一、选择题
1．下列关于同步卫星的说法正确的是（ ）
A．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小 B．它的周期、高度、速度的大小都是一定的 C．我国发射的同步通讯卫星定点在北京上空 D．不同的同步卫星所受的向心力相同
2．质量为m的人造卫星与地心距离为r时，引力势能可表示为EP=﹣
，其
中G为引力常量，M为地球质量．已知地球半径为R，根据机械能守恒定律可得地球第二宇宙速度（可使卫星脱离地球引力的发射速度）为（ ） A．
B．
C．
D．2
3．据媒体报道，嫦娥二号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km，运动周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
4．暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命，为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于其运动周期），运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β（弧度），引力常量为G，则下列说法中正确的是（ ） A．“悟空”的线速度大于第一宇宙速度
B．“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度 C．“悟空”的环绕周期为D．“悟空”的质量为
5．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t．登月后，宇航员利用身边的弹簧秤测出质量
为m的物体重力G1．已知引力常量为G，根据以上信息可得到（ ） A．月球的密度 B．飞船的质量 C．月球的第一宇宙速度
D．月球的自转周期
6．如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量无关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 7．我国发射的“神舟八号”飞船，进入预定轨道后绕地球作椭圆轨道运动，地球位于椭圆的一个焦点上，如图所示．飞船从A点运动到远地点B点的过程中，下列表述正确的有（ ） A．地球引力对飞船不做功 C．飞船受到的引力越来越小
B．地球引力对飞船做负功 D．飞船受到的引力越来越大
8．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2．则此探测器（ ） A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 9．如图所示为一卫星绕地球运行的轨道示意图，O点为地球球心，已知引力常量为G，地球质量为M，
=R，
=4R，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在A点的速率vA=B．卫星在B点的速率vB＜C．卫星在A点的加速度aA=D．卫星在B点的加速度aB＜
10．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．人造卫星的最小周期为2π
B．人造卫星在距地面高度R处的绕行速度为C．人造卫星在距地面高度为R处的重力加速度为
D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少 11．人造地球卫星的轨道可以是这样的（ ） A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 12．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，地球的半径为R，地球自转的周期为T，引力常量为G，则可知（ ） A．地球的质量为
B．地球表面赤道处的重力加速度为g0﹣
C．近地卫星在轨道运行的加速度大小为
D．地球同步卫星在轨道运行的加速度大小为二、计算题
13．2016年10月19日，我国发射的“神舟”十一号载人飞船与“天宫“二号空间实验室成功实现自动交会对接，如图1所示．随后，航天员景海鹏、陈冬先后进入天宫二号空间实验室，开启30天的太空生活，将在舱内按计划开展相关空间科学实验和技术试验．
为了简化问题便于研究，将“天宫”二号 绕地球的运动视为匀速圆周运动（示意图如图2所示）．已知“天宫”二号距地面的高度为h，地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）“天宫”二号绕地球的运动的线速度大小； （2）“天宫二号绕地球的运动周期；
（3）一些在地面上很容易完成的实验，在太空失重的环境中却难以完成，如用沉淀法将水中的泥沙分离．请你写出一个类似的实验．
14．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则： （1）a、b两卫星周期之比Ta：Tb是多少？
（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？
15．万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数为F0。
