2021届湖南省邵东县第一中学高三第五次月考数学试卷

数学试卷

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项符合题目要求） 1. 复数

A.

1的虚部是（ ） 13i3i 10 B. 1 10 C.

1 10 D.

3 102．“x3且y3”是“xy6”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 x2ln|x|

3．函数y＝的图象大致是( )

|x|

4．数列{an}中，a12，amnaman，若ak1ak2A. 2

ak1021525，则k（ ）

B. 3 C. 4 D. 5

25．已知非负数x,y满足xyy1，则x2y的最小值为 （ ）

32 2A． B．2 C．

1 2 D．1

6． 已知平面向量a,b,c是单位向量,且ab0.则abc的取值范围是（ ）

,1 C．1，,3 ，,2+1 B．21，,2+1 D．2，A．2-17. 在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外

接球的表面积为（ ）

A.1040 B. C.11 D.7 3328. 函数f(x)4lnxax3存在两个不同的零点x1,x2，函数g(x)xax2存在两个不同的零

点x3,x4，且满足x3x1x2x4，则实数a的取值范围是（ ）

11A．0,3 B．22,3 C．22,4e4 D．3,4e4

二、多择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选对的

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得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9. 已知正项等比数列an满足a12,a42a2a3，若设其公比为q，前项和为Sn，则（ ）

nA．q2 B．an2 C．S102047 D．anan1an2

10. f(x)(asinxcosx)cosx1的图像的一条对称轴为x，则下列结论中正确的是（ ） 26

7,0是f(x)图像的一个对称中心 A．f(x)是最小正周期为的奇函数 B．点12C．f(x)在,上单调递增 33D．先将函数y2sin2x图像上各点的纵坐标缩短为原来的

移

1，然后把所得函数图像再向左平 2个单位长度，即可得到函数f(x)的图像 1211. 点M是正方体ABCDA1B1C1D1中侧面ADD1A1上的一个动点，则下面结论正确的是（ ） A．满足CMAD1的点M的轨迹为直线 B．若正方体的棱长为1，三棱锥BC1MD的体积的最大值为

1 3C．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等 D．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30o 12．关于函数f(x)easinx，x,下列说法正确的是（ ）

xA．当a1时，f(x)在0,f(0)处的切线方程为2xy10 B．当a1时，f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0 C．对任意a0，f(x)在,上均存在零点 D．存在a0，f(x)在,上有且只有一个零点 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时， fxx ，则f(－8)的值是____.

14.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段DC1上的动点，则M点到直线AD1距离的最小值为

12

32

15. 若函数f(x)＝3x＋x－3在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 16.定义函数f(x)xx，其中x表示不超过x的最大整数，例如1.31，1.52，22，当x0,nnN*时，f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，

- 2 -

23111则

a21a31a411a20211的值为 .

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤）

17.（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2c2a2bc. （1）已知_______________，计算ABC的面积； 请在①a7，②b2，③sinC2sinB这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答，

只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cosBcosC的最大值.

18.（12分）已知数列an的各项均为正数，对任意的nN*，它的前n项和Sn满足Sn并且a2,a4,a9成等比数列. （1）求数列an的通项公式；

n1（2）设bn(1)anan1，Tn为数列bn的前n项和，求T2n.

1211anan，623

19. （12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD， AB 垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SAABBC2，AD1. （1）若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；

（2）当SM2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；

（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求当sin

取最大值时点N的位置.

20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某学校为了解教职员工每日健步走的情况，从该学校正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得

- 3 -

到频率分布直方图如图所示.

（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结

果保留整数）；

（2）由直方图可以认为该学校员工的日行步数（单位：千步）服从正态分布N,2，其中为样本

平均数，标准差的近似值为2，求该学校被抽取的300名员工中日行步数(14,18]的人数； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该学校员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问

奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望.

附：若随机变量服从正态分布N,2，则P()0.6827，

P(22)0.9545，P(33)0.9973.

21．（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：

F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，|PF1|+|PF2|的最小值为8． （1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆C2：

为椭圆C2上一点，过点Q的直线交椭圆C1于A，B两点，

2

2

的离心率为，左、右焦点分别是

且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C1于E，F两点．当Q在椭圆C2上移动时，四边

- 4 -

形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数f(x)xe（1）讨论函数fx的单调性；

2ax1

1a(aR)，g(x)ex1x

（2）对a(0,1)，是否存在实数，ma1,a,na1,a使f(n)g(m)0成立，若

2存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

1. D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7.B 8.D 9. ABD；10.BD 11．BC；12．ABD

13. 4 14. 140403a ) 15. a∈[－3,0)．16. 2(1202120213四、解答题：（本大题共6小题，共70分。要求有演算步骤） 17.【解析】（1）若选②b2，③sinC2sinB．

sinC2sinB，c2b4， A(0,)，Ab2c2a21，又bcabc，cosA2bc2222． 3 - 5 -

113∴ABC的面积SbcsinA2423．

222若选①a7，②b2．由b2c2a2bc可得c3，b2c2a2bc，

b2c2a21cosA，又

2bc2A(0,)，A． 311333． ∴ABC的面积SbcsinA232222 若选①a7，③sinC2sinBsinC2sinB，c2b，又b2c2a2bc，

b24b272b2，可得b21221，c 331121221373． ∴ABC的面积SMBCbcsinA223326（2）

A13cosBcosCcosBcos[(B)]cosBcos(B)cosBcosBsinB

3322313cosBsinBsin(B)226250B，B

3366当B时，sin(B)cosBcosC有最大值1．

63*18.【答案】（1）an3n2,nN；（2）18n26n

∵对任意nN*，【解析】有Sn或2.当n2时，有Sn112111211anan①∴当a1时，有S1a1a1a1，解得a116236231211an1an1②①②并整理得anan1anan130.而数列an的623各项均为正数，∴anan13.

