2021-2022学年湖南省邵阳市邵东县高二（上）期末数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知平面上两点𝐴(1,2,3)，𝐵(−1,1,1)，则下列向量是直线𝐴𝐵的方向向量是( )
A. (−1,1,1) B. (1,2,3) C. (1,2,1) D. (2,1,2)
2. 抛物线𝑦=4𝑥2的准线方程为( )
A. 𝑥=−1 B. 𝑥=1
C. 𝑦=−16
1
D. 𝑦=16
1
3. 若圆𝑂：𝑥2+𝑦2+2𝑥−1=0与直线𝑥+𝑦+𝑎=0相切，则𝑎=( )
A. 3 B. −1或3 C. −1 D. −1或−4
4. 已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆10=2，𝑆30=14，则𝑆40=( )
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
5. 若𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥，则𝑓(𝑥)图像上的点的切线的倾斜角𝛼满足( )
A. 一定为锐角 B. 一定为钝角 C. 可能为0° D. 可能为直角
6. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与矩形𝐴𝐶𝐸𝐹所在的平面互相垂直，𝐴𝐵=√2，𝐴𝐹=1，𝑀在𝐸𝐹
上，且𝐶𝑀⊥平面𝐵𝐷𝐸，则𝑀点的坐标为( )
2√2
A. (√,,1) 222
B. (1,√,1) 2𝑥2𝑎2
𝑦2
2√2√2
C. (√,,) 222
D. (1,1,1)
7. 设𝐹1，𝐹2为双曲线𝐶1：−𝑏2=1与椭圆𝐶2的公共的左、右焦点，它们在第一象限
内交于点𝑃，△𝑃𝐹1𝐹2是以线段𝑃𝐹1为底边的等腰三角形，若椭圆𝐶2的离心率范围为[5,12]，则双曲线𝐶1的离心率取值范围是( )
2
5
A. [2,2]
8. 设函数𝑓(𝑥)={
范围是( )
5
B. [5,2]
125
C. [2,5]
12
D. [2,5]
|𝑙𝑛𝑥|,𝑥>0
，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有两个零点，则实数𝑚的取值
𝑥𝑒𝑥,𝑥≤0
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A. (−𝑒,𝑒)
C. (−𝑒,0)∪(0,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
1
1
B. (−𝑒,0] D. (−𝑒,+∞)
1
1
9. 直线𝑦=𝑥+𝑚与曲线𝑦=√4−𝑥2恰有两个交点，则实数𝑚的值不可能是( )
A. 2 B. 3
1
𝑛+1
C. 4 D. 5
10. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=5，𝑎𝑛+1=−𝑎
，能使𝑎𝑛=5的𝑛可以为( )
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
11. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 若两条不重合的直线𝑙1，𝑙2的方向向量分别是𝑎⃗ =(2,−2,−1),⃗ 𝑏=(−2,−2,1)，
则𝑙1//𝑙2
⃗ =(1,1,2)，平面𝛼的法向量是𝑛⃗ =(−2,−2,−4)，则𝑙⊥𝛼 B. 若直线𝑙的方向向量是𝑎
⃗ =(0,2,0)，平面𝛼的法向量是𝑛⃗ =(−2,0,2)，则𝑙//𝛼 C. 若直线𝑙的方向向量是𝑎
⃗⃗⃗ =(3,−4,2),𝑛⃗ =(−2,0,3)，则𝛼⊥𝛽 D. 若两个不同的平面𝛼，𝛽的法向量分别是𝑚12. 已知双曲线
𝑥2
−16
𝑦29
=1的两个顶点分别是𝐴1，𝐴2，两个焦点分别是𝐹1，𝐹2.𝑃是双曲
线上异于𝐴1，𝐴2的任意一点，则有( )
A. ||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴2=9，则⃗𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0
C. 直线𝑃𝐴1，𝑃𝐴2的斜率之积等于16 D. 使得△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形的点𝑃有8个
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
