三法巧求线段的长度
齐 齐
方法一：直接推理法
根据题设图形的特征，利用中点的性质或者图中线段的和差关系，直接推理进行求解． 例１ 如图１所示，已知线段ＡＢ＝８０ ｃｍ，Ｍ为ＡＢ的中点，点Ｐ在ＭＢ上，点Ｎ为ＰＢ的中点，且ＮＢ＝１４ ｃｍ，求线段ＡＰ的长．
思路分析：由图形可以看出，线段ＡＰ等于线段ＡＭ与ＭＰ的和，也等于线段ＡＢ与ＰＢ的差，所以欲求线段ＡＰ的长，只要求出线段ＡＭ与ＭＰ的长或者线段ＰＢ的长即可． 解：由题意可得ＰＢ＝２ＮＢ＝２×１４＝２８（ｃｍ），所以ＡＰ＝ＡＢ－ＰＢ＝８０－２８＝５２（ｃｍ）．
评注：直接推理计算，需要认真观察图形，灵活运用图中线段的和、差、倍、分关系，然后进行变换迅速解题． 方法二：利用整体求解法
根据题中线段间的关系，通过整体思想，把所要求解的线段作整体处理的方法．
例２ 如图２所示，点Ｐ在线段ＡＢ上，ＡＢ＝１０ ｃｍ，点Ｍ为ＡＰ的中点，Ｎ为ＢＰ的中点，求线段ＭＮ的长度．
思路分析：虽然由图可知ＭＮ＝ＭＰ＋ＮＰ，但无法分别求出ＭＰ和ＮＰ的长．再仔细分析
1ＡＢ，于是把ＭＮ作整体化处理，则可以把问题简单化. 21111解：由ＭＰ＝ＡＰ，ＮＰ＝ＰＢ得ＭＮ＝ＭＰ＋ＮＰ＝（ＡＰ＋ＰＢ）＝ＡＢ＝
22221×１０＝５（ｃｍ）． 2发现ＭＰ＋ＮＰ＝
评注：当无法确定某些线段的长度时，可考虑整体求解． 方法三：运用分类讨论法
根据所研究对象的性质差异，分不同情况予以分析的解决方法．
例３ 在一条直线上有Ａ，Ｂ，Ｃ三个点，Ｍ为ＡＢ的中点，Ｎ为ＢＣ的中点，若ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，试用ａ，ｂ表示线段ＭＮ的长度．
思路分析：由于题目没有说清楚Ａ，Ｂ，Ｃ三点之间确切的位置关系，所以要根据Ａ，Ｂ，Ｃ三点的位置和ａ，ｂ的大小关系进行分类讨论.
解：（１）如图3－①所示，点Ｂ在Ａ，Ｃ两点之间时，ＭＮ＝ＢＭ＋ＢＮ＝Ｃ）＝
1（ＡＢ＋Ｂ21（ａ＋ｂ）； 2 1
（２）如图3－②所示，点Ａ在Ｂ，Ｃ两点之间，即ｂ＞ａ时，ＭＮ＝ＢＮ－ＢＭ＝Ｃ－ＡＢ）＝
1（Ｂ21（ｂ－ａ）； 212 （３）如图3－③所示，点Ｃ在Ａ，Ｂ两点之间，即ａ＞ｂ时，ＭＮ＝ＢＭ－ＢＮ＝（ＡＢ－ＢＣ）＝
1（ａ－ｂ）． 2评注：解答这类问题首先要审题，弄清楚点之间的位置关系，只有这样才能做到无遗漏．
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