一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知平面上两点A. 2.抛物线A. 3.若圆O：A. 3
4.已知等比数列A. 205.若
A. 一定为锐角
，则
B. B.
的准线方程为( )
B.
与直线或3
，且
C.
，C. 40C.
相切，则
D. ( )D. ，则
D. 50
满足( )
D. 可能为直角
在EF上，且
平
或( )
，
，则下列向量是直线AB的方向向量是( )
C.
D.
的前n项和为
B. 30
图像上的点的切线的倾斜角B. 一定为钝角
C. 可能为
6.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，面BDE，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.设，为双曲线与椭圆的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点P，
的离心率范围为
，则双曲线
的离心率取值
是以线段
范围是( )A.
为底边的等腰三角形，若椭圆
B. C. D.
第1页，共18页
8.设函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A. C.
B. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.直线A. 210.已知数列A. 22
中，
B. 24
与曲线
B. 3
恰有两个交点，则实数m的值不可能是( )
C. 4，能使C. 26
D. 5的n可以为( )
D. 28
11.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )A. 若两条不重合的直线
，
的方向向量分别是
，平面，平面
的法向量是的法向量是
，
，两个焦点分别是
，
，则，则，则
是双曲线上异于
的
，则
B. 若直线 l的方向向量是C. 若直线 l的方向向量是D. 若两个不同的平面12.己知双曲线任意一点，则有( )A. C. 直线
的斜率之积等于
，的法向量分别是
的两个顶点分别是
B. 若D. 使得
，则
为等腰三角形的点P有8个
三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.与直线14.已知曲线15.椭圆方程为
：
和直线，则曲线在点
：
的距离相等的直线方程为__________.
处的切线方程为__________.
椭圆内有一点
，以这一点为中点的弦所在的直线方程为
，则椭圆的离心率为__________.
16.如图将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…等处的位置拐弯．2作为第一次拐弯的数，如图，则第33次拐弯的数是__________，超过2021的第一个拐弯数是__________.
第2页，共18页
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题10分在等差数列
求数列设
18.本小题12分设函数
若曲线求函数
在点的单调区间．
处的切线方程为
，求
；
中，
，
的通项公式；
…
，求
19.本小题12分已知圆C：
，直线l：
证明直线l与圆C一定有两个交点；
求直线与圆相交的最短弦长，并求弦长最短时对应的直线方程．20.本小题12分如图，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
，
，
，平面
底面
ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，
求证：平面求二面角
平面PQB；
的大小．
第3页，共18页
21.本小题12分
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：
，点P在圆上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，N
是PQ的中点，当P在圆M上运动时N形成的轨迹为
求C的轨迹方程；若点
，试问在x轴上是否存在点M，使得过点M的动直线l交C于E，F两点时，恒有若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22.本小题12分已知函数
证明：设
；
，证明：若
，
一定有零点，并判断零点的个数．
第4页，共18页
答案和解析
1.【答案】D 【解析】【分析】
直接利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【解答】解：两点所以
结合选项可知向量故选：2.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，进而可得其准线方程，即可得答案．【解答】
解：根据题意，抛物线其焦点在y轴正半轴上，且则其准线方程为故选
3.【答案】B 【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．由题意得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值．【解答】解：圆的方程即
，的标准方程为，
，
，
；
为直线AB的一个方向向量
，
第5页，共18页
由题意可知圆心到直线的距离等于圆的半径，即故选：4.【答案】B 【解析】【分析】
，则
，解得
或
根据题意，等比数列中，设其公比为q，先由等比数列的前n项和公式列方程组解得，进而求出
的值，结合等比数列的前n项公式计算可得答案．
本题考查等比数列前n项和的性质和计算，注意等比数列前n项公式的形式，属于基础题．【解答】
解：根据题意，等比数列若
，
，必有
中，设其公比为q，
且
，
则有，
则有又由故故选：5.【答案】C 【解析】【分析】
，变形可得，变形可得，
，
，解可得，
本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
求出原函数的导函数，可得导函数的值域，即为直线的斜率范围，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由即
，得
图像上的点的切线的斜率为任意实数，
，
第6页，共18页
图像上的点的切线的倾斜角
故选：6.【答案】A 【解析】【分析】
可能是锐角，可能是钝角，可能是角，不可能是直角．