𝑥+𝑦+1=0和直线𝑙2：𝑥+𝑦−3=0的距离相等的直线方程为______． 13. 与直线𝑙1：
14. 已知曲线𝑦=𝑥3+4，则曲线在点𝑃(1,5)处的切线方程为______． 15. 椭圆方程为
𝑥2𝑎
2+
7
𝑦2𝑏2
以这一点为中点的弦所在的=1(𝑎>𝑏>0)椭圆内有一点(1,1)，
直线方程为𝑦=−2𝑥+3，则椭圆的离心率为______． 16. 如图将自然数1，2，3，4，…按到箭头所指方向排列，并
依次在2，3，5，7，10，13，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是______，超过2021的第一个拐弯数是______．
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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=10，𝑎5=1．
(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
(2)设𝐻𝑛=|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎𝑛|，求𝐻40．
18. 设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑏，𝑎≠0．
(1)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，求𝑎，𝑏； (2)求函数𝑓(𝑥)的单调区间．
19. 已知圆𝐶：𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦−3=0，直线𝑙：𝑚𝑥−𝑦+1−2𝑚=0(𝑚∈𝑅)．
(1)证明直线𝑙与圆𝐶一定有两个交点；
(2)求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程．
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𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝑃𝐴𝐷⊥20. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，
𝐵𝐶=𝐴𝐷=1，𝑄，𝑀分别为𝐴𝐷，𝑃𝐶的中点，底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐷=√2，𝐶𝐷=√3． 2(1)求证：平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵； (2)求二面角𝑃−𝑄𝐵−𝑀的大小．
1
21. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知圆𝑀：𝑥2+𝑦2=4，点𝑃在圆上，过点𝑃作𝑥轴的垂
线，垂足为𝑄，𝑁是𝑃𝑄的中点，当𝑃在圆𝑀上运动时𝑁形成的轨迹为𝐶． (1)求𝐶的轨迹方程；
(2)若点𝐴(−√3,0)，𝐹两试问在𝑥轴上是否存在点𝑀，使得过点𝑀的动直线𝑙交𝐶于𝐸，点时，恒有∠𝐸𝐴𝑀=∠𝐹𝐴𝑀？若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥⋅𝑙𝑛𝑥．
(1)证明：𝑓′(𝑥)>0；
(2)设𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)，𝑔(𝑥)一定有零点，证明：若𝑎>1，并判断零点的个数．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：两点𝐴(1,2,3)，𝐵(−1,1,1)， 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(−2,−1,−2)；
整理得⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(2,1,2)，即直线𝐴𝐵的方向向量； 故选：𝐷．
直接利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】𝐶
【解析】 【分析】
本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及𝑝的值，进而可得其准线方程，即可得答案． 【解答】
