x16；y22sinx28

44把x=3,y=8代入y12sinx16得1

443把x=5,y=10代入y22sinx28得2

443∴y12sinx6；y22sinx8

4444∴y12sinsi（2）、yy2y1m2mn=4msin3xsix6m 8m2mn4444x2m

44（3）、当sinx1时y取到最大值，ymax4m12m6m

44

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