下陆区二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

下陆区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x轴交双曲线C

的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．

2． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 3． 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)//c，则（ ）

11 B． C．1 D．2 42f(x2),(x2)4． 若f(x)x则f(1)的值为（ ）

2,(x2)11 A．8 B． C．2 D．

28A．

5． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n（3n﹣2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（ ） A．﹣16

B．14

C．28

D．30

x2y26． 双曲线221a0,b0的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于

abA、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2（ ）

A．122 B．422 C．522 D．322 7． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

8． 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

9． 下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是

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（ ）

11ann，则此数列的第4项是（ ） 22135A．1 B． C. D．

24810．已知数列{an}的首项为a11，且满足an111．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．akm A．15

B．30

B．C．31

akm D．64

C．2akm

12．已知等差数列{an}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（ ）

akm

D．

二、填空题

13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °． 有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．

15．设函数f（x）=

14．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的

的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．

17．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式

f(log3x)3log3x1的解集为 .

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大. 18．设

,则

的最小值为 。 三、解答题

19．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试． （Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；

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（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．

20．AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1， ∠SDC=120°．如图，在几何体SABCD中，又SD=2，（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；

（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作垂直 21．（本小题满分12分）已知椭圆C1：84于轴的直线，直线l2垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M. （1）求点M的轨迹C2的方程；

（2）过点F2作两条互相垂直的直线AC、BD，且分别交椭圆于A、B、C、D，求四边形ABCD面积

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的最小值.

22．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)

23．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使

1，a2，求ABC面积的最大值. 2PAD，构成四棱锥PABCD，且

（1）求证：平面 BEF平面PAB； （2）当 异面直线BF与PA所成的角为

PCCD2. PFCE时，求折起的角度. 3第 4 页，共 16 页

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24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

abba

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证ab＞ab．

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下陆区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c， 双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c） ∵AB为直径的圆恰过点F2 ∴F1是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴c=2c，解得b=2a ∴离心率为=故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．

2． 【答案】A 【解析】

=

考

点：斜二测画法． 3． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为a(1,2)，b(1,0)，所以(ab)1,2，又因为(ab)//c，所以

4160,1，故选B. 2考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 4． 【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。 5． 【答案】B

31，故选B。 8第 6 页，共 16 页

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n

【解析】解：∵an=（﹣1）（3n﹣2），

∴S11=（=﹣16，

）+（a2+a4+a6+a8+a10）

=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28） S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20） =﹣（1+7+…+55）+（4+10+…+58） =﹣=30， 故选：B．

+

∴S11+S20=﹣16+30=14．

【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．

6． 【答案】C 【解析】

试题分析：设

A1F则B1F2AB，mm,2AF2m,2，2因aBF2m为a21m，在直角ABAF2BF2m，所以m2a2m2am，解得4a2m，所以AF225252224a2m三角形AF中，由勾股定理得，因为，所以F4c2m4c1228a，所以

22e2522. 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方.111.Com] 7． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，8． 【答案】C

2222

【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=

＜=2，

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故直线和圆C相交， 故选：C．

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

9． 【答案】D 【解析】

考

点：平面的基本公理与推论． 10．【答案】B 【解析】

11．【答案】D

，

akm，

【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=BC=akm，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为

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【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

12．【答案】A

【解析】解：∵等差数列{an}， ∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10， ∴a10=15， 故选：A．

二、填空题

13．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

a，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．

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14．【答案】 （﹣2，﹣6） ．

【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形， ﹣（2，6）=（﹣2，﹣6）， 故答案为：（﹣2，﹣6）．

则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=

【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．

15．【答案】 2 ．

【解析】解：函数可化为f（x）=令∴

∴函数f（x）=即M+m=2．

故答案为：2．

16．【答案】 （ 1，±2

，则

=

为奇函数，

，

的最大值与最小值的和为0．

的最大值与最小值的和为1+1+0=2．

） ．

2

【解析】解：设点P坐标为（a，a）

依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2 a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．

17．【答案】(0,3)

【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且

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F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(l3ox)g3lo3xg1，即

F(l3ox)gF(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).

18．【答案】9

【解析】由柯西不等式可知

三、解答题

19．【答案】

44

【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C7=35种情况；若4人全是男生，共有C8=70种情况；

故全为女生的概率为=．…

4

（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C15，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4… P（X=0）=

=

；P（X=1）=

=

；P（X=2）=

=

；

P（X=3）==；P（X=4）==．…

故X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×

+1×

+2×

3 +3×

4 +4×

=

．…

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．

20．【答案】

【解析】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点， 分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠SDC=120°， ∴∠SDE=30°，

又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为则有D（0，0，0），

（1）设平面SAB的法向量为∵

．

，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．

，

．

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则有得

，取，又

，

，

设SC与平面SAB所成角为θ， 则

故SC与平面SAB所成角的正弦值为（2）设平面SAD的法向量为∵则有∴

，取

，得

，

．

．

，

，

．

，

故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是

【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．

21．【答案】（1）y8x；（2）【解析】

试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接MF2，由垂直平分线的性质可得MPMF2，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC或BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD面积S2b．当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AC的方程为ykx2，则直

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线BD的方程为y1x2．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC，k1利用四边形ABCD面积SACBD即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，BD．

2即可得出．

（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，直线AC的斜率为，A(x1,y1)，则直线BD的斜率为C(x2,y2)，

1，kyk(x2)2222直线AC的方程为yk(x2)，联立x2y2，得(2k1)x8kx8k80.111]

1488k288k2∴x1x2，x1x2.

12k212k232(k21)1122BD|AC|1k(x1x2)4x1x2.由于直线的斜率为，用代换上式中的。可得2kk2k132(k21). |BD|2k2116(k21)2∵ACBD，∴四边形ABCD的面积S|AC||BD|2.

2(k2)(2k21)64(k22)(2k21)23(k21)222][]，∴S由于(k2)(2k1)[，当且仅当k22k1，即

922k1时取得等号.

22易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S8. 综上，四边形ABCD面积的最小值为考点：椭圆的简单性质．1

【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得|MP||MF2|,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当AC或BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为2b.当直线

264. 9AC和BD的斜率都存在时,分别设出AC,BD的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC,BD,从而利用四边形的面积公式求最值.

22．【答案】

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【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

23．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

2． 3

BAAD从而得到BA平面PAD，试题分析：（1）可先证BAPA，再证CDFE,CDBE可得CD平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：

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（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，

22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.

3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质． 24．【答案】

【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，

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即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1， 则

＞1恒成立，即

＞1，

abab

所以，a﹣＞b﹣，

bb

将该不等式两边同时乘以ab得，

aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

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