章末复习
学习目标 1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析,用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断,能用回归直线方程进行预测．
1．抽样方法
(1)用随机数表法抽样时,对个体所编号码位数要相同,当问题所给位数不同时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数．
N
(2)用系统抽样法时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本
nK
容量n整除,先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为k＝(其中K＝N－多余个体数)．
n(3)三种抽样方法的异同点
类别 简单随机抽样 抽样过程中每系统抽样 个个体被抽到的可能分层抽样 性相同 将总体分成几层,按各层个体数之比抽取 将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时,采用简单随机抽样 在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 相互联系 适用范围 总体中的个体数较少 总体中的个体数较多 总体由差异明显的几部分组成
2.用样本估计总体 (1)用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．当样本只有两组数据且样本容量比较小时,用茎叶图刻画数据比较方便． (2)样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的,包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的,包括方差及标准差． 3．变量间的相关关系
(1)两个变量之间的相关关系的研究,通常先作变量的散点图,根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确
定性关系(函数关系)． (2)求回归直线方程的步骤：
n
2i
n
①先把数据制成表,从表中计算出x,y,i∑x,i∑xiyi； ＝1＝1
?b＝∑xy－nx y，
∑x－nx②计算回归系数a,b.公式为?
?a＝y－bx.
^
i＝1
ii
^
^
ni＝1
2i
2
^
^
^
^
^
n
③写出回归直线方程y＝bx＋a.
题型一 用样本的频率分布估计总体
例1 某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球,现随机抽样检查20个,测得每个球的直径(单位：mm,保留两位小数)如下：
40．03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.98 40．01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.01 40．02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96 (1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图；
分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品．若这批乒乓球的总数为10 000,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数． 解 (1)频率分布表如下：
分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03]
频数 频率 频数 2 4 10 4 频率 0.10 0.20 0.50 0.20
合计
频率分布直方图如图：
20 1.00
17
(2)∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个,∴合格品频率为×100%＝85%.
20∴10 000×85%＝8 500.故根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格个数为8 500.
反思与感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等．通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体．
跟踪训练1 为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )
A．64 B．54 C．48 D．27 答案 B
解析 [4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22, ∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例2 某市共有50万户居民,城市调查队按千分之一的比例进行入户调查,抽样调查的结果如表：
家庭人均月收入/元 工作人员数 管理人员数 [200,500) 20 5 [500,800) 60 10 [800, [1 100, 1 100) 1 400) 200 50 2
[1 400,1 700] 40 15 合计 400 100 80 20 求：(1)工作人员家庭人均月收入的估计值x1及方差的估计值s1；
(2)管理人员家庭人均月收入的估计值x2及方差的估计值s2； (3)总体人均月收入的估计值x及总体方差的估计值s. 解 (1)x1＝s1＝
2
2
2
1
×(20×350＋60×650＋200×950＋80×1 250＋40×1 550)＝995, 400
12222
×[20×(350－995)＋60×(650－995)＋200×(950－995)＋80×(1 250－995)＋40×(1 550－400
2
995)]＝83 475. (2)x2＝
1
×(5×350＋10×650＋50×950＋20×1 250＋15×1 550)＝1 040, 100
122222
s2＝×[5×(350－1 040)＋10×(650－1 040)＋50×(950－1 040)＋20×(1 250－1 040)＋15×(1 550
100－1 040)]＝90 900. (3)x＝
1
×(25×350＋70×650＋250×950＋100×1 250＋55×1 550)＝1 004, 500
2
122222
s＝×[25×(350－1 004)＋70×(650－1 004)＋250×(950－1 004)＋100×(1 250－1 004)＋55×(1
500550－1 004)]＝85 284.
反思与感悟 样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如方差和标准差．通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计．
跟踪训练2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测数据如下：
甲 乙
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
解 甲的平均成绩为x甲＝74,乙的平均成绩为x乙＝73.所以甲的平均成绩好．
112222222222
甲的方差是s甲＝[(－14)＋6＋(－4)＋16＋(－4)]＝104,乙的方差是s乙＝×[7＋(－13)＋(－3)＋
557＋2]＝56.
