湖南省邵阳市邵东县2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|1≤x+1＜5}，B＝{x|x≤2}，则A∩（∁RB）＝（ ） A．{x|0≤x＜4}
B．{x|0≤x≤2}
C．{x|2＜x＜4}
D．{x|x＜4}
2．已知a＝30.6，b＝0.62，c＝log0.62，则（ ） A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
，
3．若角α顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边一点P的坐标为则角α为（ ）角． A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0〗上单调递减，且f（2）＝0，则满足 xf（x）≥0的x取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2〗∪〖2，+∞） C．〖﹣2，0）∪（0，2〗 5．函数f（x）＝（
B．〖﹣2，2〗
D．〖﹣2，0〗∪〖2，+∞）
﹣1）sinx图象的大致形状是（ ）
A． B．
C．
6．为了得到函数
D．
的图象，只需将y＝2cosx图象上所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
1
2021-2022学年期末考试试题
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
7．设直线与函数y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx的图像在内交点的横坐标依
次是x1、x2、x3，则cos（x1+x2+x3）＝（ ） A．
B．
C．
D．
8．已知函数f（x）＝
f（c），则a+b+c的取值范围是（ ） A．（1，2021）
B．（1，2022）
，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝
C．（2，2022） D．〖2，2022〗
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A．y＝10x﹣10x C．y＝x3
﹣
B．D．y＝|sinx|
10．下列命题为真命题的是（ ） A．若a＞b＞0，则
B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C．若ab＞0，则 D．函数f（x）＝2x+2x（x＞0）有最小值2
﹣
11．如图是函数y＝Asin（ωx+φ）+B（0＜φ＜π）的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16 B．该函数的〖解 析〗式是
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2021-2022学年期末考试试题
C．该函数图象的一个对称中心为（2，20） D．该函数图象的一条对称轴为x＝﹣3 12．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，若实数m的可能取值为（ ） A．
B．
C．3
D．2
对任意的x＞0，y＞0恒成立，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数
的值域是 ．
14．已知扇形的周长为16cm，圆心角的弧度数为2rad，则其面积为 ．
15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）＝f（﹣x），且当x∈〖0，1〗时，f（x）＝log2（x+1），则函数y＝f（x）﹣x2的零点个数是 ． 16．已知函数f（x）＝
，g（x）＝lnx﹣
m，若对于
，∃x2∈
〖1，e2〗，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A＝{x|﹣x2+3x﹣2≥0}，B＝{x|﹣m≤x≤m+1}． （1）若m＝1时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
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18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点
．
（1）求cos2α的值； （2）求
的值．
19．（12分）（1）求值：
．
（2）已知命题p：x2﹣14x+45＜0，命题，命题r：x2﹣4ax+3a2＜0（a∈
R），若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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20．（12分）已知函数（1）求实数m的值；
是定义在R上的奇函数．
（2）用单调性定义证明函数f（x）是R上的增函数；
（3）若函数f（x）满足f（t﹣1）+f（2t2）＜0，求实数t的取值范围．
21．（12分）为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为10米的圆形空地进行种植花草绿化改造．规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地．设∠OAB＝θ，正六边形的面积为S1，六个矩形的面积和为S2．
