2020-2021学年湖南省邵阳市邵东县第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

中数学试题

一、单选题

1．已知U=Z，A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A．{1，3，5} C．{7，9} 【答案】D

【分析】图中的含义是集合B中去掉A中所含有的元素，结合选项可求解 【详解】图中阴影部分表示的集合是故选：D

【点睛】本题考查由维恩图判断具体集合，交集与补集的混合运算，属于基础题 2．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．命题“对任意xA，2xB”的否定为（ ）．

A．对于任意xA，2xB C．存在xA，2xB 【答案】D

【分析】由全称命题的否定是特称命题可得选项.

【详解】命题“对任意xA，2xB”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在

B．对于任意xA，2xB D．存在xA，2xB B．{1，2，3，4，5} D．{2，4}

UAB2,4.

xA，2xB”，

故选D．

【点睛】本题考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．设a,bR，则“ab4”是“a2且b2”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】B

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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【详解】若a1，满足ab4，但不满足“a2且b2”；所以“ab4”b3，不是“a2且b2”的充分条件；

若a2且b2，则ab4显然成立；所以“ab4”是“a2且b2”的必要条件；

因此，“ab4”是“a2且b2”的必要而不充分条件. 故选：B.

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型. 4．设a0,b0,a2b2，则

11的最小值为（ ） abC．

A．

223 2B．223

23 2D．23

【答案】A

【分析】由a2b2得

1a2b1，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 2【详解】解：因为a0,b0,a2b2， 所以

12baa2b1，0,0 2ab所以

1111112ba1a2b3322， ab2ab2ab2当且仅当故选：A.

2ba，即aab222，b22时等号成立，

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

5．若不等式ax2xa0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ） A．aC．a11或a 221 21或a0 211D．a

22B．a【答案】C

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【分析】分a0和a0两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.

【详解】由于不等式ax2xa0对一切实数x都成立. 当a0时，可得x0，解得x0，不合乎题意；

a01. a当a0时，则，解得2214a0因此，实数a的取值范围为a故选：C．

【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.

6．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则g(x)A．0,1【答案】C

【分析】由题意结合复合函数的定义域可得【详解】函数f(x)的定义域是[0,2]， 要使函数g(x)1. 2f(2x)的定义域为（ ） x1D．1,4

1,2 B．0,11,4 C．0,1 x10，即可得解.

02x2f(2x)有意义，需使f(2x)有意义且x10 ， x1所以x10，解得0x1.

02x2所以g(x)的定义域为0,1. 故选：C.

【点睛】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．已知函数f(x)A．(,1] 【答案】A

【分析】函数fx()12x22x2，则f(x)的单调递增区间为（ ）

C．[1,)

D．[2,)

B．(,0]

12x22x2可以看作是由y()，tx22x2复合而成，因

12t为y()单调递减，由复合函数的单调性可知，只需求出tx22x2的减区间即可.

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12t【详解】该函数定义域为R，

121fx()x2x2可以看作是由y()t，tx22x2复合而成，

221y()t在R单调递减，

2tx22x2(x1)21的单调递减区间为(,1]，

由复合函数的单调性判定知，函数fx的单调递增区间为(,1].

故选A.

【点睛】本题考查了复合函数的单调性问题。复合函数由内函数和外函数构成，其单调性遵循“同增异减”法则：

（1）内外两个函数都是增函数（或减函数），原函数就是增函数； （2）内外两个函数一增一减，原函数就是减函数.

ax4,x18．若函数f(x)2在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）. 24x2axa,x1A．(1,4] 【答案】B

【分析】分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．

B．[3,4]

C．(1,3]

D．[4,)

ax4,x1【详解】因为函数f(x)2在R上单调递增， 24x2axa,x1所以a1； 对称轴x2aa1，即a4； 244临界点处a442aa2，即a0或a3； 综上所述：3a4 故选B