本题考查空间中直线与平面垂直关系的应用，考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题．以C为坐标原点，分别以CD、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由题意设
，结合
【解答】
解：如图，以C为坐标原点，分别以CD、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
平面BDE，由向量数量积列关于a的方程组求解．
则设则
，，
，
平面BDE，
，，，
，，
，解得
则M点的坐标为故选：7.【答案】A
【解析】解：如图所示，椭圆的长轴为
，
椭圆与双曲线的半焦距为由题意可得：
，
第7页，共18页
由椭圆的定义可得：
，，
，
，即，
故选：
如图所示，设椭圆的长轴为a，c，
，可得
，椭圆与双曲线的半焦距为，可求双曲线离心率范围．
表示
，
从而可得
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键．
有两个零点等价于
图象可得答案．【解答】解：因为当所以所以当当所以当作出
时，时，时，，令时，，
，
，，得，
，
单调递减；
单调递增；
的图象与
的图象有2个交点，作出
的图，由
的图象如图所示：
有两个零点等价于的图象与的图象有2个交点，
第8页，共18页
由图象可得故选：
9.【答案】BCD 【解析】【分析】
，
本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想，属于中档题．由题意数形结合可求得m的取值范围，然后结合选项可确定m的值．【解答】解：曲线
表示圆
在x轴上及其上半部分，
当直线与圆，解得
，
相切时，即
舍，
，
此时直线与圆有一个交点，直线向右平移，直到直线平移到经过点直线与圆有两个交点，当点
在直线
上时，
，
直线继续向右平移则直线与圆只有一个交点，直到没有交点，据此可得m的取值范围是
结合选项可知选项A满足题意，BCD不合题意．故选
10.【答案】AD 【解析】【分析】
本题考查了数列的周期性，属于基础题.通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案．【解答】
第9页，共18页
解：由所以数列所以故选：
，，得，，，
是周期为3的数列，
，
11.【答案】BD 【解析】【分析】
本题考查空间向量的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于A，
，
与
不平行；对于B，，
，从而
，从而
；对于C，
，从而
或
；对于D，【解答】
解：对于A，两条不重合的直线
，
与
，的方向向量分别是，
不平行，故A错误；
，平面
，故B正确；
，平面
或
的法向量是
，
的法向量是
，
对于B，直线l的方向向量是
，
，
对于C，直线l的方向向量是
，
，
，故C错误；
，
对于D，两个不同的平面
，
故选
12.【答案】BD 【解析】【分析】
，的法向量分别是
，故D正确．
本题考查双曲线的定义，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
由双曲线的定义可判断A不正确；利用向量的数量积计算判断B；化简斜率乘积推出结果判断C；由三角形的顶点的不同可得等腰三角形的个数可判断【解答】解：由双曲线所以
，
，
可得
，，设
，
，
第10页，共18页
对于对于从而对于所以 对于则当当
由双曲线的定义得，若
，则，故B正确；
，则
，
，故C不正确；
若P在第一象限，
时，时，
，，
，故A不正确；
，
为等腰三角形；也为等腰三角形；
因此使得故选：13.【答案】【解析】【分析】
为等腰三角形的点P有八个，故D正确．
本题考查平行线之间的距离的求法，直线方程的求法，是基础题．利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：设与直线可得
所求直线方程为：故答案为：14.【答案】【解析】【分析】由题意对函数求导，再代入
，即可得切线的斜率，并求切线方程即可．
：
，解得
和直线：
，
的距离相等的直线方程为：
，
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．【解答】解：则在即有曲线在
的导数为处的切线斜率为
处的切线方程为
，
，
，
第11页，共18页
即为故答案为：15.【答案】
；
【解析】【分析】
本题考查点差法求中点弦所在的直线的斜率，属于中档题．设以点
为中点的弦的交点A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得，整理为斜率的的形式，由题意
可得a，b的关系，可得椭圆的离心率．【解答】解：设以点则由题意可得
，
，
为中点的弦所在的直线与椭圆的交点为
，
，
，
将A，B的坐标代入椭圆的方程：，作差可得，
整理可得所以可得
，则
，
，因为以P点为中点的弦所在的直线方程为，
所以椭圆的离心率为故答案为：16.【答案】2902026
，
【解析】【分析】
观察拐弯处的数字的规律，推导出当n为奇数时为求出结果．
，当n为偶数时为，由此能
本题考查归纳推理的应用，考查数字规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
第12页，共18页
【解答】
解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系如下表： 拐弯的次数 拐弯处的数
12
23
35
47
510
613
717
821
……
观察拐弯处的数字的规律：第1个数第7个数当n为奇数时为同理得当n为偶数时为第33次拐弯的数是当当
时，可得时，可得
超过2021的第一个拐弯数是故答案为：290；17.【答案】解：
是等差数列，
；
即
，则
由
可知前五项为正，第六项开始为负，
，
公差，
，第3个数，
，，
，，
，
，第5个数
，
【解析】
求出数列的公差，然后求解数列的通项公式．
说明数列前五项为正，第六项开始为负，然后取得绝对值求解数列的和即可．本题考查数列求和的方法，等差数列通项公式的应用，是中档题．18.【答案】解：即函数的切点为
由于切点在切线上，所以，
，
第13页，共18页
，即
又
根据导数几何意义，
；
，
，
，
，
当
时，得
当
时，得
当当
【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想，属于中档题.
