【中考真题】2021年广东省深圳市中考数学试卷(附答案)

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（ ）

A．跟 2．B．百 C．走 D．年

1的相反数是（ ） 2021A．2021 B．2021 C．

1 2021D．1 20213．不等式x12的解集在数轴上表示为（ ） A．

B．

C． D．

4．《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ） A．124

B．120

C．118

D．109

5．下列运算中，正确的是（ ） A．2a2a2a3

B．a2a5

3C．a2a3a5 D．a6a2a3

6．计算|1tan60|的值为（ ） A．13 B．0

C．31

D．13 37．《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）

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xy100A． 7300xy10000500xy100C．7

x300y10000500xy100B． 500300xy100007xy100D．500

x300y1000078．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）

A．15sin32 B．15tan64 C．15sin64 D．15tan32

9．二次函数yax2bx1的图象与一次函数y2axb在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．

C．

D．

10．在正方形ABCD中，AB2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使G两点，得EFDE，过点F作FGDE，分别交CD、AB于N、连接CM、EG、EN，

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①tanGFB下列正确的是：

1CM151；②MNNC；③④S四边形GBEM ；（ ）

2EG22

A．4

二、填空题

B．3 C．2 D．1

11．因式分解：7a228 ________．

12．已知方程x2mx30的一个根是1，则m的值为________．

13．B两点，A点坐标(2,3)，如图，已知反比例函数过A，直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为________．

14．D，E分别为BC，AC上的点，如图，在ABC中，将CDE沿DE折叠，得到FDE，

EF10，CF，BFC90，连接BF，若EF//AB，则AE的长为__________． AB43，

三、解答题

15．如图，已知BAC60，AD是角平分线且AD10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DEAC，则DEF周长为________．

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21x6x9116．先化简再求值：，其中x1．

x3x217．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．

（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形； （2）求四边形ABCD的面积．

18．随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成如下扇形统计图．

空气质量指数 空气质量等级 （AQI） 优 良 中 差 AQI50 50AQI100 频数 m 15 100AQI150 9 AQI150 n

（1）m____，n ______；

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（2）求良的占比； （3）求差的圆心角；

（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有_____天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有_____天AQI为中．

19．如图，AB为O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC//BE．

（1）求证：AE；

（2）若BC3，BE5，求CE的长．

20．某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示： x（万元） 10 12 14 16 y（件） 40 30 20 10 （1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

21．探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．

2（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．

（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？

同学们有以下思路：

1xy10xy12xy10y，设新矩形长和宽为x、则依题意，，联立得x210x120，

xy12再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩

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1形的2倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：yx10，l2：y12，那么， x

①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．

②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；

2③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

22．在正方形ABCD中，等腰直角AEF，AFE90，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现

BF和HBF为定值． BH1

（1）①

BF__________； BH②HBF__________；

③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了按他的思路证明①②．

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，

BDEAk，ADFABAOH和的关系，请你BOAFBDAEAF（090）求：

①②

FD__________（用k的代数式表示） HDFH__________（用k、的代数式表示） HD试卷第6页，总6页

参考答案

1．B 【分析】

正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】

∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“建”字相对的面上的汉字是“百”． 故选B． 【点睛】

本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 2．C 【分析】

根据相反数的定义选择即可. 【详解】

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 则11的相反数是，

20212021故选：C． 【点睛】

本题考查了相反数，熟记定义是解题关键． 3．D 【分析】

根据不等式性质求出不等式解集，表示在数轴上即可． 【详解】

解：不等式x-1＞2， 解得：x＞3． 表示在数轴上为：

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故选：D． 【点睛】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．B 【分析】

将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】

将这组数据从小到大重新排列为109，118，120，124，133 ∴这组数据的中位数为120， 故选B． 【点睛】

本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5．A 【分析】

利用同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法依次计算即可． 【详解】

A. 2a2a2a3，符合题意； B. a2a23=a6，不符合题意；

3C. a2a3，不是同类项，不能合并，不合题意； D. a6a2a62a4，不合题意． 故选A． 【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解决本题的关键是牢记公式与定义． 6．C 【分析】

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直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】

|1tan60||13|31

故选C． 【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键． 7．B 【分析】

设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案． 【详解】

设一亩好田为x元，一亩坏田为y元， ∵7亩坏田是500元， ∴每亩坏田

500元， 7∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元， xy100∴， 500300xy100007故选：B． 【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键． 8．C 【分析】

首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】

∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠DEF=DEC∴DEF32,

EF15,

由题可知，△DCE为直角三角形，

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在Rt△DEC中，sinDEC即：sin64∴CDCD DECD , 1515sin64,

故选：C 【点睛】

本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 9．A 【分析】

先分析二次函数yax2bx1的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数y2axb的图像恒过定点(【详解】