解：根据题意，抛物线𝑦=4𝑥2的标准方程为𝑥2=4， 其焦点在𝑦轴正半轴上，且𝑝=8， 则其准线方程为𝑦=−16． 故选C．
1
1
𝑦
3.【答案】𝐵
【解析】解：圆的方程即(𝑥+1)2+𝑦2=2， 由题意可知圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|−1+0+𝑎|√1+1=√2，则|𝑎−1|=2，解得𝑎=3或𝑎=−1．
故选：𝐵．
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由题意得到关于𝑎的方程，解方程即可确定实数𝑎的值． 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】𝐵
【解析】解：根据题意，等比数列{𝑎𝑛}中，设其公比为𝑞， 若𝑆10=2，𝑆30=14，必有𝑞>0且𝑞≠1， 𝑆10=1−𝑞=2则有{， 𝑎1(1−𝑞30)
𝑆30=1−𝑞=14
30
则有𝑆=1+𝑞10+𝑞20=7，变形可得𝑞20+𝑞10−6=0，解可得𝑞10=2，
10
1110
又由𝑆10=1−𝑞(1−𝑞)=2，变形可得1−𝑞=−2， 140
故𝑆40=1−𝑞(1−𝑞)=30，
𝑎1(1−𝑞10)
𝑆
𝑎𝑎
𝑎
故选：𝐵．
根据题意，等比数列{𝑎𝑛}中，设其公比为𝑞，先由等比数列的前𝑛项和公式列方程组解得𝑞10，进而求出1−𝑞的值，结合等比数列的前𝑛项公式计算可得答案．
本题考查等比数列前𝑛项和的性质和计算，注意等比数列前𝑛项公式的形式，属于基础题．
𝑎1
5.【答案】𝐶
【解析】解：由𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥，得𝑓′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1∈𝑅， 即𝑓(𝑥)图像上的点的切线的斜率为任意实数，
∴𝑓(𝑥)图像上的点的切线的倾斜角𝛼可能是锐角，可能是钝角，可能是0°角，不可能是直角． 故选：𝐶．
求出原函数的导函数，可得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值得答案． 本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
6.【答案】𝐴
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【解析】解：如图，以𝐶为坐标原点，分别以𝐶𝐷、𝐶𝐵、𝐶𝐸所在直线为𝑥、𝑦、𝑧轴建立空间直角坐标系， 则𝐶(0,0,0)，𝐷(√2,0,0)，𝐵(0,√2,0)，𝐸(0,0,1)， 设𝑀(𝑎,𝑎,1)，
⃗ =(𝑎,𝑎,1)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，⃗⃗⃗⃗⃗ 则⃗⃗⃗⃗⃗𝐶𝑀𝐷𝐸𝐵𝐸=(0,−√2,1)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2𝑎+1=0𝐶𝑀∵𝐶𝑀⊥平面𝐵𝐷𝐸，∴{，解得𝑎=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑀𝐵𝐸=−√2𝑎+1=0
√2
． 2
∴则𝑀点的坐标为(√,√,1)．
22故选：𝐴．
以𝐶为坐标原点，分别以𝐶𝐷、𝐶𝐵、𝐶𝐸所在直线为𝑥、𝑦、𝑧轴建立空间直角坐标系，由题意设𝑀(𝑎,𝑎,1)，结合𝐶𝑀⊥平面𝐵𝐷𝐸，由向量数量积列关于𝑎的方程组求解． 本题考查空间中直线与平面垂直关系的应用，考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题．
22
7.【答案】𝐴
【解析】解：如图所示， 椭圆的长轴为2𝑎1， 椭圆与双曲线的半焦距为𝑐．
由题意可得：|𝑀𝐹2|=|𝐹1𝐹2|=2𝑐，|𝑀𝐹1|=2𝑎−2𝑐． 由椭圆的定义可得：2𝑎+2𝑐+2𝑐=2𝑎1，即𝑎+2𝑐=𝑎1， ∴𝑒+2=𝑒，
1
11
∵𝑒1∈[5,12]，∴𝑒∈[5,2]， ∴𝑒∈[2,2]. 故选：𝐴．
如图所示，设椭圆的长轴为2𝑎1，椭圆与双曲线的半焦距为𝑐.表示|𝑃𝐹2|=2𝑐，|𝑃𝐹1|=2𝑎+2𝑐.从而可得𝑎，𝑐，𝑎1，可得𝑒−2=𝑒，可求双曲线离心率范围．
1
25121
5
11
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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8.【答案】𝐷
𝑦=【解析】解：因为当𝑥≤0时，𝑥𝑒𝑥≤0，
