大跨度连续刚构桥预应力混凝土

箱形梁极限承载力分析

李华 王道斌 曾庆元

摘 要：以虎跳门特大桥作为工程背景，采用梁段单元法建立了大跨度连续刚构桥预应力混凝土箱形梁极限承载力分析的数学模型，并推导出薄壁箱梁的U.L.列式增量平衡方程。在研究中，考虑了箱梁顶板、底板和腹板局部变形的影响及材料非线性和几何非线性。按形成矩阵的“对号入座”法则导引出非线性薄壁箱梁单元刚度特性矩阵。

关键词：连续刚构桥；局部变形；几何非线性；材料非线性；极限承载力

分类号：U441.5 文献标识码：A

文章编号：1001-7372(2000)01-0038-06

Analysis of the ultimate load capacity for long-span continuous

rigid-frame bridge prestressed concrete box beam

LI Hua WANG Dao-bin

（Department of Communications Engineering,Shijiazhuang Railway

Institute,Shijiazhuang 050043,China）

ZENG Qing-yuan

（Changsha Railway University, China） Abstract：Based on the Hutiaomen extra-long-span frame bridge engineering, a mathematical model of the ultimate load capacity for

Long-span Continuous Rigid-frame bridge prestressed concrete box beam is set up by means of beam segment finite element method, the U.L.formulation of thin-walled box girder virtual work equilibrium equation is deduced. In the analysis, the influences of local deformation of every plate of thin-walled box girder and of geometrical and material nonlinearity is considered. According to the rule “Set-in-Right-Seat”, the property matrix of the nonlinear elment of thin-walled box girder is deduced as well.

Key words：continuous rigid-frame-bridge;local deformation;geometrical nonlinearity;material nonlinearity;ultimate load capacity

随着桥梁向大跨、轻型、高强方向发展，现代桥梁多采用薄壁箱形截面结构。关于混凝土箱梁的线弹性理论［1］已比较成熟。混凝土箱梁的极限承载力分析，必然涉及到几何非线性和材料非线性，只能采用数值计算方法。钢筋混凝土有限元分析是近期发展起来的一种很有效的非线性分析方法，已广泛应用于各种不同类型的结构，但用于钢筋混凝土矩型、T型、工型梁(构件)和板的研究成果占大多数［2～4］。箱梁由于其形状的特殊性使得其非线性分析变得更加复杂，目前，尚未见到有关大跨

度连续刚构桥预应力混凝土箱形梁极限承载力分析的研究报告。

欲比较全面、准确地了解混凝土箱梁的结构行为，需要考虑顶板、底板和腹板的局部屈曲与箱梁的整体屈曲的相互作用，顶板、底板剪力滞后，结构受几何和材料非线性等因素的影响。本文基于有限变形理论，采用梁段单元法建立了大跨度连续刚构桥预应力混凝土箱形梁极限承载力分析的数学模型，推导了薄壁箱梁的U.L.列式增量平衡方程，建立了考虑箱梁各板件的局部变形影响的非线性薄壁箱梁单元特性矩阵，分析了广珠准高速铁路虎跳门特大桥的极限承载力。

1 连续体大变形问题的U.L.(Upda-ted Lagrangian Formulation)列式增量方程

假设0，Δt,2Δt,„，t各荷载步的连续体内力和位移均已知，要求t+Δt时步的内力和位移。以t时刻的状态为基本度量，将t时刻应

t

力视为初始应力，连续体在t时刻的初应力为Cauchy应力τij与预应力0τij之和，从t到t+Δt时刻的应力增量为第二类(Piola-Kirchhoff)应力张量tSij，则t+Δt时刻的应力为

(1)

根据虚功原理［5］，t+Δt时刻连续体的虚功方程为

(2)

式中：Green应变右端项t+ΔtR为t+Δt时刻作用于

连续体的外荷载所作的虚功；左端项为连续体的虚应变能。若将tSij，tεij划分为线性与非线性两部分，即

(3)

