洞头区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

2． 已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点， 则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

22

3573 B． C. D． 44443． 从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小

A．

于1的概率是（ ） A．

1346 B． C． D． 7777有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

C．

D．

4． 如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．

B．

5． 已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ ） A．8

B．﹣8 C．11

D．﹣11

的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

个长度单位 个长度单位

B．向右平移D．向右平移

个长度单位 个长度单位

6． 为得到函数A．向左平移C．向左平移7． 复数z12i(i是虚数单位）的虚部为（ ） iA．-1 B．i C．2i D．2

【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．

8． 偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

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xa0的解集为3x1或x2，则的取值为（ ）

x24x311A． B． C． D．2

229． 若关于的不等式10．函数y=A．{x|x≥﹣1}

+

的定义域是（ ）

B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}

11．（文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 12．“x≠0”是“x＞0”是的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．

A B C D 14．给出下列命题： ①把函数y=sin（x﹣

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣

）；

②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ； ③x=﹣

是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；

）与函数y=4cos（2x﹣

）相同；

④函数y=4sin（2x+⑤y=2sin（2x﹣

）在是增函数；

则正确命题的序号 ．

22

15．0） 已知一个动圆与圆C：（x+4）+y=100相内切，且过点A（4，，则动圆圆心的轨迹方程 ．16．在△ABC中，已知

=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

，动点P的轨迹

17．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足为曲线E，给出以下命题： ①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。

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其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）

18．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程费用约为 万元．

=0.7x+

，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修

三、解答题

19．1）y=﹣1，已知点F（0，，直线l1：直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r． （Ⅰ）求曲线r的方程；

（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D， （ⅰ）求证：直线CD过定点；

（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．

+

是

阿啊阿

20．（本小题满分12分）

已知向量a,b满足：|a|1，|b|6，a(ba)2. （1）求向量与的夹角； （2）求|2ab|.

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21．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

2acosAccosBbcosC． （1）cosA的值；

22（2）若bc4，求ABC的面积．

22．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB为

2，半3径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧

AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD//AO，设AOC．

（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围； （2）当为何值时，观光道路最长？

23．甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀． 甲地区： 分组 频数 分组 频数 乙地区： 第 4 页，共 17 页

[70，80） 2 [80，90） 3 [90，100） [100，110） 10 15 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150] 15 x 3 1 分组 频数 分组 频数 [70，80） 1 [80，90） 2 [90，100） [100，110） 9 8 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150] 10 10 y 3 （Ⅰ）计算x，y的值； （Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；

（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．

24．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧（Ⅱ）求证：BF=FG．

的中点；

25．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的值域．

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26．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以 在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；

（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.

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洞头区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC2． 【答案】D 【解析】

222，则由PQPO，得，

(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

考

点：异面直线所成的角. 3． 【答案】A

【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率P4． 【答案】D

31． C727

【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立

2222

，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆

422

∴△=64k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，

有公共点，

，

]．

整理，得k解得﹣

2

， ．

≤k≤

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．

5． 【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q，

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因为a2=2，a3=﹣4， 所以q=

=

=﹣2，

所以a1=﹣1， 根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．

6． 【答案】A

【解析】解：∵

只需将函数y=sin2x的图象向左平移故选A．

个单位得到函数

，

=﹣11．

的图象．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

7． 【答案】A 【解析】z12i12i(i)2i，所以虚部为-1，故选A. ii(i)

8． 【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）， ∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2）， 即﹣f（x+4）=f（x），

即函数f（x）是周期为8的周期函数， 则f（89）=f（88+1）=f（1）=1， f（90）=f（88+2）=f（2）， 由﹣f（x+4）=f（x）， 则f（2）=0， 故选：D．

则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），

得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2）， 故f（89）+f（90）=0+1=1，

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．

9． 【答案】D 【解析】

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试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程

xa0，解得x3,x1,xa，其对应的根分别为x3,x1,x2，所以a2，故选2x4x3D.

考点：不等式与方程的关系. 10．【答案】D

【解析】解：由题意得：

，

解得：x≥﹣1或x≠3， 故选：D．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

11．【答案】C 【解析】

试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位. 考点：图象平移．

12．【答案】B

【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．

二、填空题

13．【答案】 27

2

【解析】解：若A方格填3，则排法有2×3=18种，

2

若A方格填2，则排法有1×3=9种，

根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．

【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．

14．【答案】

【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣到函数y=sin（2x﹣

），故①正确．

，故②错

）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，得

对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=误．

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对于③，当x=﹣数y=cos（2x+

时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函

π）的一条对称轴，故③正确．

）=4cos[

﹣（2x+

）]=4cos（

﹣2）=4cos（2x﹣

），

对于④，函数y=4sin（2x+故函数y=4sin（2x+对于⑤，在上，2x﹣故答案为：①③④．

15．【答案】

+

=1 ．

）与函数y=4cos（2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣

）相同，故④正确．

）在上没有单调性，故⑤错误，

【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，

22

∵圆C：（x+4）+y=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，

∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B经过点A（4，0），

∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，

∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 设方程为

（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，

+

=1．

222

∴a=5，b=a﹣c=9，得该椭圆的方程为

故答案为： +=1．

16．【答案】

【解析】解：∵b=2a， ∴

=

=．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

．

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∴cosB=． 故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】①④⑤