所以𝑦′=𝑒𝑥(𝑥+1)， 令𝑦′=0，得𝑥=−1，
所以当𝑥∈(−∞,−1)时，𝑦′<0，𝑦=𝑥𝑒𝑥单调递减；当𝑥∈[−1,0])时，𝑦′>0，𝑦=𝑥𝑒𝑥单调递增； 所以𝑦𝑚𝑖𝑛=−𝑒，
作出𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示：
𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有两个零点等价于𝑦=𝑓(𝑥)的图象与𝑦=𝑚的图象有2个交点， 由图象可得𝑚>−𝑒， 故选：𝐷．
𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚有两个零点等价于𝑦=𝑓(𝑥)的图象与𝑦=𝑚的图象有2个交点，作出𝑦=𝑓(𝑥)的图，由图象可得答案．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
11
9.【答案】𝐵𝐶𝐷
【解析】解：曲线𝑦=√4−𝑥2表示圆𝑥2+𝑦2=4在𝑥轴的上半部分，
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当直线𝑦=𝑥+𝑚与圆𝑥2+𝑦2=4相切时，√2=2，解得𝑚=±2√2， 当点(−2,0)在直线𝑦=𝑥+𝑚上时，𝑚=2， 据此可得𝑚的取值范围是[2,2√2),
结合选项可知选项A满足题意，𝐵𝐶𝐷不合题意． 故选：𝐵𝐶𝐷．
由题意首先求得𝑚的取值范围，然后结合选项可确定𝑚的值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．
|𝑚|10.【答案】𝐴𝐷
【解析】解：∵𝑎1=5，𝑎𝑛+1=−𝑎∴𝑎2=−
1𝑎1
1
1
𝑛+1
，
1
1
=−，𝑎3=−−1+1=−5，𝑎4=−−6+1=5，……， +16
656
∴𝑎𝑛+3=𝑎𝑛，
能使𝑎𝑛=5的𝑛可以为3𝑘+1的形式，因此22，28满足条件， 故选：𝐴𝐷． 由𝑎1=5，𝑎𝑛+1=−𝑎
1
𝑛+1
，通过计算可得𝑎𝑛+3=𝑎𝑛，即可判断出结论．
本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】𝐴𝐵𝐶𝐷
【解析】解：对于𝐴，两条不重合的直线𝑙1，𝑙2的方向向量分别是𝑎⃗ =(2,−2,−1),⃗ 𝑏=(−2,−2,1)，
⃗ ，∴𝑙1//𝑙2，故A正确； ∵𝑎⃗ =−𝑏
⃗ =(1,1,2)，平面𝛼的法向量是𝑛⃗ =(−2,−2,−4)， 对于𝐵，直线𝑙的方向向量是𝑎∵𝑛⃗ =−2𝑎⃗ ，∴𝑙⊥𝛼，故B正确；
⃗ =(0,2,0)，平面𝛼的法向量是𝑛⃗ =(−2,0,2)， 对于𝐶，直线𝑙的方向向量是𝑎∵𝑎⃗ ⋅𝑛⃗ =0，∴𝑙//𝛼，故C正确；
⃗⃗⃗ =(3,−4,2),𝑛⃗ =(−2,0,3)， 对于𝐷，两个不同的平面𝛼，𝛽的法向量分别是𝑚∵𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =0，∴𝛼⊥𝛽，故D正确． 故选：𝐴𝐵𝐶𝐷．
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⃗ =−2𝑎⃗ ，从而𝑙⊥𝛼；对于𝐶，𝑎⃗ ⋅𝑛⃗ =0，从而对于𝐴，𝑎⃗ =−⃗ 𝑏，从而𝑙1//𝑙2；对于𝐵，𝑛𝑙//𝛼；对于𝐷，𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =0，从而𝛼⊥𝛽．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】𝐵𝐷
【解析】解：由双曲线5，
对于𝐴.由双曲线的定义得，||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎=8，故A不正确；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对于𝐵.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则𝑥0²+𝑦0²=25=𝑐²，从而⃗𝑃𝐴1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴2=𝑥0²+𝑦0²−16=9，𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=𝑥0²+𝑦0²−𝑐²=0，故B正确； 对于𝐶.设𝑃(𝑥0,𝑦0)，则
2𝑥0
𝑥216
−
𝑦29