（1）用θ分别表示区域面积S1，S2； （2）求种植鲜花区域面积的最大值． （参考数据：
，
）
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▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C
〖解 析〗因为集合A＝{x|1≤x+1＜5}＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴∁RB＝{x|x＞2}， ∴A∩（∁RB）＝{x|2＜x＜4}，故选：C． 2．B
〖解 析〗∵a＝30.6＞1，c＝log0.62＜0，
又∵0＜0.62＜1，即0＜b＜1，∴a＞b＞c，故选：B． 3．C
〖解 析〗角α顶点在原点，始边在x轴正半轴上， 终边一点P的坐标为
，
∵sin＝﹣sin＝﹣，cos＝﹣cos＝﹣，
∴角α为第三象限角．故选：C． 4．D
〖解 析〗由定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0〗上单调递减， 可得f（x）在〖0，+∞）单调递增，且f（﹣2）＝f（2）＝0， xf（x）≥0等价为
或
，
即为5．C 〖解 析〗
或，解得﹣2≤x≤0或x≥2，故选：D．
＝•sinx，
则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝（﹣sinx）＝••sinx＝f（x），
则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，
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2021-2022学年期末考试试题 由f（x）＝0，得1﹣ex＝0或sinx＝0，
得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π， 当x＝1时，f（1）＝6．D
〖解 析〗y＝2cosx＝2sin（x+
）纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
倍，
•sin1＜0，排除A，故选：C．
得到，
再向右平移故选：D． 7．A
个单位，得到．
〖解 析〗当tanx＝时，
∵x∈，∴x3＝，∵sinx＝，cosx＝，
又∵sinx＝cos（﹣x），x∈（0，），∴x1+x2＝，∴x1+x2+x3＝，
∴cos（x1+x2+x3）＝﹣8．C
．故选：A．
〖解 析〗依题意函数f（x）＝，f（）＝sin＝1，y＝sinπx（0
≤x≤1）关于x＝对称．
不妨设0＜a＜b＜1＜c，则a+b＝2×＝1，
由log2021x＝1可得x＝2021，所以1＜c＜2021，
所以a+b+c∈（1+1，1+2021），即a+b+c∈（2，2022）．故选：C．
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2021-2022学年期末考试试题
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC
〖解 析〗对于A，f（x）＝10x﹣10x，f（﹣x）＝10x﹣10x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且在R上为增函数，符合题意； 对于B，
为偶函数，不符合题意；
﹣
﹣
对于C，y＝x3为奇函数，且在R上为增函数，符合题意； 对于D，y＝|sinx|为偶函数，不符合题意．故选：AC． 10．AC
〖解 析〗对于A：若a＞b＞0，则
＜
，故A为真命题；
对于B：若a＞b＞0，则ac2＞bc2，当c＝0时不成立，故B为假命题； 对于C：ab＞0，
+
≥2，当且仅当a＝b时取等号，故C为真命题；
对于D：f（x）＝2x+2x≥2为假命题．故选：AC． 11．ABC
﹣
＝2，当且仅当2x＝2x时，即x＝0时取等号，故D
﹣
〖解 析〗由函数y＝Asin（ωx+φ）+B（0＜φ＜π）的部分图象可知， A＝30﹣20＝10，B＝20， T＝2×（14﹣6）＝16，即
，
又φ）+20＝20，解得+φ＝kπ，
又0＜φ＜π，则φ＝，
即函数的〖解 析〗式是，故A，B正确；
由，解得：x＝8k﹣6，k∈Z，
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2021-2022学年期末考试试题
当k＝1时，该函数图象的一个对称中心为（2，20），故C正确； 由
，k∈Z，得x＝8k﹣2，k∈Z，
令8k﹣2＝﹣3，此方程无整数解，故D错误，故选：ABC． 12．ABCD
〖解 析〗∵x＞0，y＞0， ∴
，
即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，，解得或m＜1，
故选项中满足条件的有ABCD．故选：ABCD． 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．（0，4〗
〖解 析〗设t＝x2﹣2≥﹣2， ∵y＝（
）t为减函数，∴0＜（
）t≤（
）2＝4，
﹣
故函数的值域是（0，4〗，
故〖答 案〗为：（0，4〗． 14．16cm2