因为s甲>s乙,所以乙的各门功课发展较平衡． 题型三 用回归直线方程对总体进行估计
例3 某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下：
零件的个数x(个) 加工的时间y(小时)
2
2
2
2
2
60 80 80 60 70 70 90 80 70 75 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5
n
?xiyi－nx
^
i＝1
y
^
^
(注：b＝
n
i－nx?x2i＝1
2
,a＝y－b x)
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
^
^
^
(2)求出y关于x的回归直线方程y＝bx＋a,并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 解 (1)散点图如图．
4
(2)由表中数据得：?xiyi＝52.5,
i＝1
4
x＝3.5,y＝3.5,?xi＝54,
2i＝1
^
^
∴b ＝0.7,∴a＝1.05,
^
∴y＝0.7x＋1.05,回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程,
^
得y＝0.7×10＋1.05＝8.05,
故预测加工10个零件约需要8.05小时．
反思与感悟 对两个变量进行研究,通常是先作出两个变量之间的散点图,根据散点图直观判断两个变量
是否具有线性相关关系,如果具有,就可以应用最小二乘法求回归直线方程．由于样本可以反映总体,所以可以利用所求的回归直线方程,对这两个变量所确定的总体进行估计,即根据一个变量的取值,预测另一个变量的取值．
跟踪训练3 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x(年) 人口数y(十万)
(1)请画出上表数据的散点图； (2)指出x与y是否线性相关；
^
^
^
0 5 1 7 2 8 3 11 4 19 (3)若x与y线性相关,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y＝bx＋a； (4)据此估计2025年该城市人口总数．
(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,0＋1＋2＋3＋4＝30) 解 (1)数据的散点图如图：
2
2
2
2
2
(2)由散点图可知,样本点基本上分布在一条直线附近,故x与y呈线性相关． 11
(3)由表知x＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2,y＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.
55
5
?xiyi－5x
^
i＝1
y
^
^
∴b＝
5
i－5x?x2i＝1
2
＝3.2,a＝y－bx＝3.6,
^
∴回归直线方程为y＝3.2x＋3.6.
^
(4)当x＝5时,y＝19.6(十万)＝196万． 故2025年该城市人口总数约为196万．
1．10个小球分别编有号码1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2个,3号球3个,4号球1个,则数0.4是指1号球占总体分布的( ) A．频数 频率C． 组距答案 B
2．现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是( ) A．1 C．3 答案 B
解析 设这10个数为a1,a2,…,a10, 则有a1＋a2＋…＋a10＝200, 且a1＋a2＋…＋a10＝40,
?a1－4?＋?a2－4?＋…＋?a10－4?所以
10a1＋a2＋…＋a10－8?a1＋a2＋…＋a10?＋160＝
10＝
200－8×40＋160
＝4,∴标准差为4＝2.
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．频率 D．以上都不对
B．2 D．4
3．某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示,则成绩不低于70分的学生人数是____________________________________________________．
答案 35
解析 低于70分的频率为(0.012＋0.018)×10＝0.3,所以不低于70分的频率为0.7,故不低于70分的人数为 50×0.7＝35.
^
4．某农田施肥量x(单位：kg)与小麦产量y(单位：kg)之间的回归直线方程是y＝4x＋250,则当施肥量为50 kg时,可以预测小麦的产量为________kg. 答案 450
^
解析 直接将x＝50代入回归直线方程中,可得y＝4×50＋250＝450.
5．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组的人数相同,第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．
4
解 (1)第六组的频率为＝0.08,所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)
50＝0.06.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04, 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08, 身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2, 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2,
由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5, 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m, 则170＜m＜175,
由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5,得m＝174.5, 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5, 由直方图得后三组频率之和为0.06＋0.08＋0.008×5＝0.18, 所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.
1.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点：
?1?纵轴表示频率/组距；?2?频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比；?3?直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率,所有的小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1.
2.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述波动大小.