𝑏=3，𝑏2=9，所以𝑎=4，=1可得𝑎2=16，𝑐=√16+9=
−16
2𝑦0
9
=1，所以 𝑘𝑃𝐴1⋅𝑘𝑃𝐴2=𝑥2−16=16，故C不正确；
0
2𝑦0
9
对于𝐷.若𝑃在第一象限，则当𝑃𝐹1=2𝑐时，|𝑃𝐹2|=2𝑐−2𝑎，△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形；当|𝑃𝐹2|=2𝑐时，|𝑃𝐹1|=2𝑐+2𝑎，△𝑃𝐹1𝐹2也为等腰三角形； 因此使得△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形的点𝑃有八个，故D正确． 故选：𝐵𝐷．
由双曲线的定义可判断𝐴不正确；利用向量的数量积计算判断𝐵；化简斜率乘积推出结果判断𝐶；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断𝐷．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
13.【答案】𝑥+𝑦−1=0
【解析】解：设与直线𝑙1：𝑥+𝑦+1=0和直线𝑙2：𝑥+𝑦−3=0的距离相等的直线方程为：𝑥+𝑦+𝑡=0， 可得| 𝑡−1|√2=
|−3−𝑡|√2，解得𝑡=−1，
所求直线方程为：𝑥+𝑦−1=0． 故答案为：𝑥+𝑦−1=0．
利用平行线之间的距离公式求解即可．
本题考查平行线之间的距离的求法，直线方程的求法，是基础题．
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14.【答案】3𝑥−𝑦+2=0
【解析】解：𝑦=𝑥3+4的导数为𝑦′=3𝑥2， 则在𝑃(1,5)处的切线斜率为3×1=3，
即有曲线在𝑃(1,5)处的切线方程为𝑦−5=3(𝑥−1)， 即为3𝑥−𝑦+2=0； 故答案为：3𝑥−𝑦+2=0．
由题意对函数求导，再代入𝑥=1，即可得切线的斜率，并求切线方程即可．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
215.【答案】√ 2
【解析】解：设以点(1,1)为中点的弦所在的直线与椭圆的交点为𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)， 则
𝑥1+𝑥22
=1，
𝑦1+𝑦22
=1，
由题意可得𝑥1−𝑥2=−2，
+𝑏1
2=1𝑥2−𝑥2𝑦2−𝑦2𝑎2将𝐴，𝐵的坐标代入椭圆的方程：{𝑥2𝑦2，作差可得122=−122，
𝑎𝑏22
+=122𝑎𝑏整理可得𝑥
𝑦1−𝑦2
1−𝑥2
2𝑥1
𝑦1−𝑦2
𝑦2
=−𝑏2⋅𝑦
𝑎2
𝑥1+𝑥2
1+𝑦2
=−𝑏2，因为以𝑃点为中点的弦所在的直线方程为𝑦=
𝑎2
−2𝑥+3，
所以可得−2=−2，则2=，
𝑏𝑎2
所以椭圆的离心率为𝑒=𝑐=√1−𝑏2=√1−1=√2，
𝑎𝑎22故答案为：√．
222
𝑎2𝑏2
1
设以点(1,1)为中点的弦的交点𝐴，𝐵的坐标，代入椭圆的方程，作差可得，整理为斜率的的形式，由题意可得𝑎，𝑏的关系，可得椭圆的离心率． 本题考查点差法求中点弦所在的直线的斜率，属于中档题．
16.【答案】290 2026
【解析】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系如下表：
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拐弯的数 拐弯处的数 0 1 1 2 2 3 3 5 4 7 5 10 6 13 7 17 8 21 … … 观察拐弯处的数字的规律： 第1个数2=(
1+12
)2
+1，第3个数5=(+1，⋅⋅⋅， +1，
𝑛
𝑛
3+12
)2
+1，第5个数10=(
5+12
)2
+1，
第7个数17=(
7+12
)2
∴当𝑛为奇数时为(
𝑛+12
)2
同理得当𝑛为偶数时为(1+2)×2+1， 第33次拐弯的数是(
33+12
)2
882
+1=290，
882
当𝑛=88时，可得(1+当𝑛=89时，可得(
)×+1=1981，
89+12
)2
+1=2026，
∴超过2021的第一个拐弯数是2026． 故答案为：290；2026．
观察拐弯处的数字的规律，推导出当𝑛为奇数时为(
𝑛
𝑛+12
)2
+1，当𝑛为偶数时为(1+
)×2+1，由此能求出结果． 2
𝑛
本题考查归纳推理的应用，考查数字规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵{𝑎𝑛}是等差数列，∴公差𝑑=
𝑎𝑛=𝑎2+(𝑛−2)×(−3)=−3𝑛+16； 即𝑎𝑛=−3𝑛+16.⋅⋅⋅⋅⋅(5分)