a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1．0%R的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；
b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
16．个天体(包括人造天体)间存在万有引力，并具有由相对位置决定的引力势能。如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距
F1
F0
F2F0
m1m2
离为r时，引力势能为Ep＝－G，发射地球同步卫星时一般是把它先送入较低
r的圆形轨道，如图中Ⅰ轨道，再经过两次“点火”，即先在图中a点处启动发动机，向后喷出高压气体，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b处第二次“点火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ(即同步轨道)运动。设某同步卫星的质量为m，地球半径为R，轨道Ⅰ距地面非常近，轨道Ⅲ距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为g，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星质量的减少可以忽略，求：
(1)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是多大？ (2)两次“点火”过程中高压气体对卫星所做的总功是多少？
万有引力与宇宙航行复习题（二）参考答案
一、选择题
1、解：A、同步卫星周期与地球自转周期相同，根据定，轨道半径一定，则高度一定．故A错误．
B、同步卫星的周期、高度和速度大小都是一定的．故B正确． C、同步卫星位于赤道的上空，不可能定点在北京上空．故C错误． D、不同的同步卫星质量不一定相同，则向心力不一定相同．故D错误． 故选B．
2、解：设物体在地球表面的速度为v2，当它脱离地球的引力时r→∞， 此时速度为零，由机械能守恒定律可得：mv22﹣正确，ACD错误； 故选：B．
3、解：A、绕月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有 G
=m（
）2（R月+h）
=0，解得v2=
；故B知周期一
地球表面重力加速度公式 g月=
联立①②可以求解出 g月=
即可以求出月球表面的重力加速度；
由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出； 由v=
可以求出卫星绕月球运行的速度； 由a=（
）2（R月+h）可以求出卫星绕月运行的加速度；
本题要选不能求出的，故选：B．
4、解：A、第一宇宙速度为最大的环绕速度，则“悟空”的线速度不会大于第一宇
宙速度．则A错误
B、据万有引力提供向心力得
，则半径小的加速度大，则“悟空”的向心
加速度大于地球同步卫星的向心加速度，B正确 C、运动的角速度为：
，则周期T=
=
，则C正确
D、“悟空”为绕行天体不能测量其质量．则D错误 故选：BC
5、解：A、设月球的半径为R，月球的质量为M．
宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t，则飞船的周期为 T=
=mR（
）2②
①
得到月球的质量M=
月球的密度为 ρ====，故A正确．
B、根据万有引力提供向心力，列出等式中消去飞船的质量，所以无法求出飞船的质量，故B错误
C、设月球的第一宇宙速度大小为v，根据v=
可以求得表面附近绕月球做匀
速圆周运动的速度，即可求出月球的第一宇宙速度．故C正确 D、根据万有引力提供向心力，不能求月球自转的周期．故D错误． 故选AC．
6、解：A、绕月飞行仍在地球引力作用下运动，故卫星没有脱离地球束缚，其发射速度小于第二宇宙速度，故A错误； B、根据万有引力提供圆周运动向心力
量m，故其周期大小与卫星质量无关，所以B正确；
C、卫星受月球的引力为万有引力，根据万有引力定律知，其大小与卫星到月球中心距离的二次方成反比，故C正确．
D、卫星既受到地球的引力也受到月球的引力作用，其合力指向月球的中心，故
知等式两边将消去卫星质
卫星受到月球的引力大于受到地球的引力，故D错误． 故选：BC
7、解：A、根据动能定理，飞船从A点运动到远地点B点的过程中，动能减小，所以万有引力做负功，故A错误，B正确； C、万有引力定律F=
，
飞船从A点运动到远地点B点的过程中，飞船离地心的距离越来越大，飞船受到的引力越来越小，故C正确，D错误； 故选：BC．
8、解：A、根据万有引力等于重力
，可得重力加速度g=
，地球质量
约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约
为9.8m/s2，所以月球表面的重力加速度大小约为g′=
=1.66m/s2，根据运动学公式得在着陆前的瞬间，速度大小约v=
=3.6m/s，故A错误；
=
B、登月探测器悬停时，二力平衡，F=mg′=1.3×103×1.66≈2×103N，故B正确； C、从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，有外力做功，机械能不守恒，故C错误； D、根据v=
，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，
