2014年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年重庆，理1，5分】在复平面内表示复数i(12i)的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】A

【解析】i(12i)2i2i2i，对应点的坐标为(2,1)，在第一象限，故选A． 【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数z化为abi

a,bR的形式，是解答本题的关键． （2）【2014年重庆，理2，5分】对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）

（A）a1,a3,a9成等比数列 （B）a2,a3,a6成等比数列 （C）a2,a4,a8成等比数列 （D）a3,a6,a9成等比数列 【答案】D

aa【解析】设{an}公比为q，因为6q3,9q3，所以a3,a6,a9成等比数列，故选D．

a3a6【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．

（3）【2014年重庆，理3，5分】已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x3，y3.5，则由观

测的数据得线性回归方程可能为（ ） （A）y0.4x2.3（B）y2x2.4（C）y2x9.5 （D）y0.3x4.4

【答案】A

【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除C,D，回归直线经过点x,y，故选A． 【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

（4）【2014年重庆，理4，5分】已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k0（ ）

9（A） （B）0 （C）3 （D）15

22【答案】C

【解析】由已知(2a3b)c02ac3bc0，即2(2k3)3(2141)0k3，故选C．

【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要

出错．

（5）【2014年重庆，理5，5分】执行如题图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填

入的条件是（ ）

（A）s1 （B）s3 （C）s7 （D）s4

21055【答案】C

98k9877【解析】由程序框图知：程序运行的S，∵输出的k6，∴S，

109k11098107∴判断框的条件是S，故选C．

10【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键． （6）【2014年重庆，理6，5分】已知命题p:对任意xR，总有2x0；q:\"x1\"是\"x2\"的充分不必要条件

则下列命题为真命题的是（ ）

（A）pq （B）pq （C）pq （D）pq 【答案】D

【解析】根据指数函数的性质可知，对任意xR，总有2x0成立，即p为真命题，“x1”是“x2”的必要不

充分条件，即q为假命题，则pq，为真命题，故选D．

【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．

1

（7）【2014年重庆，理7，5分】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

（ ）

（A）54 （B）60 （C）66 （D）72 【答案】B

【解析】在长方体中构造几何体ABCA'B'C',如右图所示，AB4,A'A5,B'B2， C'A'AC3，经检验该几何体的三视图满足题设条件．

3515其表面积SSABCSACC'A'SABB'A'SBCC'B'SA'B'C'6151460，故选B．

22C【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何

A量是解题的关键．

x2y2（8）【2014年重庆，理8，5分】设F1，F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一

ab9点P使得|PF1||PF2|3b,|PF1||PF2|ab，则该双曲线的离心率为（ ）

4459（A） （B） （C） （D）3

343【答案】B

【解析】由于(|PF1||PF2|)2(|PF1||PF2|)24|PF1||PF2|，所以9b24a29ab，

c5分解因式得(3b4a)(3ba)04a3ba3,b4,c5，所以离心率e，故选B．

a3【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题． （9）【2014年重庆，理9，5分】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出

顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）

（A）72 （B）120 （C）144 （D）3 【答案】B

【解析】用a,b,c表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种排法：

32A2120种，故选B． 每一种排法中的三个a，两个b可以交换位置，故总的排法为10A3【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．

1（10）【2014年重庆，理10，5分】已知ABC的内角A，B,C满足sin2Asin(ABC)sin(CAB)，

2面积S满足1S2，记a,b,c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式成立的是（ ） （A）bc(bc)8 （B）ac(ab)162 （C）6abc12 （D）12abc24 【答案】A

1【解析】已知变形为sin2Asin[(CB)A]sin[(CB)A]，

211展开整理得sin2A2cos(CB)sinA2sinA[cosAcos(CB)]，

2211即2sinA[cos(CB)cos(CB)]sinAsinBsinC，

28111而SabsinC2RsinA2RsinBsinC2R2sinAsinBsinCR2，

2242R故122R22，故abc8R3sinAsinBsinCR3[8,162]，排除C,D，

4因为bca，所以bc(bc)abc8，故选A．

【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能

方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2014年重庆，理11，5分】设全集U{nN|1n10},A{1,2,3,5,8},B{1,3,5,7,9}，则