一、选择题
1．在某次商品促销活动中,某人可得到4件不同的奖品,这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定．用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号,有可能的是( ) A．3,9,15,11 C．8,20,32,40 答案 D
解析 由系统抽样的方法可知,这个人所得到的4件奖品的编号的间隔相等,且平均分布在1～10,11～20,21～30,31～40中,故A,B,C均不正确,D正确．
2．某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n等于( ) A．100 B．150 C．200 D．250 答案 A
n70解析 ∵＝,∴n＝100.
3 500＋1 5003 500
3．为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为x,则( )
B．3,12,21,40 D．2,12,22,32
A．me＝mo＝x C．me＜mo＜x 答案 D
5＋6
解析 30个数中第15个数是5,第16个数是6,所以中位数me＝＝5.5,众数mo＝5,
23×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2179
平均值x＝＝,∴mo 4．为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 答案 C B．me＝mo＜x D．mo＜me＜x 1 000 解析 间隔＝＝25. 40 5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( ) A．54 B．90 C．45 D．126 答案 B 183 解析 分层抽样的核心是等比例抽取．所以＝,解得n＝90. n15 6．有一容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12]内的频数为( ) A．18 B．36 C．54 D．72 答案 B 解析 ∵样本数据落在[10,12]内的频率为 1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19) ＝1－0.82 ＝0.18, ∴频数为200×0.18＝36. 2 7．一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为,则第三组的频 9数为( ) A．16 B．24 C．32 D．48 答案 B 频数2 解析 因为频率＝,所以第二、四组的频数都为72×＝16.所以第三组的频数为72－2×8－2× 样本容量916＝24. 8．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为x和s,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.x,s＋100 2 2 2 B.x＋100,s＋100 22 C.x,s 答案 D 2 D.x＋100,s 2 解析 设工资增加后员工下月工资的平均数和方差分别为y,sy,据已知易得 y＝ x1＋x2＋…＋x10＋10×100 ＝x＋100, 10 [x1＋100－?x＋100?]＋…＋[x10＋100－?x＋100?] 10 2 2 2 又sy＝＝s,故选D. 二、填空题 2 2 9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位：环)： 甲 乙 如果甲、乙两人中只有1人入选,那么入选的最佳人选应是________． 答案 甲 122 解析 x甲＝9,x乙＝9,s甲＝×2＝, 55162 s乙＝×6＝,甲的方差较小,成绩较稳定． 55 10.某校高中年级开设了丰富多彩的课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如图)．s1,s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差,则s1______s2.(填“＞”“＜”或“＝”) 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 答案 ＜ 解析 标准差反映了数据的离散程度．显然甲的学分更集中．也可用公式计算得出． 11.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________． 答案 24 23 1 解析 x甲＝(19＋18＋20×2＋21＋22＋23＋31×2＋35)＝24, 101 x乙＝(19＋17＋11＋21＋22＋24×2＋30×2＋32)＝23. 10 12．某电子商务公司对10 000名网络购物者在2016年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 答案 (1)3 (2)6 000 解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1,解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0．6×10 000＝6 000. 三、解答题 13．下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表. 分组 [51.5,57.5) [57.5,63.5) [63.5,69.5) [69.5,75.5) [75.5,81.5) [81.5,87.5) [87.5,93.5] (1)作出频率分布直方图； (2)根据直方图的各组中值估计总体平均数； (3)已知标准差s≈8.784,估计每分钟脉搏跳动次数的范围． 解 (1)频率分布直方图如图． 频数 4 6 11 20 11 5 3 频率 0.067 0.1 0.183 0.334 0.183 0.083 0.05 频率/组距 0.011 0.017 0.031 0.056 0.031 0.014 0.008 (2)由各组中值估计总体平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72. (3)∵s≈8.784, ∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[x－s,x＋s],即[63.216,80.784],取整数为[63,81]． 14．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息,回答下列问题： (1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数)； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分． 解 (1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标, ∴众数为m＝75. 前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4. ∵中位数平分直方图的面积, 0.5－0.4 ∴n＝70＋×10≈73.3. 0.3 (2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75, ∴抽样学生成绩的合格率是75%. 利用组中值估算抽样学生的平均分为 45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 估计这次考试的平均分是71分． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容