【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目．

二、多选题 9．设Axx28x150，Bxax10，若ABB，则实数a的值可

以为（ ）

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A．

1 5B．0 C．3 D．

1 3【答案】ABD

【分析】先将集合A表示出来，由A素讨论即可求出a的值. 【详解】

BB可以推出BA，则根据集合A中的元

x28x150的两个根为3和5，

A3,5，

ABB，BA，

B或B3或B5或B3,5，

当B时，满足a0即可， 当B3时，满足3a10，a当B1， 315时，满足5a10，a，

5当B3,5时，显然不符合条件，

a的值可以是0,,.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，由A10．下列函数中，最小值是2的是（ ）

1135BB推出BA是解题的关键.

a22a2A．y(a1)

a1C．yx【答案】AC

2B．y=x2+21x22 1 x2D．y=

x2+ 2x【分析】由基本不等式可判断AC；由基本不等式等号成立的条件可判断B；利用x0时，yx20可判断D. 2xa22a21【详解】对于A，a1，ya12a1a1当且仅当a1a112，a11，即a2时等号成立，故A正确； a12对于B，yx21x222x221x2222，由于x21x22第 5 页 共 16 页

无解，所以最小值不是2，故B错误； 对于C，yx2C正确；

对于D，当x0时，y故选：AC.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

11．给出下列四个条件：①xt2yt2；②xtyt；③x2y2；④0成为xy的充分条件的是（ ） A．① 【答案】AD

【分析】由不等式的性质和充分必要条件逐一判断，可得选项.

2222【详解】①由”xtyt可知t20，所以xy，故xtytxy；

11122x，当且仅当，即x1时等号成立，故2x2222xxxx20，故最小值不是2，故D错误. 2x11．其中能xyB．② C．③ D．④

② 当t0时，xy；当t0时，xy，故xt>yt，不能推出xy；

2222③ 由xy，得x>y，但不能推出xy，故xy不能推出xy；

④ 011xy． xy故选：AD．

【点睛】本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，属于基础题.

a(ab)x12．定义运算ab，设函数f(x)12，则下列命题正确的有（ ）

b(ab)A．f(x)的值域为 [1,) B．f(x)的值域为 (0,1]

C．不等式f(x1)f(2x)成立的范围是(,0) D．不等式f(x1)f(2x)成立的范围是(0,) 【答案】AC

【分析】求得fx的解析式，画出fx的图象，由此判断fx的值域，并求得不等式f(x1)f(2x)的解.

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1x【详解】由函数f(x)12，有f(x)x212，

12xx2x即f(x)1(x0)(x0)，作出函数f(x)的图像如下，

根据函数图像有f(x)的值域为[1,)，所以A选项正确，B选项错误. 若不等式f(x1)f(2x)成立，由函数图像有 当2xx10即x1时成立， 当2x0即1x0时也成立.

x10所以不等式f(x1)f(2x)成立时，x0.所以C选项正确，D选项错误. 故选：AC.

【点睛】本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.

三、填空题

x1(x1),则ff1的值为_______. 13．已知函数f(x)2x2x(x1)【答案】0

【分析】分段函数求值，只需要观察自变量的范围代入对应的解析式即可. 【详解】

f1(1)12

ff1f222220

故答案为：0.

14．已知幂函数y(m25m5)x2m1在(0,)上为减函数，则实数m ． 【答案】-1

【分析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的

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单调性．

【详解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数 ∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1

当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数 当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数 故答案为m=﹣1

【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关．

15．已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x0时，fxx2xa，则

2f1___.

【答案】3

【分析】根据奇函数性质得f(0),f1f1，再代入对应解析式求a，最后代入求得结果.

【详解】因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以f1f1,f(0)0， 因为当x0时，fxx2xa，所以f0a0a0f(1)3a3

2因此f1f13 故答案为：3

【点睛】本题考查奇函数性质、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．不等式(x1)(x24x3)0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐

2标系中作出y1x1和y2x4x3的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方

法求解以下问题：设a,b，若对任意x0，都有(ax2)(xb)0成立，则

2ab____________.

