福建省南安市新侨中学2013届高三上学期期中考试数学(文科)试题

数学（文科） 2012.11.17

一、选择题（每小题５分，共60分）

1、已知集合A{0,1,2,3,4}，集合B{x|x2n,nA}，则AB（ ）

A．{0}

B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2,4}

2、给出如下四个命题：

①命题“若ab,则221”的否命题为“若ab，则2a2b1”； ②若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题； ③“xR,x11”的否定是“xR,x11” ；

22ab④ABC中，“sinA3”是“A”的充分不必要条件． 23

其中不正确的命题的个数是 （ ） ．．．

A．4 B．3 C． 2 D． 1

3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是 （ ）

A．8 B．6 C．4 D．3 4、若直线l∥平面,直线a,则l与a的位置关系是 （ ）

（第3题）

A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 5、在△ABC中，AB2BC2,A6,则△ABC的面积为 ( )

A．

31 B． C．1

22 D．3

6、已知等比数列{an}的前n项和SnA．2

t2n11，则t的值为（ ）

D.

B．0或2 C. 2

1 2V 7、如图三棱锥VABC，底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直 且VAVC,已知其正视图的面积为

2，则其左视图的面积为 ( ) 3 D．A

B （第7题）

C

A．333 B． C． 2343 6 - 1 -

8、已知m，n是两条不同直线，,是两个不同平面，则下列命题中假命题的是 ( ) ．．．A．若m,m 则// B．若m//n,m,则n C．若m//,n,则m//n D．若m,m则

9、从{1，3，5，7}中随机选取一个数为m，从{1，2，4}中随机选取一个数为n，则nm 的概率是 （ ） A.

3111 B. C. D. 4246

10、函数f(x)sin(x)（其中||）的图象如图所示，为了得到ysinx的图2象，只需把yf(x)的图象上所有点（ ）个单位长度.

A.向右平移

 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

1212 66

（第10题） （第11题）

11、如上图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图．现有如下结论：

①X甲＝X乙； ②乙的成绩较稳定； ③甲的中位数为83； ④乙的众数为80. 则正确的结论的序号是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

12、对于定义域为D的函数fx，若存在区间Ma,bDa＜b，使得

yyfx,xMM，则称区间M为函数fx的“等值区间”.给出下列四个函数：

①fx2; ②fxx; ③fxsinx; ④fxlog2x1.

x3则存在“等值区间”的函数的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（每小题4分，共16分）

13、某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理

后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直图，样本中重量超过505克的产品数量应为 件．

- 2 -

n(n1,2,3,4,5,6)14、已知数列{an}(n∈N)满足an*，则a2 012 ＝_ .

a(n7,nN)n6*

15、已知三次函数f(x)ax3bx2cxd的图象如右图所示，

f(3) ． 则

f(1)16、设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(2x)f(x2)成立，且当

1x[2,0]时，f(x)1．若关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)在区

2间(0,6]内恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是 ．

x三、解答题（共74分）

217、已知函数f(x)23sinxcosx2cosx，（其中01），若点(6,1)是

函数f(x)图象的一个对称中心. （Ⅰ）试求的值；

（Ⅱ）当x[,]时，先列表再作出函数f(x)在区间上的图象，并求出值域.

18、圆锥PO如图1所示，图2是它的正(主)视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上

异于A、B的一点，D为AC的中点． (Ⅰ) 求该圆锥的侧面积S； P (Ⅱ) 求证：平面PAC平面POD；

(Ⅲ) 若CAB60,

2

O B A 2 D

图2 C

图1

19、一汽车厂生产A,B,C三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如

表所示(单位:辆)，若按A, B, C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆, 则A类轿车有10辆. 轿车A 轿车B 轿车C （Ⅰ）求z的值； 100 150 z 舒适型

- 3 -

求三棱锥APBC的体积.

标准型 300 450 600 （Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6,

9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2 ，把这8辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一

个分数a.记这8辆轿车的得分的平均数为x，定义事件E{ax0.5，且函数

fxax2ax2.31没有零点}，求事件E发生的概率．

20、在等差数列{an}中，a2a723，a3a829．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{anbn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．

21、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，ACBC，

E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E3EC1，ACBCCC14.

(Ⅰ)求证：BCAC1；

(Ⅱ)若F为线段AC的中点，求三棱锥AC1EF的体积； (Ⅲ)试探究满足EF//平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明.

A1C1EB1

22、设函数

ABf(x)axlnx， g(x)x3x23 xC(Ⅰ)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；

(Ⅱ)如果存在x1,x2[0,2]，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足条件的最大整数M； (Ⅲ)如果对任意的s,t1,2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.