所以在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，故D正确； 故选：BD．
9、解：卫星在圆轨道运行时，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
解得：v=，a=
A、卫星经过椭圆轨道的A点时，由于万有引力小于向心力，故做离心运动，故：
解得：v＞，故A错误；
B、卫星经过椭圆轨道的B点时，由于万有引力大于向心力，故做向心运动，故：
解得：v＜，故B正确；
，故C正确； ，故D错误；
C、根据牛顿第二定律，卫星在A点的加速度：D、根据牛顿第二定律，卫星在B点的加速度故选：BC．
10、解：A、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有 F=F向 F=GF向=m因而 G
=m
=mω2r=m（
）2r=ma
=mω2r=m（）2r
解得 v=T=a=
① =2π③
②
同时根据地球表面重力等于万有引力，有 mg=
④
由②④两式得到人造卫星的周期为 T=2π
故当r=R时，周期最小，为2π，故A正确；
B、由①④两式得到人造卫星的线速度为 v=
故当高度为R时，r=2R，有v=，故B正确；
C、由③④两式得到人造卫星的加速度为 a=
故当高度为R时，r=2R，有a=，故C正确；
D、由①式，同步卫星的轨道半径大，速度小，但发射到同步轨道需要克服地球引力做较多的功，故D错误； 故选ABC．
11、解：A、因为人造地球卫星绕地球做圆周运动，靠万有引力提供向心力，万有引力以及向心力的方向均需指向地心，所以人造卫星的轨道的圆心必须是地心．故A错误；
B、卫星通过南北极上空，某时刻在某一经线上，由于地球的自转下一时刻卫星将不在原来的经线上，故B错误．
CD、同步卫星在赤道上方，与地球保持相对静止，轨道平面与赤道平面共面．故C正确，若该卫星不在同步卫星轨道上则卫星将相对地球表面运动的，故D亦正确． 故选CD．
12、解：A、根据万有引力等于重力，则有：：
0
解得：M=，故A正确；
B、根据向心加速度表达式，则知赤道上物体加速度：a=，所以地球表面
赤道处的重力加速度为g0﹣，故B正确；
C、近地卫星在轨道运行的加速度a0=D、同步卫星所受万有引力等于向心力：得a′=故选：ABD 二、计算题
，故D正确；
=g0，故C错误；
=ma′结合A解
13、解：（1）根据万有引力提供向心力，有：
解得：
（2）根据万有引力提供向心力，有：
解得：
（3）如用天平测物体的质量、用单摆测重力加速度、用重锤下落验证机械能守恒等等．
答：（1）“天宫”二号绕地球的运动的线速度大小为（2）“天宫二号绕地球的运动周期为
；
；
（3）一些在地面上很容易完成的实验，在太空失重的环境中却难以完成，如用沉淀法将水中的泥沙分离．请你写出一个类似的实验：如用天平测物体的质量、用单摆测重力加速度、用重锤下落验证机械能守恒等等
14、解：（1）Ra=2R，Rb=4R
由开普勒行星运动规律知：所以Ta：Tb=
：
=1：2
=①
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，
若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即这段时间a经过的周期数为n=由①②③可得n=若两卫星反向运转，（
=解得t=②
③
+）t=π ④
⑤
这段时间a经过的周期数为n′=由①④⑤得n′=
故答案为（1）Ta：Tb=1：2 （2）或
F1R215、答案 (1)a．＝
F0R＋h2)与现实地球的1年时间相同 解 (1)设小物体质量为m。
F24π2R3
＝1－( 2 0．98 b．F0GMT2
Mma．在北极地面G2＝F0，在北极上空高出地面h处
RGMmR＋h2
＝F1，
＝2，h＝1．0%R时，
F1R2
得＝F0R＋hF11
≈0．98。
F01.012
b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，
Mm4π2
有G2－F2＝m2R，
RTF24π2R3
得＝1－。 F0GMT2
(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS，
MSM4π2
地球质量为M，地球公转周期为TE，有G2＝M2r，
rTE得TE＝ 4π2r3
GMS＝
3πr3
GρSR3S，其中ρS为太阳的密度。
由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳
半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。
16、答案 (1)－
3mgR3mgR (2) 77
解析 (1)卫星沿轨道Ⅰ做圆周运动，满足
Mmv21
G2＝m＝mg， RR12Mm1
故Ek1＝mv1＝G＝mgR，
22R2卫星沿轨道Ⅲ做圆周运动，则
MmG7Rv212mgR2
＝m，E＝mv2＝， k22
7R214
合力做的功
W＝Ek2－Ek1＝－mgR＝－
114123mgR。 7
(2)卫星在轨道Ⅰ上的引力势能
Ep1＝－
GMm＝－mgR， RGMmmgR＝－， 7R7
mgRmgR7＋14
－－mgR＋
1
2
卫星在轨道Ⅲ上的引力势能Ep2＝－
高压气体所做的总功W′＝(Ep2＋Ek2)－(Ep1＋Ek1)＝－
mgR＝
3mgR。 7
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