𝑎5−𝑎25−2
=−3⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2分)
(2)𝐻𝑛=|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎𝑛|，则𝐻40=|𝑎1|+|𝑎2|+|𝑎3|+⋯+|𝑎40|， 由(1)可知前五项为正，第六项开始为负，⋅⋅⋅⋅⋅(6分) ∴𝐻40=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5−(𝑎6+𝑎7⋯+𝑎40) =
【解析】(1)求出数列的公差，然后求解数列的通项公式．
(2)说明数列前五项为正，第六项开始为负，然后取得绝对值求解数列的和即可．
(𝑎1+𝑎5)×5
2
−
(𝑎6+𝑎40)×35
2
=35+1855=1890.⋅⋅⋅⋅⋅⋅(10分)
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本题考查数列求和的方法，等差数列通项公式的应用，是中档题．
18.【答案】解：(1)由于切点(1,𝑓(1))在切线𝑦=2𝑥+1上，
所以𝑦=2×1+1=3，函数过点(1,3)，(2分) ∴𝑓(1)=0+𝑏=3，𝑏=3，(4分)
又𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑙𝑛𝑥+1)，根据导数几何意义，𝑓′(1)=𝑎(𝑙𝑛1+1)=𝑎=2， ∴𝑎=2，𝑏=3；(6分)
(2)由题意可知𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑙𝑛𝑥+1)，𝑥>0，
当𝑎>0时，𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑙𝑛𝑥+1)>0，则𝑥>𝑒；𝑓′(𝑥)<0,0<𝑥<𝑒；(8分) 当𝑎<0时，𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑙𝑛𝑥+1)>0，则0<𝑥<𝑒；𝑓′(𝑥)<0,𝑥>𝑒(10分) ∴当𝑎>0时，𝑓(𝑥)在(0,𝑒)上单调递减，(𝑒,+∞)单调递增； 当𝑎<0时，𝑓(𝑥)在(0,𝑒)上单调递增，(𝑒,+∞)单调递减． (12分)
【解析】(1)由𝑓(1)=0+𝑏=3可求得𝑏，𝑓′(1)=2可求得𝑎；
(2)𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑙𝑛𝑥+1)(𝑥>0)，对𝑎分𝑎>0与𝑎<0讨论，可求得函数𝑓(𝑥)的单调区间． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化化归思想、分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
1
1
1
1
1
1
1
1
19.【答案】(1)证明：𝑚𝑥−𝑦+1−2𝑚=0，所以𝑚(𝑥−2)−𝑦+1=0，
𝑥−2=0𝑥=2{，∴{， −𝑦+1=0𝑦=1所以直线𝑙经过定点(2,1)．
因为(2−1)2+(1−2)2<8，所以定点在圆内， 所以直线𝑙和圆𝐶相交．
(2)解：解法一：圆心为(1,2)，到(2,1)距离为√2为最长， 圆的方程即(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=8， 则最短弦长为2√8−2=2√6，
即最短弦是与圆心和(2,1)垂直所以直线𝑙的方程为𝑥−𝑦−1=0． 解法二：利用圆心到直线𝑚𝑥−𝑦+1−2𝑚=0距离构成关于𝑚的函数： 𝑑=
|𝑚−2+1−2𝑚|√𝑚2+1=
|𝑚+1|√𝑚2+1=√𝑚2+1=√
1
(𝑚+1)2𝑚2+2𝑚+1𝑚2+1
=√1+2𝑛2+1=√1+
2𝑚2𝑚+
1𝑚
，
要求𝑑的最大值，则𝑚>0,𝑚+𝑚≥2，当且仅当𝑚=1时，𝑑的最大值为√2，
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所以直线𝑙的方程为𝑥−𝑦−1=0．
【解析】(1)由题意首先确定直线恒过定点，然后确定交点个数即可； (2)解法一：利用圆的几何关系求解；
解法二：由题意将圆心到直线的距离表达成关于𝑚的函数，利用基本不等式求得其最值，据此即可确定距离的最值，然后求解直线方程即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
(1)证明：𝑄为𝐴𝐷的中点，𝐵𝐶=【答案】因为𝐴𝐷//𝐵𝐶，20.
