一类变质量变频谐振子的波函数

２００８年２月　吉林师范大学学报（自然科学版）　Ｎｏ．１　第１期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ’（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｉｔｏｎ）　Ｆｅｂ．２０ｏ８　一类变质量变频谐振子的波函数　李体俊　（菏泽学院物理系，山东菏泽２７４０１５）　摘要：对于质量和频率随时Ｉ＇－￣Ｊ变化的谐振子，当频率　＝　（　），质量ｍ＝ｍ（ｏ）　¨　ｅｘｐ［２ｃ　ｌ　（ｔ）ａｔ］时，通过　替换薛定谔方程中的变量，可用变量分离的方法求解薛定谔方程；然后根据常量ｃ的取值不同，分别求出了ｃ２＜　１、ｃ２＝１和ｃ２＞１时的波函数．结果表明：若１２２＜１，当Ｉ　Ｉ—ｏ。时，波函数趋近于零；若ｃ２≥１，当Ｉ　ｉ．－－￣＊时，波函数　并不趋近于零．最后，给出了这类变质量变频谐振子的几种特例，其中之一类似于阻尼谐振子．　关键词：变质量；变频；含时谐振子；波函数　中图分类号：Ｏ４１３　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００．１８４０．（２００８）０１．００５７．０４　谐振子在量子场论、量子光学等许多领域有着　Ｘ＝　（ｔ　Ｊ　（４）　广泛应用．近几年来，质量、频率依赖于时间或两者　（　，ｔ）＝　（Ｘ，ｔ）　（５）　均依赖于时间的谐振子的研究，逐渐引起了人们的　从而　兴趣．人们采用了不同的方法对变质量和变频率的　谐振子进行了广泛的研究［卜　，从形式上给出了含　（６）　时谐振子的波函数，但波函数中含有一些待求的参　量，这些参量满足与质量、频率有关的微分方程，求　ｄＸ＝　ｄ￡＋　解仍十分困难或不可能．本文通过变量替换和分离　＝的简单方法，解出了一类变质量变频含时谐振子薛　南。　（７）　定谔方程的通解．　对（５）式微分　ｄｇ，（ｘ，ｔ）＝ｄ　（Ｘ，ｔ）　１变量替换　即　变质量变频谐振子的薛定谔方程　至　ｄ　＋至　ｄｔ　Ｏｘ　Ｏｔ　（　）‘　＝　ｄ　＋　ｄｔ．　：【一　．’　＋笔＋　ｍ（　ｍ　ｔ‘　。）　（　ｔ‘　）　矿ｊｚ】　（　ｘ，ｔ）（（Ｉ１　）　把（７）式代入上式得　令　ｄ　＋　ｄｔ＝　ｄ　＋　＝￣／＿　（２）　（１）式变为　［Ｌ　　ａ￡　。＋吉・　　ｄｔ“ａ　Ｊ】　ｄｔ　－　．　比较上式两端得　　．ｗ（ｔ）ａ￡ｒ、（　　）　＋：【一—ｈｌ一——２ｐ（—２・ｔ）　‘　＋　＋　　（Ｌ‘ｔ　‘）　］Ｊ　（　【　ｘ，ｔ）（）【３）　ａ￡　一＝　　。口去・　　ｄｔ　（８）　：　作变量替换．　ｄ　。　Ｏ　Ａ　（９）　令　根据ｆ９）式．同弹可得　收稿日期：２０ｏ７．１２．１Ｏ　作者简介：李体俊（￣９６４－），男，山东定陶县人，现为菏泽学院物理系副教授．研究方向：理论物理的教学和研究．　一５７—　维普资讯 http://www.cqvip.com 佥　（　）一　佥　（　２　一Ｐ　）　（１ｏ）３波函数　这个方程式在　有限的区域内没有奇点，只需　考虑它的解在Ｘ趋于无限远时的行为．在Ｉ　ｘＩ一∞　（６）式、（８）式和（１Ｏ）式代入（３）式，得　一２　—　．　（　ａ￡　Ｗ（ｔ）　时，上武中常量　●一ｐ　＋管可以略去，（１９）式为　（要＋２警ｘ　ｄ一　１　ｘ　）　（ｘ）：０，ｌｘＩ一∞（　）　假定它的渐近解可表示为　（２１）　２变量分离　一但若　（　）　＆　般情况下不能用分离变量法直接求解上式，　亘　把（２１）式代入（２０）式得　●一２　南・告・　＝ｃ（常数）　可直接求解．上式积分得　（２Ａ２＋２案Ａ一　１）　＝ｏ，Ｉ　ｌ一∞　由此可得　ｍ：　）　ｅｘｐ【２ｃＪ　ｎ　］（１２）　３】常数ｃ２２Ａ　＋２管Ａ一　１‘。　１ｉｍ　２　一　‘２２）　（２３）　其中ｍ（０）、　（６）分别为开始时谐振子的质量和频并要求　率．　在此情况下，（１１）式变为　鲫（）ｔ．　　＝：有限值　＜　ｉｈ　考虑到在ｌ巧ｊ　ｊ三ｕ位ｌ　　ＩＡ　，Ｉ一∞时，满足（２２）式和（２３）式的　　田¨　＇１网　＼　，　，ｒＨ＼　／　（一　＋　（ｘ，￡）＝　（ｘ）　）　（１３）　（１４）　Ａ：　（一厢　）　（２４）　＝一　（６＋ｉｃ）　代人上式，再用　（　，￡）除之　，．　