【答案】1或3

【分析】先根据a的正负性进行讨论，再根据题中所给的方法画出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】若a0时，当x0时，显然ax20，此时一定有x2b0恒成立，即x2b，不存在这样的实数b；

当a0时，函数yax2是减函数，在同一直角坐标系内，画出函数

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yax2,yx2b的图象，如下图所示：

2由题意结合图象有：b0，yax2与横轴的交点坐标为：(,0)，yxb与

2a横轴的交点坐标为：因此要对任意x0，都有(ax2)(xb)0(b,0),(b,0)，成立，只需：

22ba2b4，因为a,b， ab1b4所以有：或，因此ab1或3.

a2a1故答案为：1或3

【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了已知不等式恒成立求参数取值问题，考查了数形结合思想.

四、解答题

2217．已知命题p:x0,1,xa0,命题q:xR,x2axa20，若命题p,q都是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】a1

2【分析】命题p,q都是真命题，则x0,1,xa0均成立，从而解出a的范围；

xR,x22axa20，即方程x22axa20有实数根，解得a的范围，

再取交集即可. 【详解】

命题p:x0,1,xa0,为真命题

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2ax2对x0,1恒成立

ax2min，即a0

2命题q:xR,x2axa20为真命题

方程x22axa20有实数根，即4a24a24a24a80

a1或a2

命题p,q都是真命题

a1

故答案为：a1.

18．已知全集UR，集合Ax|x20，非空集合x3Bx|(xa)xa220.

（1）当a1时，求UB2A;

（2）命题p:xA，命题q:xB，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）

UB9Ax|x3；（2）a1或1a2.

4U【分析】（1）首先分别求出集合A和

B，再求交集即可.

2（2）首先根据题意得到集合Bx|axa2，再根据p是q的充分条件得到

a2，解方程组即可. 2a23【详解】（1）A{x|2x3}，当a911Bx|x时，，

4229Ax|x3

42所以

UBx|x1或x29，所以UB4（2）因为a22a，所以Bx|axa2. 又因为p是q的充分条件，所以解得a1或1a2.

19．已知二次函数f(x))满足f(x1)f(x)2x1，且f(2)15.

a2， 2a23第 10 页 共 16 页

(1)求函数f(x)的解析式；

(2) 令g(x)(22m)xf(x)，求函数g(x)在x∈[0，2]上的最小值．

【答案】（1）f(x)x2x15，（2）g(x)min24m11,m215,m0 m215,0m2【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条

件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．

（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．

试题解析：

（1）设二次函数一般式fxaxbxc（a0），代入条件化简，根据恒等条件

2得2a2，ab1，解得a1，b2，再根据f215，求c.（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：

（1）设二次函数fxaxbxc（a0），

2则fx1fxax1bx1caxbxc2axab2x1

22∴2a2，ab1，∴a1，b2 又f215，∴c15. ∴fxx2x15

2（2）①∵fxx2x15

2∴gx22mxfxx2mx15.

2又gx在x0,2上是单调函数，∴对称轴xm在区间0,2的左侧或右侧，∴m0或m2

②gxx2mx15，x0,2，对称轴xm，

2当m2时，gxming244m154m11； 当m0时，gxming015；

当0m2时，gxmingmm2m15m15

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综上所述，gxmin4m11,m215,m0 m215,0m220．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本cx(万元)，当年产量不足60台时，cxx20x(万元)；当年产量

2不小于60台时，cx102x98002080(万元)若每台设备售价为100万元，通x过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

1求年利润(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；

2当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

x280x500,0x60xN（2）当年产量为70台时，该【答案】（1）y490015802x,x60x企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元

【分析】1根据条件，利润y为分段函数，分别表示即可；

利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可． 2分别求出各段上利润y的最大值，【详解】解：1设利润为y万元,由题得,

当0x60时,y100xx2x500x80x500; 当x60时,y100x102x2298004900208050015802x, xxx280x500,0x60xN; 则y490015802xx,x602由1得，当0x60时，y(x40)21100，所以x40时y取最大值为

1100万元；

当x60时，有y15802x4900490015804x1300，当且仅当xxx4900时即x70时取等，此时y最大值为1300万元， x综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元． 【点睛】本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最

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值等知识点，属于中档题．

21．已知函数fx对任意实数x,y恒有fxyfxfy且当x0时，有

fx0，且f12.