12
𝐴𝐷，所以𝐵𝐶=𝑄𝐷，
所以四边形𝐵𝐶𝐷𝑄为平行四边形，
因为∠𝐴𝐷𝐶=90°，所以平行四边形𝐵𝐶𝐷𝑄是矩形，所以𝐵𝐶⊥𝐵𝑄，
因为𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐴𝑄=𝑄𝐷，所以𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，
又因为平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑄⊂面𝑃𝐴𝐷， 所以𝑃𝑄⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，因为𝐵𝐶⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝑄⊥𝐵𝐶， 又因为𝑃𝑄∩𝐵𝑄=𝑄，所以𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵，
因为𝐵𝐶⊂平面𝑃𝐵𝐶，所以平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵. (5分)
(2)解：由(1)可得：𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃两两垂直，如图，分别以𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃所在的直线为𝑥，𝑦，𝑧轴建立空间直角坐标系，(6分)
则𝑄(0,0,0),𝐵(0,√3,0),𝑃(0,0,1),𝐶(−1,√3,0),𝑀(−,√,)(7分)
2
2
2
1
31
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,1)，(8分) 则⃗𝑄𝐵𝑄𝑀222⃗⃗⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)， 设平面𝑄𝐵𝑀的一个法向量𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑚𝑄𝐵⃗⃗⃗ =√3𝑦=0
⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由{，则𝑦=0，令𝑥=1，则𝑧=1，所以𝑚11√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑀⋅ 𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ =−2𝑥+2𝑦+2𝑧=0设平面𝑃𝑄𝐵的一个法向量𝑛⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=(−1,0,0)，(10分) 所以𝑐𝑜𝑠𝛼=|𝑚=
⃗⃗⃗ |||
𝑛
|𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ |1√=
2𝜋√2
(也可以找𝑃𝐷的中点利用几，根据图像可知二面角大小为42
何方法求出) (12分)
【解析】(1)证明平行四边形𝐵𝐶𝐷𝑄是矩形，得到𝐵𝐶⊥𝐵𝑄，证明𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，𝑃𝑄⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，推出𝑃𝑄⊥𝐵𝐶，然后证明𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵，即可证明平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵．
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(2)𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃两两垂直，分别以𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃所在的直线为𝑥，𝑦，𝑧轴建立空间直角坐标系，求出平面𝑄𝐵𝑀的一个法向量，平面𝑃𝑄𝐵的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角大小即可．
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)设𝑁(𝑥,𝑦)，𝑃(𝑥0,𝑦0)，因为𝑁为𝑃𝑄的中点，{𝑦0=2𝑦，
0
𝑥=𝑥
又𝑃点在圆上，∴𝑥2+(2𝑦)2=4， 即𝐶的轨迹方程为
𝑥24
+𝑦2=1．
(2)不存在满足条件的点𝑀，理由如下：