又引入增量应力—应变关系，阶微量

，则

，代入式(2)，并略去高

(4)

式(4)即为具有预应力0τij的连续体U.L.列式三维虚功增量方程，可适用于大跨度预应力混凝土结构分析。将结构作有限元离散时，式(4)左边第一项将得出弹性或弹塑性刚度矩阵，第二项将得出几何刚度矩阵；右边第一项将得出t+Δt时刻外荷载的等效节点力矩阵，第二项将得出t时刻单元内的应力引起的等效节点力矩阵。式(4)是建立在t时刻单元局部坐标系下的单元增量平衡方程，因此，需将t时刻单元局部坐标系转换至结构总体坐标系，组拼各刚度矩阵，得出结构总体增量平衡方程。

2 考虑局部变形影响的薄壁梁单元U.L.列式增量平衡方程

薄壁箱梁单元是由四块板件单元——顶板、底板、左右腹板组成的。式(4)应用于整个梁段单元时，实际上是针对各板件进行积分，按各板件建立增量平衡方程，从而得出梁段单元的增量平衡方程。 2.1 基本假定

(1)考虑薄壁箱梁在弯矩、剪力、轴力作用下的面内极限承载力分析，不计非荷载效应(日照温差，基础不均匀沉降)影响，不计混凝土收缩、徐变等与时间相关的非线性因素；

(2)混凝土与钢筋之间完全粘结，共同变形，单元内位移是连续的； (3)混凝土开裂以后，即退出工作；

(4)梁截面任意点的位移计算按本文中提出的整体位移与局部位移迭加的方法；

(5)箱梁在变形过程中，假定为大位移、小应变问题，故可忽略在变形过程中梁体积和面积的变化。 2.2 薄壁箱梁位移模式

2.2.1 梁段单元整体位移计算

［6］

笔者根据Timoshenko梁的变位为弯曲变位与剪切变位的迭加的思想，提出构造剪切位移函数vs以考虑剪切变形影响的计算方法。按平截面假定计算梁段单元整体位移。梁段单元如图1所示，X轴、Y轴为梁截面惯性主轴方向，Z轴为梁的中性轴。取位于中性轴上的点的弯曲竖向位移vb，剪切竖向位移vs，纵向位移wo作为描述截面整体位移的广义位移。即截面转角θ=dvb/dz，剪应变γ=dvs/dz。在梁段单元内，取梁的竖向变位为三次插值函数，纵向变位为线性插值，则有

图1 梁单元

(5)

式中：［N］=［N1 N2 N3 N4］

(6)

2.2.2 箱梁各板件相对于整体位移的局部位移计算

笔者仅分析对称竖向荷载作用于箱梁顶板时，顶板、底板产生的竖向弯曲变形和左右腹板侧向弯曲变形。在纵向局部位移分析中，考虑顶板、底板的剪力滞后影响。所研究的箱形截面与板件局部坐标系如图2所示。沿箱梁主轴截取单位长度框架，采用横向有限元法计算顶板、底板的局部竖向位移，左右腹板的局部横向位移如下：

图2 箱形截面及各坐标系

顶板中间板段 vdu=(B/4-x2/B)φ(z) 底板 vdl=(x2/B-B/4)θ(z) 左悬臂板段 vdul=(x+B/2)φ(z) 右悬臂板段 vdul=(-x+B/2)φ(z)

左腹板段 ulf=-r1(y)φ(z)+r2(y)θ(z) 右腹板段 urf=-r1(y)φ(z)-r2(y)θ(z)

式中：φ(z)=［N］｛δφ｝e；θ(z)=［N］｛δθ｝e,［N］见式(6)

顶板中间段、底板考虑剪力滞后的局部纵向位移分别为

式中：［M］见式(6)；｛δwsu｝e=［wsui wsuj］eT；｛δwsl｝e=［wsli wslj］eT

。

顶板左右悬臂板的局部纵向位移分别为

式中：［N］见式(6)

2.2.3 任意点的总位移及梁段单元节点位移参数

以u、v、w分别表示截面任意点沿x、y、z方向的线位移，则顶板中间板段(-B/2≤x≤B/2)