- 4 -

参考答案

1-12: DCADB ABCCA DB 13、12 14、-2 15、-5 16、(34,2)

17. 解：由题设得f(x)23sinxcosx2cos2x=3sin2xcos2x1

=2sin(2x（Ⅰ）点( ∴6)1 ……………………………4分

6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心，

311k,kZ∴3k∵01∴k0， …6分 622（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin(x6)1，x,列表如下

x6 5 6x y  0 22 3-1  0 2  5 61 7 6633  0 1

…9分

f(x)在x,上的图象如图示 11分

由图可知，函数在x,上的值域是[1,3] ……………………12分

18．解：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO径r1．∴圆锥的母线长PB2，圆O的直径为AB2，故半

PO2OB22123，

2∴圆锥的侧面积Srl13

3． ……………………4分

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（Ⅱ）证明：连接OC，∵OAOC，D为AC的中点，

∴ODAC．∵PO圆O，AC圆O，∴POAC．又ODPOO， ∴AC平面POD．又AC平面PAC，平面PAC平面POD…8分

ACB90，又CAB60,SCAB(Ⅲ)AB是直径，33…12分 ，V2319. 解：（I）设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得:

5010,所以n2000. n100300z=2000-100-300-150-450-600=400 ……………4分

（II）8辆轿车的得分的平均数为x1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9 8把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个, 由ax0.5，且函数fxaxax2.31没有零点

2a90.58.5a9.24 ………………10分 2a9.24a0E发生当且仅当a的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个,pE20、（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．

依题意 a3a8(a2a7)2d6，从而d3． ………………2分 所以 a2a72a17d23，解得 a11． ………………4分

所以数列{an}的通项公式为 an3n2． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{anbn}是首项为1，公比为c的等比数列，

得 anbncn141……12分 82，即3n2bncn1， 所以 bn3n2c2n1n1………………8分

所以 Sn[147(3n2)](1ccc )

n(3n1)(1cc2cn1)． ………………10分 2n(3n1)3n2nn 从而当c1时，Sn； ………………11分 22n(3n1)1cn 当c1时，Sn． ………………12分 21c

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21、(Ⅰ)证明： AA1面ABC，BC面ABC，BCAA1. ………1分 又BCAC,AA1,AC面AAC11C,AA1ACA,

BC面AAC11C, 又AC1面AAC11C,BCAC1.………………4分

(Ⅱ)解：∵B1C1∥BC，由(Ⅰ)知BC面AAC11C, ∴C1E面AC1F，………………………………6分 VAC1VEFE1S1ACF31114…………………8分 CE(24)1.A1CF323(Ⅲ)解法一：当AF=3FC时，FE//平面A1ABB1.………………………………9分 理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG//A1C1交A1B1于G，连结AG.

B1E3EC1，EG33AF//AC，又且ACAFAC111111，

44四

边

形

，

C1EAF//EG且AFEG，

四边形AFEG为平行EF//AG，……………………………11分

又EF面A1ABB1，AG面A1ABB1，

A1GB1AFBEF//平面A1ABB1.………………………………12分

C解法二：当AF=3FC时，FE//平面A1ABB1.………………………………9分 理由如下： 在平面ABC内过E作EG//BB1交BC于G，连结FG.

A1C1EB1EG//BB1，EG面A1ABB1，BB1面A1ABB1， EG//平面A1ABB1.B1E3EC1，BG3GC，

FG//AB，又AB面A1ABB1，FG面A1ABB1，

AFGBCFG//平面A1ABB1.又EG面EFG，FG面EFG，EGFGG， 平面EFG//平面A1ABB1.……11分EF面EFG，EF//平面A1ABB1.12分

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22解：

(1)当a2时,f(x)22xlnx,f(x)2lnx1,f(1)2,f(1)1…2分 xx所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为yx3 ……………3分 (2)x1,x2[0,2],使得g(x1)g(x2)M成立，等价于[g(x1)g(x2)]maxM…4分 考虑g(x)x3x23,g(x)3x22x3x(x)23 2 30

x

g(x)

0

2(0,) 3－

2(,2) 3＋

2

0

极（最）小值

g(x)

3 递减

85 27递增 1

由上表可知，g(x)ming()2385,g(x)maxg(2)1…………………………7分 27112 27[g(x1)g(x2)]maxg(x)maxg(x)min所以满足条件的最大整数M4 …………………………8分 (3)对任意的s,t1,2，都有f(s)g(t)，等价于：在区间1,2上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值 …………9分 由(2)知，在区间1,2上，g(x)的最大值为g(2)1

f(x)axlnx1，等价于axx2lnx恒成立…………………………10分 x记畡………11分，

即函数h(x)xxlnx在区间1,2上递减， …………………12分

2 所以h(x)maxh(1)1，所以a1 …………………14分

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