（1）判断fx的奇偶性;

（2）判断fx的单调性，并求fx在区间3,3上的最大值;

2（3）已知a0，解关于x的不等式faxf2xfax4.

【答案】（1）奇函数；（2）减函数，6；（3）答案见解析.

【分析】（1）令xy0得f0＝0，再取yx得fxfx，故函数为奇函数；

（2）设x1,x2,且x1x2，则x2x10，f(x2x1)0，进而根据

fx2fx1fx2x1x1fx1即可得fx1fx2，故函数是减函数，

再根据奇偶性即可得最值.

（3）根据函数奇偶性，结合已知得fax2xfax2，再根据函数单调性得

2(ax2)(x1)0，再分类讨论求解二次不等式即可得答案.

【详解】解：(1)取xy0，则f002f0，f0＝0 取yx，则fxxfxfx，

fxfx对任意xR成立，

fx为奇函数

(2)任取x1,x2,且x1x2， 则x2x10f(x2x1)0

fx2fx1fx2x1x1fx1fx2x1fx1fx1fx2x10

fx1fx2

fx在,上是减函数

对任意x[－3,3]，恒有fxf3

而f3f21f2f13f1236

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f(3)f3＝6， fx在[3,3]上的最大值为6.

(3)

fx为奇函数， f12，故f24

整理原式得fax2f2xfaxf2

进一步可得fax2xfax2，

2而fx在,上是减函数

ax22xax2， (ax2)(x1)0

当a2时，不等式的解集为{x|x1} 当0a2时，不等式的解集为xx2或x1 a2. a当a2时，不等式的解集为xx1或x【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题的关键是取特殊值证明奇偶性，单调性的证明需根据fx2fx1fx2x1x1fx1fx2x1凑配解决.，此外，抽象函数的不等式问题，常借助与函数的单调性将函数值得不等关系转化为自变量的不等关系，进而解决.考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题. 22．已知函数fx为R上的偶函数，gx为R上的奇函数，且fxgx2（1）求fx和gx的表达式； （2）证明gx在R上是增函数；

1（3）若存在x,1，使得不等式gxaf2x0成立，求实数a的取值范围．

2x1．

【答案】（1）fx22,gx22；（2）证明见解析；（3）axxxx2. 4【分析】（1）将x换为x，可得fxgx2（2）利用单调性的定义证明即可；

x1，然后结合奇偶性可解出答案；

23231,，原式等价于存在t,使（3）令t22，由x,1可得t22222xx第 14 页 共 16 页

得ta2t0成立，然后可化为

2x1at1t22t2，然后求出右边的最大值即可.

t【详解】（1）fxgx2，①，

x1将x换为x，代入上式得fxgx2，

因为fx是偶函数，gx是奇函数， 所以fxfx,gxgx， 所以

fxgx2x1，②，

xxxx所以由①②可得fx22,gx22 （2）任取x1,x2,且x2x1，

gx2gx122x2x222x1x12x22x1222x12x2x2x112x22x11x1x222， 因为当x2x1时，2x22x10， 所以gx2gx10，

所以gx在,上单调递增； （3）由题意可得22令t2x2x，

xxa22x22x0，

231x,1t由可得,， 222则22x22xt22，

23,使得ta2t20成立， 原式等价于存在t22t11a2即t2t2，只需a2即可．

tttmax第 15 页 共 16 页

又因为

232， 22222， tmin所以t12所以， 24ttmax所以a2． 4【点睛】关键点点睛：本题考查求抽象函数的解析式，解题关键是构造关于f(x),g(x)的新方程．存在某个范围使不等式成立，一般需要不断转化，本题换元后转化为

at1t22t2有解，进一步转化为利用均值不等式求最大值．考查了学生的运算求

t解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

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