(7)

顶板右悬臂板段(B/2≤x≤B/2+Bc)

(8)

底板板段(-B/2≤x≤B/2)

(9)

右腹板板段(-hu≤y≤hl)

(10)

顶板左右悬臂板和左右腹的位移是分别对称的，限于篇幅，只列出右悬臂、右腹板的位移。梁段单元节点位移参数为

(11)

一个梁段单元具有26个自由度。 2.3 增量位移—应变关系

由Green应变张量定义可知

(12)

分别将上述各板的位移表达式代入式(12)，得出各板段增量位移—

应变关系，限于篇幅只写出顶板中间板段增量位移—应变关系如下，对其它板段不再赘述。

(13)

式中：应变分量的线性部分、非线性部分分别为

2.4 材料本构关系

混凝土的本构关系对其非线性分析至关重要，采用CHEN C T和CHEN W F提出的三参数各向同性强化塑性模型［7］，按一般的塑性力学的方法分段分块计算其弹塑性刚度矩阵。钢筋采用弹性硬化模型(双线性)，屈服后的弹性模量取为初始弹性模量的百分之一。纵向预应力筋、普通钢筋分别计算于梁段单元内。 2.5 梁段单元刚度特性矩阵

将增量应力—应变关系代入式(4)，则式(4)等式左边第一项I1u、第二项I2u、右边第二项I3u依次为

(14)

积分得

(15)

式中

｛δ*u｝e是｛δu｝e的一阶变分，则式(15)可写为

(16)

在依次得到各板单元增量平衡方程之后，按形成矩阵的“对号入座”

［8］

法则，可以得到整个梁段单元的增量平衡方程如下

(17)

式中：｛δ｝e见式(11)。

3 坐标变换

由于箱梁的局部自由度是相对于箱梁整体位移定义的，故对局部位移不需要坐标变换，t时刻单元坐标系tX、tY、tZ转换至结构总体坐标系

g

X、gY、gZ的变换矩阵为

(18)

式中：R为单元初始坐标系X、Y、Z相对于总体坐标系X、Y、Z的变换矩阵，可按一般结构矩阵分析方法计算，t每一个时步单元坐标系tX、t

Y、tZ相对于其初始坐标系oX、oY、oZ的变换矩阵，详见文献［9］。

ooooggg

4 非线性有限元方程求解方法

采用Newton-Raphson增量迭代法求解结构荷载—挠度曲线，荷载逐级施加。对于非线性程度不高的阶段(荷载作用的初级阶段)，加载步长可选得大一些，对于非线性程度较高的阶段(极值点附近区域)，加载步长可选择小些，如为前加载步的0.05～0.1，为保证迭代具有良好的收敛性，计算时，在第一级荷载增量步内选用线弹性解作为迭代初值，以后每级增量步内则选择上一级荷载增量步末的结果作为迭代初值。 采用不平衡力收敛准则，满足下式即认为达到收敛标准

‖ΔR‖2≤(0.01-0.001)‖Rn‖2 (19)

式中：‖ ‖2为欧几里德范数；Rn为第n个加载步荷载列阵向量；ΔR为第n个加载步的不平衡列阵向量。若迭代过程中迭代次数超过15次，则认为该加载步未达到精度，应减少荷载，重新计算，直至收敛为止。

5 虎跳门特大桥极限承载力分析

5.1 桥梁结构简介

虎跳门特大桥位于广珠准高速铁路三眼桥到珠海之间，其主桥为110 m+200 m+110 m双线预应力混凝土刚构桥，如图3所示，是目前中国跨度最大的铁路预应力混凝土梁式桥。上部结构为单箱单室三向预应力变截面箱梁，箱梁顶板宽11.8 m，底板宽9.4 m，截面高度跨中为5 m，墩顶为11.5 m，梁底线按二次抛物线设计，梁体采用C60混凝土。下部结构为双墙薄壁墩柱(矩形截面b×h：11 m×2 m)，高度20 m。墩顶与箱梁固结，主墩采用C40混凝土，高桩承台，钻孔灌注桩基础。承台与基桩采用C25混凝土。