假设存在满足条件的点𝑀，设点𝑀的坐标为(𝑚,0)，直线𝑙的斜率为𝑘， 则直线𝑙的方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑚)，
𝑦=𝑘(𝑥−𝑚)由{𝑥2消去𝑦并整理，得(4𝑘2+1)𝑥2−8𝑚𝑘2𝑥+4𝑘2𝑚2−4=0， 2
+𝑦=14设𝐸(𝑥1,𝑦1)、𝐹(𝑥2,𝑦2)，则𝑥1+𝑥2=4𝑘2+1，𝑥1𝑥2=
𝑦18𝑚𝑘
4𝑘2𝑚2−44𝑘2+1
，
由∠𝐸𝐴𝑀=∠𝐹𝐴𝑀，得𝑘𝐴𝐸+𝑘𝐴𝐹=0，即𝑥1+√3+𝑥2+√3=0， 将𝑦1=𝑘(𝑥1−𝑚)，𝑦2=𝑘(𝑥2−𝑚)代入上式并化简， 得2𝑥1𝑥2+(√3−𝑚)(𝑥1+𝑥2)−2√3𝑚=0． 将(∗)式代入上式，有2解得𝑚=−而−
𝑥0=𝑥
【解析】(1)设𝑁(𝑥,𝑦)，𝑃(𝑥0,𝑦0)，因为𝑁为𝑃𝑄的中点，{𝑦=2𝑦，代入可得𝐶的轨迹方
0程；
(2)不存在满足条件的点𝑀，理由如下：直线𝑙的方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑚)，联立方程可得𝑥1+𝑥2=4𝑘2+1，𝑥1𝑥2=代入求解即可．
本题考查点的轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
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8𝑚𝑘
4𝑘2𝑚2−44𝑘2+1
4√33
4√3， 3
4𝑘2𝑚2−44𝑘2+1
𝑦2+(√3−𝑚)4𝑘2+1−2√3𝑚=0，
8𝑚𝑘2
求得点𝑀在椭圆外，与椭圆有交点不满足条件，所以不存在这样的点𝑀． <−2，
，由∠𝐸𝐴𝑀=∠𝐹𝐴𝑀，得𝑘𝐴𝐸+𝑘𝐴𝐹=0，即𝑥1+√3+𝑥2+√3=0，
𝑦1𝑦222.【答案】证明：(1)因为𝑓(𝑥)=𝑒𝑥⋅𝑙𝑛𝑥，
所以𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥+因为𝑒𝑥>0，
设𝑔(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+1，则𝑔′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1，当0<𝑥<𝑒时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)递减，当𝑥>𝑒时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)递增，(4分) 而𝑔(𝑒)=𝑒ln𝑒+1=1−𝑒>0， 所以𝑥>0时，𝑔(𝑥)≥𝑔(𝑒)>0， 所以𝑓′(𝑥)>0；(6分)
(2)𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)有零点，则𝑎𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)=0有解， 即𝑎𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥−
𝑒𝑥𝑥
1
1
1
1
1
1
1
𝑒𝑥𝑥
=
𝑒𝑥(𝑥𝑙𝑛𝑥+1)
𝑥
(𝑥>0)，(2分)
=0有解，又𝑒𝑥>0，则只要(𝑎−1)𝑙𝑛𝑥−𝑥=0，(8分)
1
因为𝑥>0，上面可以化为(𝑎−1)𝑥𝑙𝑛𝑥−1=0， 现在证明(𝑎−1)𝑥𝑙𝑛𝑥−1=0有解：
令ℎ(𝑥)=(𝑎−1)𝑥𝑙𝑛𝑥−1，则ℎ′(𝑥)=(𝑎−1)(𝑙𝑛𝑥+1)，可知ℎ(𝑥)在(0,𝑒)递减，在(𝑒,+∞)递增，
所以ℎ(𝑥)≥ℎ(𝑒)=−𝑒(𝑎−1)−1，
因为𝑎>1，所以−𝑒(𝑎−1)−1<0，(10分)
即ℎ(𝑥)在(0,𝑒)内恒有ℎ(𝑥)<0，而ℎ(𝑥)在(𝑒,+∞)递增，则一定存在一个数使得ℎ(𝑥)>0． 所以ℎ(𝑥)有且只有一个零点，
所以𝑔(𝑥)有零点，有一个零点． (12分)
(1)求导得𝑓′(𝑥)=【解析】
𝑒𝑥(𝑥𝑙𝑛𝑥+1)
𝑥
1
1
11
1
1
1
设𝑔(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+1，求导分析，得𝑔′(𝑥)>0(𝑥>0)，
恒成立，从而可证得𝑓′(𝑥)>0；
(2)依题意得𝑎𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)=0有解，即𝑎𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥−
1𝑥
𝑒𝑥𝑥
=0有解⇔(𝑎−1)𝑙𝑛𝑥−
=0即(𝑎−1)𝑥𝑙𝑛𝑥−1=0，构造函数ℎ(𝑥)=(𝑎−1)𝑥𝑙𝑛𝑥−1，求导，分析ℎ(𝑥)=0有
解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
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