2019研究生数学考试数三真题

2019年全国硕士研究生入学统一考试

（数学三）试题及答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2.已知方程x55xk0有3个不同的实根，则k的取值范围是（ ）

（A）(,4) （B）(4,) （C）(4,4) （D）(4，4）

3.已知微分方程yaybycex的通解为y(Cxx1C2x)ee，则a，b，c依次为（ （A）1, 0, 1 （B）1, 0, 2 （C）2, 1, 3 （D）2, 1, 4

4.若unvnn1绝对收敛，nn1n条件收敛，则（ ）

（A）

unvnn1绝对收敛 （B）

unvnn1绝对收敛

（C）unvnn1收敛 （D）unvnn1发散

）

5.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个

*r(A)（ ） 向量，则

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

T2A4xAA2E6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若，且，则二次型Ax的规范形为（ ）

（A）

y12y22y32

（B）y1y2y3

222（C）y1y2y3

222

（D）y1y2y3

2227.设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ）

（A）

P(AB)P(A)P(B)

（B）P(AB)P(A)P(B)

（C）P(AB)P(BA) （D）P(AB)P(AB)

21}N(,)，则P{X-Y＜8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布（ ）

（A）与μ无关，与σ2有关 （B）与μ有关，与σ2无关

（C）与μ、σ2都有关 （D）与μ、σ2都无关

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

9.

11lim(n12231)nn(n1)

 。

10.曲线

3yxsinx2cosx(＜x＜)22

的拐点坐标为 。

11.已知函数

f(x)x11tdt4x，则012f(x)dx 。

12.以PA, PB分别表示A, B两个商品的价格，设商品A的需求函数

2QA500PAPAPB2PB2

，则当PA=10, PB=20时，商品A的需求量对自身价格弹性AA(AA＞0)为 。

13.已知矩阵

1100A111，b1.01a21a

若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a= 。

x,0＜x＜2f(x)2，0,其他14.设随机变量X的概率密度为 F(X)为X的分布函数，EX为X的数

学期望，则P{F(X)＞EX1} 。

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

2xx,x＞0,f(x)xxe1,x0，已知函数求f(x)，并求f(x)的极值。

16.（本题满分10分）

设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，函数

g(x,y)xyf(xy,xy)

2g2g2g2.2xxyy ，求

17.（本题满分10分）

x22设函数y(x)是微分方程

yxy12xe满足条件y(1)e的特解。

（1）求y(x)；

（2）设平面区域

D{(x,y)1x2,0yy(x)}

，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。

18.（本题满分10分）

x求曲线yesinx(x0)与x轴之间图形的面积。

【

19.（本题满分10分）

设

anxn1x2dx(n0,1,2)01

（1）证明：数列an单调减少，且

n1an2(n2,3,)；n2

an

an.nan1 （2）求

lim20.（本题满分11分）

已知向量组

I：1=(1,1,4)T,2(1,0,4)T,3(1,2,a23)T

II：1=(1,1,a+3)T,2=(0,2,1-a)T,3=(1,3,a2+3)T

若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a的取值，并将β3用α1, α2, α3线性表示。

21.（本题满分11分）

221210A2x2B01000200y相似 已知矩阵与

（1）求x, y；

1（2）求可逆矩阵P，使得PAPB.

22.（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为

P(Y1)p,P(Y1)1p(0＜p＜1).

令ZXY

（1）求 Z的概率密度；

（2）p为何值时，X与Z不相关；

（3）X与Z是否相互独立；

23.（本题满分11分）

A22f(x;)e(x22),x设总体X的概率密度为 0,x＜，其中是已知参数，＞0是未知参

数，A是常数，X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本。

（1）求A；

（2）求的最大似然估计量。

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