求出切点坐标，代入求出导数，分19.【答案】 由
证明：，可得
，
，
求出b的值，利用
求出a的值；
时，时，
，
的单调递减区间为单调递增区间为
，单调递增区间为，单调递减区间为
；
，
，则
；
，则
；
两种情况讨论，即可求出结果.
，所以
，
所以直线l经过定点圆C的方程：
，因为
所以直线l和圆C相交，
所以直线l与圆C一定有两个交点．
解：解法一：由大值，圆C的半径为
，
知圆C的圆心
到定点
的距离为
，此距离即为圆心到直线l距离的最
，所以定点A在圆内，
，即
，所以其圆心C为
，半径为
第14页，共18页
则最短弦长为，
且弦长最短时对应的直线与直线AC垂直，设其斜率为k，则
，解得
，
，即
的距离构造关于m的函数：
，
所以弦长最短时对应的直线l的方程为解法二：利用圆心到直线
要求d的最大值，则则最短弦长为
且弦长最短时对应的直线l的方程为
，当且仅当，
时，d的最大值为，
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
由题意首先确定直线恒过定点，然后确定交点个数即可；解法一：利用圆的几何关系求解；
解法二：由题意将圆心到直线的距离表示成关于m的函数，利用基本不等式求得其最值，据此即可确定距离的最值，然后求解最短弦长和直线方程即可．20.【答案】所以
证明：因为，
，
，Q为AD的中点，
，
所以四边形BCDQ为平行四边形，因为因为又因为平面所以又因为因为
解：由
，
，所以平行四边形BCDQ是矩形，所以
，所以
平面ABCD，平面
，平面
，平面PQB，
，
面PAD，，
平面ABCD，因为
，PQ，
平面PBC，所以平面
面ABCD，所以平面PQB，所以
平面
可得：QA，QB，QP两两垂直，如图，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴建立
空间直角坐标系，
第15页，共18页
则则
设平面QBM的一个法向量
，，
，
由，则，令，则，所以，
可得平面PQB的一个法向量设二面角所以则二面角
的大小为的平面角为
，
，
，可知：二面角
的平面角为锐角，
【解析】本题考查面面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
证明平行四边形BCDQ是矩形，得到然后证明
平面PQB，即可证明平面
，证明平面
，
平面ABCD，推出
，
分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面QBM的一个法向量，平面PQB的一个法向量，利用空间向量求解二面角大小即可．21.【答案】解：又P点在圆上，
设
，
，因为N为PQ的中点，
，
，即C的轨迹方程为
不存在满足条件的点M，理由如下：假设存在满足条件的点M，设点M的坐标为则直线l的方程为
，
，直线l的斜率为k，
第16页，共18页
由消去y并整理，得，
设由将得将解得而
、，则，得，
，即
，，，
代入上式并化简，
式代入上式，有
，
，
，求得点M在椭圆外，与椭圆有交点不满足条件，所以不存在这样的点
【解析】本题考查点的轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
设
，
，因为N为PQ的中点，
，代入可得C的轨迹方程；
，联立方程可得
，即
，代入求解即
，
不存在满足条件的点M，理由如下：直线l的方程为
，由
可．
22.【答案】证明：所以因为设当当而所以所以
若
时，
；
有零点，则
有解，
时，时，
，
，
，则
，
，递减，递增，，，
因为
，
，，得
第17页，共18页
即因为现在证明令可知所以因为即当所以所以若
在
时，所以
内恒有在
，上面可以化为
有解，又，则只要
，
有解，
有解：，
递减，在
，则递增，，，，而
在
递增，
，
，则一定存在一个数使得
有且只有一个零点，，则
有零点，且有一个零点．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
求导得得
；
依题意得
有解，即
有解，构造函数
有解，求导，分析
，即
有解即可．
，设
，求导分析，得
恒成立，从而可证
第18页，共18页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容