〖解 析〗设扇形的半径为r，则扇形的弧长l＝2r， 所以扇形的周长为l+2r＝4r＝16，解得r＝4， 所以扇形的面积S＝
|α|•r2＝
×2×42＝16cm2．故〖答 案〗为：16cm2．
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2021-2022学年期末考试试题 15．2
〖解 析〗由f（x+2）＝f（﹣x），可得f（x）关于x＝1对称， 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣〖﹣f（x﹣2）〗＝f（x﹣2）， 所以f（x）的周期为4．
把函数y＝f（x）﹣x2的零点个数问题转化为y＝f（x）﹣x2＝0的解个数问题， 即函数y＝f（x）和y＝x2的图像交点个数问题，
根据f（x）的性质可得函数图像，f（x）和y＝x2的图像如图所示，
由图像可知f（x）与y＝x2的图像共有2个交点， 故函数y＝f（x）﹣x2有2个零点．故〖答 案〗为：2． 16．〖﹣2，+∞） 〖解 析〗函数f（x）＝
，g（x）＝lnx﹣
m，
∵对于，∃x2∈〖1，e2〗，使得f（x1）≥g（x2），
∴只需f（x1）min≥g（x2）min， 当x∈〖
〗时，πx∈〖
〗，sinπx∈〖
〗，
∴f（x）min＝，，当x∈〖1，e2〗时，g′（∴对于x∈〖1，e2〗，单调递增，
∴，
依题意知2
，即m≥﹣2，
∴实数m的取值范围是〖﹣2，+∞）．故〖答 案〗为：〖﹣2，+∞）．
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x）＞0，
2021-2022学年期末考试试题
四、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）A＝{x|﹣x2+3x﹣2≥0}＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，m＝1， B＝{x|﹣1≤x≤2}，A∩B＝〖1，2〗， （2）∵A⊆B，∴
，解得，m≥1．
故m的取值范围为〖1，+∞）． 18．解：（1）由题意知，
，
所以cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝．
（1）由题意知，tanα＝﹣，
原式＝＝＝＝﹣5．
19．解：（1）原式＝﹣（﹣2）2+2＝2﹣4+2＝0．
（2）由x2﹣14x+45＜0，解得5＜x＜9， 由
，解得x＞1，
因为r是p的必要不充分条件，所以a＞0，故由x2﹣4ax+3a2＜0，解得0＜a＜x＜3a， 从而（5，9）⫋（a，3a），则
，得3≤a≤5，
又r是q的充分不必要条件，则（a，3a）⫋（1，+∞），则a≥1， 综上所述，实数a的取值范围为〖3，5〗． 20．解：（1）∵函数
∴f（0）＝1﹣m＝0，得m＝1， 检验可得f（x）＝ex﹣
为奇函数，故m＝1成立；
是定义在R上的奇函数，
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2021-2022学年期末考试试题
（2）当m＝1时，f（x）＝ex﹣
，为增函数，
设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣+﹣
＝﹣+＝（﹣）（1+），
∵x1＜x2，0＜＜，﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），即f（x）在R上为增函数．
（3）由f（t﹣1）+f（2t2）＜0得f（2t2）＜﹣f（t﹣1）＝f（﹣t+1）， ∵f（x）在R上为增函数，∴2t2＜﹣t+1，即2t2+t﹣1＜0， 得（t+1）（2t﹣1）＜0，得﹣1＜t＜
，
即实数t的取值范围是﹣1＜t＜．
21．解：连接BO，OC，OD，过点O作BC的垂线，交BC于点E，交AD于点F，
要想求出正六变形面积，首先应该求出BC边长， 因为正六边形，所以三角形BOC为等边三角形， 由图可知，三角形OAD为等腰三角形，
E，F分别为BC，AD中点，∠OAB＝∠AOF＝θ， AD＝BC＝2AF＝2AOsinθ＝20sinθ，
正六边形面积大小等于6个以BC为边长的等边三角形面积和， S1＝6×
BC2＝600
sin2θ，
要想求出矩形的面积就要知道BC和AB的长度，
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2021-2022学年期末考试试题
AB＝EF＝OF﹣OE＝OAcosθ﹣S2＝6×AB×BC＝6×（10cosθ﹣10所以S1＝600
BC＝10cosθ﹣10sinθ，
sin2θ，
sinθ）×20sinθ＝1200sinθcosθ﹣1200
sin2θ．
sin2θ，S2＝1200sinθcosθ﹣1200
（2）求种植鲜花的最大面积就是求S1+S2的最大值， 设y＝S1+S2＝1200sinθcosθ﹣600y′＝1200cos2θ﹣600
sin2θ，
sin2θ＝600sin2θ+300
cos2θ﹣300
，
令y′＝0，解得tan2θ＝当2θ＞49°，y′＜0， 当2θ＜49°，y′＞0，
，
所以当2θ＝49°时，y取得最大值， 所以ymax＝600sin49°+300
cos49°﹣300
，
因为tan49°≈，
所以sin49°≈，cos49°≈，
所以种植鲜花的最大面积为300（
﹣）．
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