二次函数yax2bx1的对称轴为xb,0)，即可得出正确选项． 2abb，一次函数y2axb的图像恒过定点(,0)，2a2ab,0)，只有A选项符合题意． 2a所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(故选A． 【点睛】

本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数y2axb的图像恒过定点(10．B 【分析】

解：①中由FGDE即可得到GFBEDC，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明△DEC≌△FEM得到EM=EC，DM=FC，再证明△DMN≌△FCN即可求解； ③中先证明GE//CM，得到

b,0)，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 2aCMCF5155即可求解； EGEF55GB1151得到GBBF，再由S四边形GBEM2S△GBE即可BF222④中由tanFtanEDC求解． 【详解】

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解：①∵FGDE，

∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF， ∴∠GFB=∠EDC，

∵ABCD为正方形，E是BC的中点， ∴BC=CD，

∴tanGFBtanEDCEC1，①正确； CD2②由①知MDNCFN，

又ECDEMF=90，已知EFED， ∴△DEC≌△FEM(SAS)， ∴EMEC， ∴DMFC，

∵MDNCFN，MNDCNF，DMFC， ∴△DMN≌△FCN(AAS)， ∴MNNC，故②正确； ③∵BEEC，MEEC， ∴BE=ME，

且∠B=∠GME=90°，GE为RtGBE和RtGME的公共边， ∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL）， ∴BEGMEG， ∵MEEC， ∴EMCECM，

由三角形外角定理可知：EMCECMBEDBEGMEG， ∴GEBMCE， ∴MC//GE， ∴

CMCF， EGEF∵EFDEEC2CD25，CFEFEC51， ∴

CMCF5155，故③错误； EGEF55④由上述可知：BEEC1，CF51，

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∴BF51， ∵tanFtanEDC∴GBGB1， BF2151， BF22151∴S四边形GBEM2S△GBE2BEBG，故④正确．

22故选B． 【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．7(a2)(a2) 【分析】

先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可． 【详解】

解：原式=7(a24)7(a2)(a2)， 故答案为：7(a2)(a2)． 【点睛】

本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式． 12．2 【分析】

根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】

解：将x1代入得：1m30，解得m2． 故答案是：2． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 13．(4,7) 【分析】

利用“一线三垂直”，证明ABD≌CBE从而求得C点坐标． 【详解】

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设AB：ykx，反比例：y将点A代入可得： yk x63x；y 2x

联立可得：B(2,3) 过点B作y轴的平行线l

过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点 则D(2,3)

ADDE,CEDE

ADBEBC ABBC

ABDCBEABDBDA

CBEBAD ABBC

△ABD≌△CBE(AAS)

BEAD4，CEBD6 ∴C(4,7)． 故答案为：(4,7)． 【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 14．1043 【分析】

答案第7页，总17页

延长ED，交CF于点G，由折叠，可知DGCF，可得ED//BF，延长EA，FB，交于点M，结合AB//EF，可得MBFE，MABM，进而即可求解． 【详解】

解：如图，延长ED，交CF于点G，

设BFE

由折叠，可知DGCF， ∵BFCF， ∴ED//BF，

∴FEDBFE， 延长EA，FB，交于点M， ∵AB//EF，

∴BACFEC2，ABMBFE， ∴MBACABM，

∵MBFE，MABM， ∴EMEF10，AMAB43， ∴AEEMAM1043． 【点睛】

本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 15．553 【分析】

知道BAC60和AD是角平分线，就可以求出DAE30，AD的垂直平分线交AC于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到

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C△DEFDEEFAFAEDE．

【详解】

解： AD的垂直平分线交AC于点F，

 DFAF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）

∴C△DEFDEEFAFAEDE ∵BAC60，AD是角平分线 ∴DAE30 ∵AD10

∴DE5，AE53 ∴C△DEF553 【点睛】

此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 16．

1；1 x2【分析】

先把分式化简后，再把x的值代入求出分式的值即可． 【详解】

x2x3x3111 原式2x2x2(x3)x2x3x211． 当x1时，原式12【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键． 17．（1）见解析；（2）8 【分析】

（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； 2，即可求解． （2）四边形对角线的乘积÷【详解】 （1）如图所示：

答案第9页，总17页

1（2）S448．

2【点睛】

本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 18．（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，110 【分析】

（1）根据扇形统计图中优的圆心角的度数即可求出m的值，再用总数减去优，良，中的天数即可求出n的值；

（2）用良的天数除以总数即可得到答案； （3）用差的占比乘以360度即可；

（4）要先算出样本中有9天AQI为中，再估测该城市中一年（以365天计）中大约有110天AQI为中． 【详解】

解：（1）根据题意得，m48304 360所以，n3041592 故答案为：4，2； （2）良的占比为：（3）差的圆心角=

15100%=50% 302360=24 30（4）根据统计表，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市中一年（以365天计）中大约有3659=110（天） 30故答案为：9，110 【点睛】

