1996年全国统一高考数学试卷(理科)

1996年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（ ）

I=A∪B I A ． B． =∪B C． D． 2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（ ） A ． B． C． D．

3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ） A ． B

．

C ． D

．

4．（4分）复数

等于（ ）

A ． B． C． D． 5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（ ） A ．α⊥γ且l⊥m B． α ⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D． α ∥β且α⊥γ

6．（4分）当

时，函数f（x）=sinx+

cosx的（ ）

A ．最大值是1，B． 最 大值是1，

最小值是﹣1 最小值是﹣ C ．最大值是2，D． 最 大值是2，最小值是﹣2 最小值是﹣1

7．（4分）椭圆

（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）

A ．（﹣3， 5）（﹣B．，（ 3，3），（3，C．（1， 1）（﹣7，，D．（ 7，﹣1）（﹣，

3，﹣3） ﹣5） 1） 1，﹣1）

8．（4分）若 A ．

，则B． ﹣

C． ﹣2α

D． ﹣

﹣2α

等于（ ）

9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（ ） A ． B． C． D．

10．（4分）等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若 A ．

11．（5分）椭圆的极坐标方程为 A ．（3，0） ，（1，B． （

π） C ． D． （2，），（2，（

）

12．（5分）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A ．130 B．1 70 C．210 D．2 60

13．（5分）设双曲线点到直线l的距离为 A ．2

=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原，则双曲线的离心率为（ ）

C．

D．

，，

），（

，），（

，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（ ） ） ，

）

B． ﹣

C．2

D．﹣ 2

则

等于（ ）

B．

14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ） A ． B． C． D．

15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ） A ．0.5 B．﹣ 0.5 C．1.5 D．﹣ 1.5

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P= _________ ． 17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 _________ 个（用数字作答）． 18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°= _________ ．

19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 _________ ．

三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（7分）解不等式

21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：

，求

的

．

值． 22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．

（1）求证：BE=EB1；

（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足． ①∵ _________

∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC， ②∵ _________

∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ③∵ _________

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG， ④∵ _________

∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC， ⑤∵ _________ ∴

，即

．

23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=

，人均粮食占有量=

）

24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2． （1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程． 25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1， 求证：①|c|≤1．

②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．

1996年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（ ）

I=A∪B I A ． B． =∪B C． D．

考点： 集合的包含关系判断及应用． 分析： 根据题意，分析A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合，易得B⊂A，做出图示，

分析可得答案．

解答： 解：根据题意，A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合．

易得B⊂A，根据题意，做出图示可得， 由图示可得

，

故选C．

点评： 2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（ ） A ． B． C． D．

本题考查集合间的关系，图示法简单直观的方法．

考点： 专题： 分析： 解答：

函数的图象与图象变化． 数形结合．

先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．

解：∵函数y=a﹣x可化为 函数y=

，其底数小于1，是减函数，

点评：

又y=logax，当a＞1时是增函数， 两个函数是一增一减，前减后增． 故选A．

本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．

3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ） A ． B．

C ．

考点： 专题： 分析： 解答：

D．

余弦函数的单调性；二倍角的余弦．

计算题．

sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围． 解：因为sin2x＞cos2x，

所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0 解得：2kπ+

＜2x＜2kπ

k∈Z

所以x的取值范围是

点评：

故选D．

本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．

4．（4分）复数 A ．

考点： 分析： 解答：

B．

等于（ ）

C．

D．

复数代数形式的混合运算．

利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案． 解：复数

=

=

．

点评： 5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（ ） A ．α⊥γ且l⊥m B． α ⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D． α ∥β且α⊥γ

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 分析： m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果． 解答： 解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，

故选A．

点评： 本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判

断能力，基础题．

6．（4分）当

时，函数f（x）=sinx+

cosx的（ ）

故选B．

复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．

A ．最大值是1，B． 最 大值是1，

最小值是﹣1 最小值是﹣

C ．最大值是2，D． 最 大值是2，最小值是﹣2 最小值是﹣1

考点： 三角函数中的恒等变换应用．

分析： 解答： 首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域． 解：∵f（x）=sinx+cosx =2（sinx+=2sin（x+∵