・　、　其中，６：￣／厂　．　厂（￡）　（）　ｄｔ　ｔ：　亍足，，设（１９）式的解为　　ｌ　Ｈ　肼　（一　ｈ２・　ｄ２一　ｄ＋　１　）　）　：　＋（Ｘ）ｅＡｘ￣　由此算出　对　得　ｄ２ｕ一警　Ｅ　、　数代　２Ｅ　（２６）　其中Ｅ是不依赖变量Ｘ和ｔ的常量．　得　１　）南・　＝　＋警（１６）瓜　志（一　ｈ２‘　ｄ２－ｉ　ｂｅＸ　ｄ＋　）　）　・２鲁　丽ｄｕ一　一～　俘　：　２　＝　２Ｅ　一（２７）　（２８）　（２９）　＝　＋警　舢‘　）　（１８）　（２６）式变为　ｄ２ｕ　（１６）式的解　１　：Ａｅ　专一　整　＂减得　＝．、　０　（３０）　（要＋２警　一去　２＋丽２Ｅ＋警）　（　）＝０上式为变量　数的Ｈ：册ｊｆｅ方程．　（１９）为了使其解满足平方可积，要求　维普资讯 http://www.cqvip.com

”＝／／，，／／，＝０，１，２，３，…（３１）　３．３常数　＞１　ｕ＝巩（　）＝巩（　）　（３２）　在ｅ　＞１情况下，（２２）式的解　其中巩（　）为Ｈｅｒｍｉｔｅ多项式．　把（３１）式代入（２９）式得　Ｅ　＝（，ｌ＋　１）她　（０）Ａ＝Ａ　＝　（±历一ｃ）＝一　（千占＋ｃ）　（４２）　，，ｌ＝０，１，２，３，…（３３）　其中，　占：　．　把（３２）式代入（２５）式得　声（　）：ｕ（　）ｅ。　６＋　（　）ｅ　一—Ｌ（６＋　）ｒ　（３４）　（４２）式不满足（２３）式，但仍可以设（１９）式的解为　声（　）：ｕ（　）ｅＡ　：ｕ（　）ｅＡ一　ｕ（　）ｅ：－Ｌ　＋ｃ’　＝　（４３）　把（１８）式和（３４）式代入（１４）式得　（　，￡）：隅（　）ｅ。　ｊｃ）　．ｅ（｛。　）　（３５）　把（４）式代入（３５）式，得波函数　（　，￡）：帆（　）ｅ。　．ｅ（ｊ。　“）ｄＩ　（３６）　√　式中Ｎ　为归一化常数．　３．２常数ｃ２＝ｌ　在ｅ２＝１情况下，（２２）式的解为　Ａ一　上式不满足（２３）式，但仍可设（１９）式的解为　声（　）：“（　）ｅａｅ　：“（　）ｅ一轰　（３７）　基中函数ｕ（　）待定．　把（３７）式代入（１９）式得　ａ２ｕｄＸ　—　＝一丽２Ｅ　ｕ　＝一—　—■＿　ｈ　２　（０）一　、、　　（３８）　Ｊ　由于　一４－∞，要求ｕ（Ｘ）为有限值（等价于波函数　为有限值），所以常量Ｅ≥Ｏ，设　—ｈ２￣２　ｏＥ（０）　＝　（３９）　（３８）式的解为　ｕ＝ｕ±＝ｅ　（４０）　把（３７）式代入（１４）式　（　，￡）：Ａｕ（　）ｅ一　ｅ（专　）　ｄＪ　所以．波函数为　（（　　）：Ａｕ（　）ｅ‘丘２１ｉｔ　‘｛。　（４１），￡）＝　）ｅ　ｅ　㈣加　（４１）　　其中函数ｕ（　）待定．　把（４３）式代入（１９）式得　一２（警）　ｄｕ一百ｉ／，ｕ＋丽２Ｅ　ｕ＝。（４４）　令　．　ａ＝√鲁　（４５）　＝　（４６）　２　ｉ　ｂ　ｈ　（０）　（４７）　ｕ（　）＝　（　）　（４８）　（４４）式变为　ｄＵ　＝０　（４９）　上式为变量　取虚数的Ｈｅｍａｉｔｅ方程，通解［６］为　Ｕ＝　月　（　）＋　（　）　其中　（　），　（　）分别称为”次第一类、第二类　Ｈｅｍａｉｔｅ函数．　当　一４－∞时，　（　）　ｅ　：ｅ　（　）　：　满足Ｕ取有限值（等价于波函数取有限值）要求的　解为　Ｕ：　（　）　（５ｏ）　这样，波函数为　：　（　）ｅ。　ｍ　ｃ　．　￡）　（　）ｅ一　ｅ　．。（主‘　“　：　：　（　佩）ｅ　ｍｃ）　．ｅ（｛一　）　（５１）　４结论　当谐振子的频率　＝　（ｔ），质量ｍ＝ｍ（０）　一５９—　维普资讯 http://www.cqvip.com

ｃ　（）（ｔ）ｄｔ］时，本文给出了薛定谔方程　　］时本文给出了薛定谔方程　，；ｍ：ｍ（￡），叫＝　；ｍ　ｍ‘￡　，叫　（ｋ为常数）；　（￡）　【ｋ刀帚奴　；　（￡　的解．若ｃ２＜１，由（３６）式看出，当Ｉ　ｌ一∞时，波函数　：ｍ（０）（　ａ‘　），　：　丽　等都是　趋近零；若ｃ２≥１，由（４１）式和（５１）式看出，当Ｉ　Ｉ一　这类含时谐振子的特例．特别对于频率不变，质量　∞时，波函数并不趋近于零．另外，对于质量不变，频　ｍ＝ｍ（Ｏ）ｅ２Ｃａ，ｔ的情况，（１）式与阻尼谐振子（受迫力　率　（￡）＝　；频率不变，质量ｍ＝ｍ（０）　为零）的薛定谔方程类似［　，其解可作为阻尼谐振子　ｅ２　；质量ｍ（ｃ）＝　，频率　（ｃ）＝　的波函数．　