B'B(CUA)B ． 【答案】7,9

2

B1,3,5,7,9，【解析】∵全集UnN1n10，A1,2,3,5,8，∴CUA4,6,7,9，∴(CUA)B7,9．

【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

（12）【2014年重庆，理12，5分】函数f(x)log2xlog2(2x)的最小值为 ．

1【答案】

41【解析】因为log2xlog2x,log2(2x)log24x222log2x，设tlog2x，则：

211111原式t(22t)t2t(t)2，故最小值为．

22444【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于

中档题． （13）【2014年重庆，理13，5分】已知直线axy20与圆心为C的圆x1ya4相交于A，B两

点，且ABC为等边三角形，则实数a ． 【答案】415 aa23a415． 【解析】易知ABC的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高h3，即：2a1【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键． 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2014年重庆，理14，5分】过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PB，PC分别交圆于B，

C，若PA6，AC8，BC9，则AB ． 【答案】4

PAABPB6xy【解析】设ABx,PBy，由PABPCA知： x4,y3，所以AB4．

PCACPA9y86【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．

x2t（15）【2014年重庆，理15，5分】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x正半

y3t22轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为sin24cos0(0,02)则直线l与曲线C的公

共点的极径 ． 【答案】5

4cos 5cos5．2sin【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

1（16）【2014年重庆，理16，5分】若不等式2x1x2a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值

2范围是 __．

1【答案】1a

211111551【解析】转化为左边的最小值a2a2，左边x(xx2)xxx2x，

222222221511当x时取等号，故a2a21a．

2222【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题． 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2014年重庆，理17，13分】已知函数fx3sinx0，的图像关于直线x对223称，且图像上相邻两个最高点的距离为． （1）求和的值；

【解析】直线的极坐标方程为sincos1与sin24cos0联立得：tan2,332（2）若f的值． ，求cos246323

2解：（1）由已知f()3，周期，解出2,k,kZ，因为[,)，故只有．

3622615312cos()1sin()（2）f，由，故， 03sin()sin()6646264642315131531． cossinsin[()]sin()coscos()sin428266666642【点评】本题主要考查由函数yAsinx的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于

中档题．

（18）【2014年重庆，理18，13分】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张

卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片． （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三个数a,b,c满足 abc，则称b为这三个数的中位数）．

33C4C35解：（1）由古典概型的概率计算公式得所求概率为：p． 3C9843211111131C4C4C53417C4C3C2C32C2C32C4C3C74371（2）p(x1)；p(x2)；p(x3)．

8482428484848412所以X的分布列为： 1 2 3 所以 1743．E1 234284【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的

只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题． P（19）【2014年重庆，理19，13分】如下图，四棱锥PABCD，底 面是以O为

中心的菱形，PO底面ABCD，AB2,BAD，M为BC上一点，且

31BM,MPAP．

2（1）求PO的长；

（2）求二面角APMC的正弦值． 解：解法一：

（1）设POx，则PAPO2OA2x23，PMPO2OM2x2在ABM中由余弦定理AMAB2BM22ABBMcos1202DOMABC3， 421，因为MPAP，所以APM为 22321233PA2PM2AM2x23x2()，直角三角形，由勾股定理：解出x，． PO4222（2）设点A到平面PMC的距离为d，由体积法知：VAPBCVPABC，