cosx） ），

，

点评：

∴f（x）∈[﹣1，2]，

故选D

了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．

7．（4分）椭圆

（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）

A ．（﹣3， 5）（﹣B．，（ 3，3），（3，C．（1， 1）（﹣7，，D．（ 7，﹣1）（﹣，

3，﹣3） ﹣5） 1） 1，﹣1）

考点： 椭圆的参数方程． 专题： 计算题． 分析： 由题意将椭圆先化为一般方程坐标，然后再计算两个焦点坐标． 解答：

解：∵椭圆，

∴5x﹣15=15cosφ，3y+3=15sinφ，方程两边平方相加， ∴（5x﹣15）2+（3y+3）2=152 ∴

，

点评：

8．（4分）若 A ．

考点： 专题： 分析：

∴椭圆的两个焦点坐标是（3，3），（3，﹣5）， 故选B．

此题考查椭圆的性质和焦点坐标，还考查了参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

，则B． ﹣

C． ﹣2α

D． ﹣

﹣2α

等于（ ）

反三角函数的运用． 计算题． 利用诱导公式化简运算法则求出结果即可．

，然后根据﹣sinα∈[﹣1，1]，反三角函数的

解答：

解：

=arcsin[﹣sinα]+arccos[﹣sinα] 因为﹣sinα∈[﹣1，1] 所以，上式=

点评： 9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（ ） A ． B． C． D．

考点： 专题： 分析： 解答：

棱柱、棱锥、棱台的体积． 计算题．

取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．

解：O是AC中点，连接DO，BO，如图， △ADC，△ABC都是等腰直角三角形， DO=B0=

=

，BD=a，

故选A．

本题考查反三角函数的运用，诱导公式，是基础题．

△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC， DO就是三棱锥D﹣ABC的高， S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：故选D．

，

点评：

本题考查棱锥的体积，是基础题．

10．（4分）等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若 A ．

考点： 专题： 分析：

B． ﹣

C．2

D．﹣ 2

则等于（ ）

等比数列的前n项和；极限及其运算． 计算题． 根据q5=

得到q5，进而求出q．根据等比数列的求和公式，求得Sn，最后令n趋近无

穷取极限可得到答案．

解答：

解：∵

∴q5=∴q=

==﹣

∴==（）•[1﹣（）n﹣1]=﹣

点评：

故选B

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题巧妙利用了在同一等比数列中项数相等的几组数列仍是等比数列的性质．

，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（ ） ，），（

） ，

）

11．（5分）椭圆的极坐标方程为 A ．（3，0） ，（1，B． （

π） C ． D． （2，），（2，（

）

考点： 专题： 分析：

简单曲线的极坐标方程． 计算题．

，，

），（

利用圆锥曲线统一的极坐标方程而确定它们的极坐标．

，求出圆锥曲线的短轴上的两个顶点位置，从

解答：

解：将原极坐标方程为，化成：

极坐标方程为ρ=，

对照圆锥曲线统一的极坐标方程e=，a=2，b=

，c=1．

得：

∴它在短轴上的两个顶点的极坐标 （2，

），（2，

）．

点评：

12．（5分）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A ．130 B．1 70 C．210 D．2 60

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的性质． 专题： 计算题． 分析： 利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，

故选C．

本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．

解答：

进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列进行求解． 解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得方程组

，

解得d=

，a1=，

∴s3m=3ma1+

d=3m+=210．

点评：

故选C．

解法2：∵设{an}为等差数列，

∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列， 即30，70，s3m﹣100成等差数列， ∴30+s3m﹣100=70×2， 解得s3m=210． 故选C．

解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．

13．（5分）设双曲线点到直线l的距离为 A ．2

考点： 专题： 分析：

=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原，则双曲线的离心率为（ ）

C．

D．

B．

双曲线的简单性质．

计算题；压轴题． 直线l的方程为

，原点到直线l的距离为

，∴

，据此求出a，b，

c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．

解答：

解：∵直线l的方程为∴

，

，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为

，

∴16a2b2=3c4，

∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4， ∴3e4﹣16e2+16=0， 解得故选A．

点评：

若

，则有0＜b＜a．

或e=2.0＜a＜b，∴e=2．

14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）

A ．

考点： 专题： 分析： 解答：

B．

C． D．

基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 计算题；压轴题．

利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值． 解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V=πr2•h 又∵r2+h2=1∴h=∴圆锥体积V=πr2•

=

•

∵当且仅当

时，即当

=，

时圆锥体积V取得最大值

∴侧面展开图圆心角ϕ=2πr=2π•

点评： 15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ） A ．0.5 B．﹣ 0.5 C．1.5 D．﹣ 1.5

考点： 奇函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）

=﹣0.5．

解答： 解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），

∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）．

∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5． 故选B．

点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然

没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P= 2或6 ．

考点： 直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先求出准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再根据对称

故选择D

本题考查利用基本不等式求函数的最值：需要注意满足的条件：一正；二定；三相等．

性得到，列出方程求出P即可．

解答：

解：由圆的方程得到圆心坐标为（﹣2，0），半径为1；由抛物线的方程得：准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，所以圆心到准线的距离d=圆的半径r得： d=