参考文献　［１］梁麦林，袁兵．质量和频率随时间变化的含时受迫谐振子的严格波函数及非经典态［Ｊ］．量子电子学报，２ＯＯ２，１９（２）：１３５一ｌ３８　［２］彭彦泽，彭松清，范天佑，等．一个含时谐振子的精确波函数和相于态［Ｊ］．北京理工大学学报，２００２，１１（１）：ｌ０Ｊ～１０４．　［３］徐秀玮，柳盛典，任廷琦，等．含时谐振子的演化算符和波函数［Ｊ］．物理学报，１９９９，４８（９）：１６０１—１６０４．　［４］李明，俞攸红．质量和频率随时问变化的谐振子的波函数和压缩态［Ｊ］．量子电子学报，１９９９，１６（３）：２０２～２０７．　［５］章介伦，吉桂芳，丁胜，等．质量和频率依赖于时间的量子简谐振子的行为［Ｊ］．量子光学学报，１９９６，２（２）：７１～８２．　］刘式适，刘式达．特殊函数（第二版）［Ｍ］．北京：气象出版社，２ＯＯ２．　［７］刘清，郭扎英，等．量子阻尼受迫谐振子的精确波函数［Ｊ］．江西科学，２ＯＯ６．２４（６）：４０３～４０６．　Ｔｈｅ　Ｗａｖｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｔｉｍｅ・ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｎ　（Ｄｅｌｍｒｔｒｎｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｚｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｚｅ　２７４０１５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｓｅｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ（ｕ＝　ｃＵ（￡）ａｎｄ　ｎｍｓ　ｍ＝ｍ（０）　ｅｘｐ［２ｃＪ　（￡）ｄ￡］ｃａｎ　ｂｅ　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　。ｆ　ｓｉｍｐｌｅ　ｔ砌ｓｆｏＩｍａｔｉｏｎ　ａＪ１ｄ　ｓｅｐ毗ｔｉ。ｎ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｌｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ｃ２＜１，Ｃ２＝１　ａｎｄ　Ｃ２＞１，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｖ．Ｗｈｅｎ　Ｉ　Ｉ呻∞，ｔｈｅ　ｗａｖｅ　ｆｕｎｃ—　ｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｃ　＜１　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｚｅｒｏ　ｂｕｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｎｏｔ　ＳＯ　ｆｏｒ　Ｃ　≥１．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｈａｌ—　ｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ　ａｎｄ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅｍ　ｉｓ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　ａ　ｄａｍｐｅｄ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅ－・ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｍａｓｓ；ｔｉｍｅ－－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｗａｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　～６０～