1116136即SPBCdSABCPO， d3d3332322d621015点A到棱PM的距离为hPAx23，设所求二面角为，则sin．

h25215解法二：

（1）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，故ACBDO，且ACBD，

以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系Oxyz，

∵AB2，BAD∴O0,0,0，A11，∴OAABcosBAD3， OBABsinBAD1，322OB0,1,0，BC3,1,0， 3,0,0，B0,1,0，C3,0,0，

4

131331,,0OMOBBM，∴BMBC，则44,4,0， 442333,,a设P0,0,a，则AP3,0,a，MP，∵，∴APMPa20， MPAP444又∵BM33，即PO的长为．

22333333,0,MP,,CP3,0,（2）由（1）知AP，，设平面APM的法向量nx,y,z， 4，2422解得a33xz053P0mA2平面PMC的法向量为na,b,c，由，得，令x1，则m 1,3,2，

33MP03mxyz044233ac0nCP02由，得，令a1，则n1,3,2，∵平面APM的法向量m和平 3a3b3c0nMP04424083【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解

答的关键．

（20）【2014年重庆，理20，12分】已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a,b,cR)的导函数f'(x)为偶函数，且曲线

yf(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4c． （1）确定a,b的值；

（2）若c3，判断f(x)的单调性； （3）若f(x)有极值，求c的取值范围．

mn面PMC的法向量n夹角满足：cosmn1541510，故sin1sin2． 55解：（1）f'(x)2ae2x2be2xc，由f'(x)f'(x)恒成立知：

2ae2x2be2xc2ae2x2be2xc(2a2b)e4x(2b2a)0，故ab

另外f'(0)2a2bc4cab2，联立解出ab1．

（2）当c3时，f'(x)2e2x2e2x32(exex)210，故f(x)在定义域R上为单调递增． （3）由（1）得fx2e2x2e2xc，而2e2x2e2x22e2x2e2x4，当且仅当x0时取等号，

当c4时，fx0恒成立，故fx无极值；当c4时，令te2x，方程2t正，即fx0有两个根x1，x2，当xx1,x2时，fx0，当x,x12c0的两根均为 tx2,时，fx0，

故当xx1，或xx2时，fx有极值，综上，若fx有极值，c的取值范围为4,．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应

用，难度中档．

22（21）【2014年重庆，理21，12分】如下图，设椭圆xy1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，

a2b2点D在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|22，DF1F2的面积为2．

2|DF1|（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分

别过不同的焦点，求圆的半径．

b2b2解：（1）设D(c,y)，代入椭圆方程中求出y，故DF1，而F1F22c，

aa5

由已知：F1F222DF1,122，联立解出F1F22,DF1， F1F2DF1222x2b22222即2c2,,abc，联立解出a2,bc1，所以椭圆的标准方程为y21．

a22（2）由于所求圆的圆心C在y轴上，故圆和椭圆的两个交点A,B关于y轴对称，从而经过

点A,B所作的切线也关于y轴对称，如下图所示．当切线互相垂直时，设两条切线交 于点P，则CAPB恰好形成一个边长为r正方形．其中r表示圆的半径，由几何关系

BF2BPPF2r2，BF1yCBPPF1r2，BF1BF22a22，

AF1OF2PBx2224242所以r2r2222r，故所求圆的半径为．

33【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．

2（22）【2014年重庆，理22，12分】设a11,an1an2an2b(nN*)．

（1）若b1，求a2,a3及数列{an}的通项公式；

（2）若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论．

2解：（1）∵a11，an1an2an2b，b1，a22，a321；又an11an11，

22∴an1是首项为0，公差为1的等差数列；∴an1n1，∴ann11（nN*）． （2）设fx221． 4下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11．n1时，a2f10，a3f021，

x1211，则an1fan，令cfc，即cc1211，解得c∴a2ca31，成立；设nk时结论成立，即a2kca2k11，∵fx在,1上为减函数， ∴cfcfa2k1f1a2，∴1ca2k2a2，∴cfcfa2k2fa2a31， ∴ca2k31，∴a2k1ca2k111，即nk1时结论成立，

1使得a2nca2n1对所有的nN*成立．． 4【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．

综上，c6