高考一轮复习函数的图象教学设计

中山市第二中学 李灿泽

【知识梳理】

高考要求：

函数的图象是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用。因此，同学们在学习复习过程中要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质。

重难点归纳 ：

1、 熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法。 (1)描点法： 列表、描点、连线；(2)图像变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等。 2、 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视 。

知识清单： 1．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换

关于x轴对称

①y＝f(x)――――――――→y＝－f(x)； 关于y轴对称②y＝f(x)―――――――――→y＝f(－x)； 关于原点对称③y＝f(x)―――――――――→y＝－f(－x)；

关于y＝x对称④y＝ax (a>0且a≠1)――――――――→y＝logax(a>0且a≠1)． 保留x轴上方图象⑤y＝f(x)――――――――――――――――→y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右边图象，并作其⑥y＝f(x)关于――――――――――→y＝f(|x|)． y轴对称的图象

(3)伸缩变换

1

a>1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

a①y＝f(x) ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→ 1

0ay＝f(ax)．

a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变

②y＝f(x)0【例题精讲】

题型一 作函数的图象 例1： 作出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； x＋2(2)y＝；

x－1(3)y＝x2－2|x|－1.

lg x，x≥1，

解 (1)y＝|lg x|＝作出图象如图1.

－lg x，033

(2)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

xx－1x＋2

即得y＝的图象，如图2.

x－1

2x－2x－1 x≥0，

(3)y＝图象如图3.

2x＋2x－1 x<0.

【变式训练】

作函数y＝|x2－2x－1|的图象．

2x－2x－1 x≥1＋2或x≤1－2

解 y＝如下图

2＋2x＋1 1－2【思维升华】 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂m

函数、形如y＝x＋(m>0)的函数是图象变换的基础；

x

(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程． 题型二 识图与辨图

例2： 已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )

x0≤x≤1，解析：方法一 由y＝f(x)的图象知， f(x)＝

11当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝

2－x1故y＝－f(2－x)＝图象应为B.

x－21方法二 当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.

【思维升华】 函数图象的识辨可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

【变式训练】 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )

ππ

0，时，解析：(排除法)由题图可知：当x＝时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈22OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则11

＝sin xcos x＝sin 2x≤，排除B，故选C.

22题型三 函数图象的应用

例3： (1)若方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是 ．

sin πx，0≤x≤1，

(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c

log2 015x，x>1.

d

＝sin x，即d＝OMsin x＝sin x·cos x，∴f(x)OM

的取值范围是( ) A．(1,2 015) C．[2,2 016] 5

答案 (1)(1，) (2)D

4

解析 (1)方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：

B．(1,2 016) D．(2,2 016)

15易知－<1－a<0，∴144

(2)作出函数的图象，直线y＝m交函数图象如图，不妨设a得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2 015x＝

21，解得x＝2 015.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a，b，c互不相等，由a【思维升华】 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)【变式训练】 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象；

(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集； (5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4. (2)f(x)＝x|4－x|

2xx－4＝x－2－4，x≥4，

＝

2

－xx－4＝－x－2＋4，x<4.

f(x)的图象如图所示． (3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．

(4)由图象可知，f(x)>0的解集为{x|04}． (5)∵f(5)＝5>4，

∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．

【高考链接】

例1：(2016·课标全国1)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )

A.

B.

C.

解析:

D.

f28e282.820，排除A，f28e282.721，排除B

2xxx0时，fx2xe fx4xe，

110x0,fx4e0 当时，441因此fx在0,单调递减，排除C

4故选D．

例2： (2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )

π

解析：法一： 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，

4在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x， 在Rt△PAB中，|PA|＝|AB|2＋|PB|2＝

4＋tan2x，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝

4＋tan2x＋tan x，它

不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C； ππ

当点P与点C重合，即x＝时，由上得f4＝4

ππ

4＋tan2＋tan＝5＋1，又当点P与边CD

44

ππ

的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f2＝|PA|2ππ＋|PB|＝2＋2＝22，知f2＜f4，故又可排除D.综上，选B. π

法二：由tanx在[0，]增加的越来越快，选B

4

【动手试试】

【练习1】作函数y＝|x2－2x－1|的图象.

【练习2】已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为( )

A．f(x)＝exln x

B．f(x)＝exln |x|

－

C．f(x)＝exln |x| 【练习3】函数f(x)＝

4x－4，x≤1，

x2－4x＋3，x>1

D．f(x)＝e|x|ln |x|

的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是( )

D．1

A．4 B．3 C．2

|x2－1|

【练习4】已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值

x－1范围是______________．

【感悟提高】

1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等． 2．合理处理识图题与用图题 (1)识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系． (2)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．