2当a11时，an13(n1)3n2，此时a4a2a9成立；

2*当a12时，an23(n1)3n1，此时a4a2a9，不成立，舍去.∴an3n2,nN.

（2）T2nb1b2b2na1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1.

a2a1a3a4a3a5a2na2n1a2n16a26a46a2n6a2a4a2n6

n(46n2)18n26n

2- 6 -

19.【详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED． 在

中，ME为中位线，∴ME//BC且ME11BC，∵AD//BC且ADBC，∴ME//AD且

22MEAD，∴四边形AMED为平行四边形．∴AM//DE．∵DE平面SCD，AM平面SCD，

∴AM//平面SCD．

（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，B0,2,0，C2,2,0，D1,0,0，S0,0,2，

由条件得M为线段SB近B点的三等分点．于是AM214242ABAC(0,,)，即M0,,， 333333，将坐标代入并取y1，得n(1,1,2)．

设平面AMC的一个法向量为n(x,y,z)，则AMn0ACn0另外易知平面SAB的一个法向量为m1,0,0， 所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为

mnmn6． 6（3）设Nx,2x2,0，其中1x2．由于M0,42102,，所以MNx,2x,．

333340x11sin315，即所以，可知当401041041401MNm20826x5x2x25399x3x9MNmx26时分母有最小值，此时15有最大值，此时，N2622115,,0，即点N在线段CD上且ND．

15151520．【答案】(1) 12 (2) 47 (3) 分布列见解析，EX=216

【解析】（1） 由题意有x0.005250.005270.04290.29211

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0.112130.032150.0152170.00521911.6812（千步）

（2）由N,2，由（1）得∼N12,22

所以P1418P12+212321P618P1014 210.99730.68270.1573 2所以300名员工中日行步数(14,18]的人数：3000.1573=47.

(3)由频率分布直方图可知：每人获得奖金额为0元的概率为：0.00522=0.02.

每人获得奖金额为100元的概率为：0.04+0.29+0.112=0.88每人获得奖金额为200元的概率为：

20.1X的取值为0，100，200,300,400.PX00.02=0.0004

11PX100C20.020.880.0352 PX200C20.020.1+0.8820.7784 1PX300C20.10.880.176PX4000.120.01

所以X的分布列为：

X P

0 0.0004 100 0.0352 200 0.7784 300 0.176 400 0.01 EX=00.0004+1000.0352+2000.7784+3000.176+4000.01=216 （元）

21．

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（2）直线EF的方程为y0x﹣x0y=0，联立直线EF与椭圆C1的方程，

解得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C1的方程，

消去y，得：，x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y0，

2

|AB|=设点E（SAEBF=S△ABE+S△ABF=

•

）、F（﹣

，

=•=，

）到直线AB的距离分别为d1，d2，

==，

==，

∴SAEBF=•==4．

故当Q在椭圆C2上移动时，四边形AEBF的面积为定值4． 解：（1）f(x)xe2ax1ax11a(aR)的定义域为R，f(x)xax2e

①当a0时，x0，f(x)0；x0，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为0,，单调递减区间为,0． ②当a0时，x,22xf(x)0，；,0,f(x)0；x0,，f(x)0，所以

aa220,，，单调递减区间为,0，

aa函数f(x)的单调递增区间为,

③当a0时，x,0，f(x)0；x0,22x,f(x)0，；，f(x)0，所以

aa - 9 -

函数f(x)的单调递增区间为0,（2）由g(x)ex122,,0，单调递减区间为，。

aax，得g(x)ex11，当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，故g(x)在,1上单调递减，在1,上单调递增，所以g(x)ming(1)0，故当ma1,a时，

g(m)ming(a)ea1a0；当a0,1时，a12，由（1）知，当na1,a时，af(n)minf(0)1a0，所以f(n)2min1a，若ma1,a,na1,a使

22f(n)1a2g(m)0成立，即f(n)g(m)，则0，且f(n)ming(m)min，所以

ea122a，即1a2ea1a1x。设h(x)ex1x12x，x0,1，则

h(x)x13ex1xex1x1ex1x2，令r(x)3exex1x1，x0,1，则

r(x)(2x)(ex11)，当x0,1时，由ex1x1，故e1x2x，所以(2x)ex11，故

r(x)0，r(x)r(1)0，所以r(x)在0,1上单调递减，所以x0,1时，即r(x)0，又x0,1时，x10，所以当x0,1时，h(x)0，h(x)单调递减，所以当x0,1时，h(x)h(0)e，

1a即a0,1，

ea12ae，故e，所以当e时，a0,1

2ma1,a,na1,a使f(n)g(m)0成立.即e。

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