解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴

•

=m

①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；

②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确； ③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|

|+|

|≥2

=2

，所以△PMN周长的最小值为2

+4，正确；

⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤．

18．【答案】 7.5

【解析】解：∵由表格可知=9， =4， ∴这组数据的样本中心点是（9，4）， 根据样本中心点在线性回归直线∴4=0.7×9+∴

，

=0.7x+

上，

|•|

|=m（m≥4），

=﹣2.3，

=0.7x﹣2.3，

∴这组数据对应的线性回归方程是∵x=14， ∴

=7.5，

故答案为：7.5

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．

三、解答题

19．【答案】

【解析】满分（13分）．

解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，

∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）

∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）

2

∴点H的轨迹方程为x=4y．…（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（xC，yC），D（xD，yD）．

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由y=，得．

∴直线PC：y+1=xC（x﹣x1），…（5分） 又PC过点C，yC=∴yC+1=xC（x﹣x1）=∴yC+1=同理

∴直线CD的方程为

，即，

，…（7分）

，

xCx1，

．…（6分）

∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）

（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为得x1=1，直线CD的方程为设l：y+1=k（x﹣1）， 与方程

联立，求得xQ=

．…（9分） ．

，

设A（xA，yA），B（xB，yB）．

2

联立y+1=k（x﹣1）与x=4y，得

x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得 xA+xB=4k．xAxB=4k+4…（10分） ∵xQ﹣1，xA﹣1，xB﹣1同号， ∴====∴

+

，

为定值，定值为2．…（13分）

…（11分）

+

=|PQ|

【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．

20．【答案】（1）【解析】

；（2）27． 3第 12 页，共 17 页

试题分析：（1）要求向量a,b的夹角，只要求得这两向量的数量积ab，而由已知a(ba)2，结合数量积的运算法则可得ab，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式aa，把

22考点：向量的数量积，向量的夹角与模．

【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cosa,b向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]内及余弦值求出两向量的夹角． 21．【答案】

【解析】（1）∵2acosAccosBbcosC， ∴2sinAcosAsinCcosBsinBcosC， ∴2sinAcosAsin(BC)，

∵ABC，∴sin(BC)sinA， ∴2sinAcosAsinA． ∵0A，∴sinA0， ∴2cosA1，∴cosA（2）由cosA由

abab求得这两个

1． 231，得sinA，

22a2，得a2sinA3． sinA222∵abc2bccosA，

∴bcbca431， ∴SABC

22．【答案】（1）CDcos2221133bcsinA． 22243sin,0,;（2）设当时，L取得最大值，即当6633第 13 页，共 17 页

时，观光道路最长.

CDODCO sinCODsinDCOsinCDO232332sin CDsincossin，OD3333233ODOBsin1sin0

3233CDcossin,0,

33（2）设观光道路长度为L，

【解析】试题分析：（1）在OCD中，由正弦定理得：则LBDCD弧AC的长 = 12333sincossin= cossin1，0, 3333Lsin3cos1 3由L0得：sin列表： 30,，又 3662 6 0 极大值  0, 6 + ↗ , 63 - ↘ L L 当6时，L取得最大值，即当6时，观光道路最长.

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵抽样比f=∴甲地区抽取人数=

=55人，

=

，

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乙地区抽取人数=∴由频数分布表知：

解得x=6，y=7．

=50人，

（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率=乙地区优秀率=

=，

=，

现从乙地区所有学生中随机抽取3人，

抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3， ξ～B（3，）， ∴Eξ=3×=．

（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，

抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3， P（η=0）=

=

，

P（η=1）==，

P（η=2）==，

P（η=3）==，

∴η的分布列为：

0 η P Eη=

1 =1．

2 3 【点评】本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．

24．【答案】

【解析】解：（I）∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圆O的直径

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∴∵CE⊥AB ∴∵

∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴

∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点 （II）∵

∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB

同理可证：CF=GF ∴BF=FG

【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．

25．【答案】

【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段， 设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3 ∵a+b=2，2a+b=3，

解得a=1，b=1，f（x）=x+1，

当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分， 且顶点为（3，1），

2

设f（x）=a（x﹣3）+1，又f（2）=3， 2

所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）+1．

（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3， 当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3， 所以1≤f（x）≤3． 故f（x）的值域为[1，3]．

26．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.

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