sinxlnsinx定积分

首先，我们可以将sinxlnsinx进行分部积分，得到：

∫sinxlnsinx dx = (sinx)lnsinx - ∫(sinx)'lnsinx dx

由于(sinx)' = cosx，所以：

∫(sinx)'lnsinx dx = cosx*lnsinx - ∫cos^2x dx

根据三角函数的性质，我们知道cos^2x = 1 - sin^2x，所以：

∫cos^2x dx = x - ∫(1-sin^2x)dx

进一步得到：

∫cos^2x dx = x - ∫(1-sin^2x)dx = x - (x - ∫sin^2x dx) = x - x + ∫(1-cos^2x)dx = ∫(1-cos^2x)dx = x - x + ∫sin^2xdx

因此，我们得到：

∫(sinx)'lnsinx dx = cosxlnsinx - (x - x + ∫sin^2xdx) = cosxlnsinx - 2x + ∫sin^2xdx

将这个结果代入原式，得到：

∫sinxlnsinx dx = (sinx)lnsinx - ∫(sinx)'lnsinx dx = (sinx)lnsinx - (cosxlnsinx - 2x + ∫sin^2xdx) = (sinx)lnsinx + cosxlnsinx + 2x - ∫sin^2xdx = (sinx + cosx)*lnsinx + 2x - ∫(1-cos^2x)dx = (sinx + cosx)*lnsinx + 2x - (x - ∫cos^2xdx) = (sinx + cosx)*lnsinx + x + ∫cos^2xdx

= (sinx + cosx)lnsinx + x + (1/2)[ln(1+cos2x)] + C

其中C为常数。