答案第10页，总17页

本题主要考查利用统计表处理数据的能力，和利用样本估计总体的思想，解答这类题目观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确． 19．（1）见解析；（2）CE【分析】

（1）根据题意，连接AD，通过证明AB//CE，再由AC//BE可证四边形ACEB为平行四边形，进而即可得到AE；

（2）根据平行四边形ACEB的性质及D，C为ACB的三等分点可证△CBD∽△BED，得到

16 325CDBD，进而求得DE即可得到CE的长． BDDE3【详解】

（1）如图连接AD， ∵A、D、C、B四点共圆 ∴BADBCD180 又BCDBCE180 ∴BADBCE

∵D，C为ACB的三等分点 ∴BDAC ∴BADABC ∴ABCBCE ∴AB//CE，又AC//BE ∴四边形ACEB为平行四边形 ∴BACE即原题中AE；

答案第11页，总17页

（2）∵四边形ACEB为平行四边形，BE5 ∴BEAC5

∵D，C为ACB的三等分点，BC3 ∴BCCDAD， BDAC

∴CDBC3，BDAC5，CDBCBDBAC ∵BACE ∴△CBD∽△BED ∴BCADBE5 ∴

35CDBD ，即5DEBDDE∴DE25 325163． 33∴CEDEDC【点睛】

本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何综合运用知识是解决本题的关键．

20．（1）y5x90；（2）单价为13元时，利润最大为125万元 【分析】

（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值． 【详解】

解：（1）设y与x的函数关系式为：ykxb，

4010kb则， 3012kbk5解得：，

b90故y与x的函数关系式为： y5x90； （2）设总销售利润为W，

则有：W(x8)(5x90)=5(x13)2125，

答案第12页，总17页

当x13，销售利润Wmax=125万， 即单价为13万时，最大获利125万元． 【点睛】

本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系． 21．（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③k【分析】

（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；

（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意

24 25xy5，xy3，联立，求出关于x、y的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长2和宽为x和y，则由题意xy5k，xy6k，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】

（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在； （2）①存在；

∵x210x120的判别式0，方程有两组正数解，故存在； 从图像来看，l1：yx10，l2：y12在第一象限有两个交点，故存在； x555xy2②设新矩形长和宽为x、y，则依题意xy，xy3，联立 2得xx30，

22xy3因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；

53从图像来看，l1：yx，l2：y在第一象限无交点，故不存在；

x2答案第13页，总17页

③k24； 25设新矩形长和宽为x和y，则由题意xy5k，xy6k，

xy5k24联立得x25kx6k0，25k224k0，故k．

25xy6k【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．

2k24kcos422． （1）①2；②45°；③见解析；（2）①；②kk【分析】

（1）①通过中位线得出OH1AE，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出22，再结合中位线OH和正方形的2AEAF2,则

OHAF2OB，在等腰Rt△OBA中得出2AB性质证明∠BOH=∠BAF，即可证明出△BOH∽△BAF，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出HBF；

（2）①用与（1）相似的方法可以证明出△DOH∽△DAF，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值． 【详解】 （1）2；②45°③证明：如图所示：

答案第14页，总17页

由正方形性质得：

AB2，O为AC的中点 BO1AE 2又∵H为CE的中点，则OH//AE，OH∴AEF是等腰直角三角形 ∴AE2AF ∴

AFAB2 OHBO∵OH//AE

∴COHCAE， 又∵CAEDAF ∴COHDAF 又BOCBAD90 ∴BOHBAF， 又∵

AFAB2 OHBO∴△BOH∽△BAF ∴

BF2，HBOFBA BH∴HBFHBODBFFBADBFDBA45

2k24kcos4 （2）① ②kk理由如下：

①如图，连接AC，与BD交于O点，连接OH

答案第15页，总17页

由题可知四边形ABCD为平行四边形， ∴O为AC和BD的中点， 又∵H为CE中点， ∴OH又∵

11AE，ODBD , 22BDEAk, ADFA∴OH1OHkFA ,即2FA1ODkAD,即2AD1k， 2OD1k， 2∵OH是△ACE的中位线， ∴OH∥AE， ∴COHCAE,

又∵DOC是△AOD的外角， ∴DOC又∵ODA∴COD∴BOH又∵

ODAEAFDAODAF , ODADOAD ,

OAD,

EAF ,

OHFA1k， 2∴△DOH∽△DAF ∴

FDAD2 HDDOk②：

由△DOH∽△DAF得：

HDOFDA，则HDFBDA

在HDF中，HDF，

FD2 HDk不妨令DF2t，DHkt，如图作HMDF

答案第16页，总17页

则：HMDHsinktsin，DMktcos 则MFDFDM(2kcos)t 由勾股定理HF2MH2MF2解得：

HFtk24kcos4 FH∴DHk24kcos4．

k【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键．

答案第17页，总17页