=

=r=1，解得p=2，p=﹣2（舍去），所以p=2；

得到准线方程为x=﹣1，根据对称性得：x=﹣3也和圆相切，所以﹣=﹣3，解得p=6．

点评：

所以p=2或6． 故答案为2或6

考查学生掌握直线与圆相切时得到圆心到直线的距离等于圆的半径，以及灵活运用抛物线的简单性质解决数学问题，此题有两种情况，学生容易漏解．

17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 32 个（用数字作答）．

考点： 组合及组合数公式． 专题： 计算题． 分析： 正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答： 解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35

在一条直线上的三点有3个

符合题意的三角形有35﹣3=32个 故答案为：32

点评： 本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°= ．

考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 解答： 解：tan60°=tan（20°+40°）==

tan20°+tan40°+tan20°tan40

故答案为：

本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．

点评： 19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是

．

考点： 专题：

异面直线及其所成的角． 计算题；作图题；压轴题．

分析：

解答：

由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即

∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．

解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，

同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，

即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形； 即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=， 利用余弦定理，得

．

．

故异面直线AD与BF所成角的余弦值是

点评： 此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．

三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（7分）解不等式

考点： 专题： 分析：

．

其他不等式的解法．

计算题；分类讨论；转化思想．

先由对数函数的单调性转化不等式分a＞1时，原不等式等价于不等式组：

，0＜a

＜1时，原不等式等价于不等式组：

解答：

求解．

解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：

由此得．

因为1﹣a＜0，所以x＜0， ∴

．

②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：

解得：

；

综上，当a＞1时，不等式的解集为当0＜a＜1时，不等式的解集为

点评：

本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．最后两种结果分开来写．既不取并集也不能取交集．

，求

的

21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：值．

考点： 专题： 分析：

三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式． 计算题．

先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，

根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即

可求出

的值．

解答： 解：由题设条件知B=60°，A+C=120°． ∵， ∴

将上式化为

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

将代入上式得

将

代入上式并整理得

，

∵， ∴ 从而得

点评： 本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．

22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．

（1）求证：BE=EB1；

（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足． ①∵ 面A1EC⊥侧面AC1

∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC， ②∵ 面ABC⊥侧面AC1

∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ③∵ BE∥侧面AC1

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG， ④∵ BE∥AA1

∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC， ⑤∵ AF=FC ∴

考点： 分析：

，即

．

与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征． 本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，

（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=

，由中位线性质，

我们易得答案．

（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．

解答：

解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1②面ABC⊥侧面AC1 ③BE∥侧面AC1

④BE∥AA1⑤AF=FC

（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D． ∵EB1∥∴

，

，

∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，

∠DA1B1=∠A1DB1=（180°﹣∠DB1A1）=30°， ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1

点评：

∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角． ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°， ∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°

本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力． 求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA1C1为所求二面角的平面角，通过解∠CA1C1所在的三角形求得∠CA1C1．其解题过程为：作∠CA1C1→证∠CA1C1是二面角的平面角→计算∠CA1C1，简记为“作、证、算”．

23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=

考点： 专题： 分析：

，人均粮食占有量=

）

二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用． 计算题；压轴题． 利用公式粮食单产=

，人均粮食占有量=

分别求出现在和10 年后的人均粮

解答：

食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．

解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．

依题意得不等式

化简得

∵=

≈4.1

点评：

∴x≤4（公顷）．

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．

本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．

24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2． （1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： （1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程

联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围； （2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k

解答：

的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程． 解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．

联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1， 消去y得

（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．① 根据题意得k12﹣1≠0，②

△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③ 完全类似地有

﹣1≠0，④

△2＞0，即有12•从而k1∈（﹣

﹣4＞0，⑤ ）∪（

，

）且k1≠±1．

，﹣

（2）由弦长公式得 |A1B1|=完全类似地有 |A2B2|=∵|A1B1|=∴k1=±l1：y=

点评：

|A2B2|， ，k2=（x+

．从而 ），l2：y=﹣

（x+

）或l1：y=﹣

（x+

），l2：y=

（x+

）．

．⑦ ．⑥

本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内

容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．

25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1， 求证：①|c|≤1．

②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．

考点： 简单线性规划． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： ①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围

②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论．

注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少．

解答： 证明：①∵当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，

令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是增函数， ∴g（﹣1）≤g（x）≤g（1）， 又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，

∴g（1）=a+b=f（1）﹣c≤|f（1）|+|c|≤2，

点评：

g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≥﹣（|f（﹣1）|+|c|）≥﹣2， 由此得|g（x）|≤2；

同理 当a＜0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是减函数， ∴g（﹣1）≥g（x）≥g（1）， 又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，

∴g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≤|f（﹣1）|+|c|≤2， g（1）=a+b=f（1）﹣c≥﹣（|f（1）|+|c|）≥﹣2， 由此得|g（x）|≤2；

当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c． ∵﹣1≤x≤1，

∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2． 综上得|g（x）|≤2．

在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．