图3 虎跳门特大桥示意图/m

5.2 极限承载力分析

结构关于竖向中心线对称，取一半结构计算。主墩支座约束条件考虑以下两种情况：墩底固结；桥墩下群桩基础对上部结构的弹性约束(按局部冲刷线计算)。沿主梁纵向划分58个单元，主墩划分为8个单元，共计66个单元，只研究成桥阶段的极限承载力。刚构桥的总荷载由恒载和活载组成，恒载包括结构自重、预应力及桥面板重量。在成桥阶段，结构由于恒载作用处于一平衡状态，在主梁及主墩内均存在较大的初应力，故成桥阶段的极限承载力分析应从具有此初应力的平衡状态开始计算。因此，可将恒载作为初始荷载施加在结构上，在接下来的活载加载步中，考虑以下两种工况：①工况一：全桥均布活载qL；②工况二：中跨均布活载qL。活载是按一定比例施加的，即qL=kq，k是活载因子，q是基本荷载，本文中取为200 kN/m。

刚构桥的主梁和主墩为压弯构件，其极限承载力是指极值点失稳时的失稳荷载，其结构屈曲安全系数可定义为结构极限荷载与设计荷载的比值，即

(20)

计算结果参见表1、2，图4、5、6。

图4 工况一：主梁中跨中点荷载—挠度曲线(墩底固结)

图5 工况二：主梁中跨中点荷载—挠度曲线(墩底固结)

图6 工况二：主梁中跨中点荷载—挠度曲线

表1 计算结果

安全系数n 工况一 工况二 弹性稳定 7.56 弹塑性稳定 2.94 6.89 2.35 表2 计算结果/cm

荷载工况 荷载系数 位 因 素 5.02 7.11 3.52 5.25 工况一 工况二 移 全部位移［1］无局部位［2］无剪切位全部位无局部无剪切全部位移［1］无局部位［2］无剪切位全部位无局部无剪切 移 移［3］ 移［1］ 位移［2］ 位移［3］ 移 移［3］ 移［1］ 位移［2］ 位移［3］ 中98.98 86.83 78.58 269.62 232.67 208.64 79.79 69.26 61.74 228.00 198.28 178.92 跨中点 竖90.13 79.13 70.88 245.04 213.64 193.98 67.56 59.79 53.88 201.23 176.72 160.36 向位移 左墩顶 水平位移 2.76 2.53 2.33 5.95 5.36 4.93 2.75 2.50 2.29 6.26 5.57 5.12 2.92 2.65 2.44 6.75 6.03 6.42 2.85 2.59 2.36 6.95 7.17 5.63 说明：［1］指同时考虑局部位移、剪切位移；［2］指仅考虑截面整体位移；［3］指在整体位移计算中忽略剪切位移。4、5行中第二个数据是指墩底固结时的计算结果。

由此可以看出，按线弹性稳定计算的极限承载力安全系数远远大于按弹塑性稳定安全系数；局部位移、剪切位移对桥梁极限承载力数值影响很小，但它们对变形影响较大；活载工况一的极限承载力较活载工况二低；分别考虑墩底固结和群桩的弹性约束得出的极限承载力比较接近。

6 结 语

(1)提出了设置剪切位移函数计算剪切变形影响的新方法；

(2)提出了薄壁箱梁考虑板件局部变形影响的空间位移计算方法； (3)推导出薄壁箱梁局部屈曲与整体屈曲相关的U.L.列式增量平衡方程；

(4)计算了虎跳门特大桥极限承载力。

作者简介：李华(1967-)，女，讲师，工学博士 作者单位：李华（石家庄铁道学院 交通工程系，河北 石家庄 050043） 王道斌（石家庄铁道学院 交通工程系，河北 石家庄 050043）

曾庆元（长沙铁道学院） 参考文献：

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收稿日期：1999-04-22