高中数学函数知识点经典总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为1） 3

（答：1，0，显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

n（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,„„an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A有2n个子集。

当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴a·353aa·555a22ax5xa20的解集为M，若3M且5M，求实数a

05a1，9，25） 30

∵5M，∴注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实

际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件A_____B；

若 ；则p是q的充要条件A_____B；

若 ；则p是q的既非充分又非必要条件___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。

函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数yx4xlgx32的定义域是 （答：0，22，33，4）

函数定义域求法：    

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底

数大于零且不等于一，真数大于零。 

正切函数ytanx xR,且xk,k 2 

余切函数ycotx xR,且xk,k 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。 （答：a，a）

复合函数定义域的求法：已知yf(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域。

1例 若函数yf(x)的定义域为，则f(log2,2112x)的定义域为 。

分析：由函数yf(x)的定义域为,2可知：x2；所以yf(log22解：依题意知： 解之，得 ∴ f(log22x)中有

12log2x2。

12log2x2

2x4

x)的定义域为x|2x4

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

1x的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

2a. yb. ybk+x22型：直接用不等式性质bx型,先化简，再用均值不等式1x+1x12xmxnx1+x2 例：yc.. yd. yxmxnxmxnxmxnxn222型 通常用判别式

型 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1224、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例 求函数y=

x3x45x6值域。

e1e1xxx，y2sin11sin，y2sin11cos的值域。

yyye1e1xe1y1y01y2y|1,2sin11sin2sin11cos|sin||2sin1y(1cos)2sinycos1y4ysin(x)1y,即sin(x)2

1y4y2又由sin(x)1知1y4y21解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=2x5log3x1（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+

8 数形结合法

x1的值域。

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

(1)yx2的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解:(1)令 dR(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线d dR yx2k,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.

例求函数y=

(x2)2+

(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=

22

x6x13+

x4x5的值域

2解：原函数可变形为：y=

(x3)(02)2+

(x2)2(01)2

22上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=∣AB∣=故所求函数的值域为[43，+∞）。 注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

(32)(21)=43，

例： 22 x(x0) x =x2x1(3-2x)(0倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=

x2x3的值域

yx2x3x21x2121x212x20时，1yx220y

x20时，y=00y多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，

与到手的满分失之交臂

如：f 令tx1ex，求f(x). x1，则t0

2x ∴xt1 ∴f(t)et ∴f(x)e21t1 x1x0

22x12 13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x 如：求函数f(x)2x（答：f1x0x0）

的反函数

x1(x)xx1x0

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数y A．y=x2－2x+2(x<1) C．y=x－2x (x<1)

2

x11(x1)的反函数是（ B ）

B．y=x2－2x+2(x≥1) D．y=x－2x (x≥1)

2

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 2、 3、

反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y） 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数f(x)log3(15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）

4x2)，则方程f1(x)4的解x__________.

判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求

f(x1)f(x2)x1x2的正负号或者

f(x1)f(x2)与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与

1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

－1

⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 增 / / 减 增 / / 减

如：求ylog1x2x的单调区间22

（设ux22x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图：

22 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴„„）

16. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

3值是（ ） A. 0

2 （令f'(x)3xa3xa3a3

ax3a0 3

则x或x

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a31，即a3

∴a的最大值为3）

17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2a221xx 如：若f(x)为奇函数，则实数a

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·2a22100 即0，∴a1）

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)求f(x)在1，1上的解析式。

2xx41，

（令x1，0，则x0，1，f(x)24xx24xxxx1

又f(x)为奇函数，∴f(x)1214

x2x41 又f(0)0，∴f(x)x2x41x(1，0)x0x0，1）

判断函数奇偶性的方法

一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)f(-x)f(x)f(-x)

1 偶函数 1 奇函数三、 复合函数奇偶性

f(g) 奇 奇 偶 偶 g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义

吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推

导：f(xt)f(x2t)0f(x)f(x2t)，

f(x)f(xt)0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

如：

19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y) f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y) f(x)与f(x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 联想点（x,y）,(y,x) f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 联想点（x,y）,(2a-x,y) f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0) yf(xa)左移a(a0)个单位 将yf(x)图象

yf(xa)右移a(a0)个单位yf(xa)b上移b(b0)个单位

yf(xa)b下移b(b0)个单位（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么

麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换：

f(x)|f(x把)|轴下x方的图像翻到上面 f(x)f(|x把|)轴右y方的图像翻到上面 如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线。

kx(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

kxak0推广为ybk0是中心O'(a，b)

b2 （3）二次函数yaxbxca0ax2a2b4acbb，，对称轴x 顶点坐标为 4a2a2a24acb4a2图象为抛物线

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb4a22

a0，向下，ymax4acb4a

根的关系：x x1x2bab2a

ca,|x1x2||a|,x1x2二次函数的几种表达形式：f(x)axbxc(一般式)f(x)a(xm)n(顶点式，（m，n）为顶点f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2个根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函数经过点（x1,h)(x2,h)22

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yaxbxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

222②求闭区间［m，n］上的最值。

区间在对称轴左边（n区间在对称轴右边（mb2ab2ab2a） fmax） fmaxm） mfamx(f(n),())f(m),ff(n),fminfminfn()m() 区间在对称轴2边 （n fmin4acb4a2

f,max也可以比较m,n和对称轴的关系，距 离越远，值越大(只讨论a0的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

0bmn在区间（m，n）内有2根2ax （4）指数函数：yaa0，a1 f(m)0f(n)0在区间（m，n）内有1根f(m)f(n)0 （5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=a(a>1) (01) 1 O 1 x (0（6）“对勾函数”yxkxk0

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

y k

O k x

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a1(a0)，ammn0p1ap(a0)

annam(a0)，a1nam(a0)

logM(N) 对数运算：alaogMnloNgM，a1nlogM a0N

0 logaMNlogMlogN，logaaalogaxM 对数恒等式：ax

对数换底公式：logbalogbclogaclomgbannmlobga

logxa

1logax21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„



（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1. 正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 2.

幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（3.

指数函数型的抽象函数

f（x）＝a------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4.

对数函数型的抽象函数

xyx

xy）＝

f(x)f(y)

f(x)f(y)

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（5.

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝三角函数型的抽象函数

）＝ f（x）－f（y）

f(x)f(y)1f(x)f(y)

f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

f(x)f(y)1f(x)f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1） 判断f（x）的奇偶性； （2） （3）

判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； 若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（ （3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求： （1）

f（0）；

（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求： （1） f（1）； （2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b， 进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]„.

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① ②

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)1f(x2)f(x1)x

x1x2·x2）＝f（

x1x2）f（x2）；

；

f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：

（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数； （3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）， （1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0； （2）

求证：f（x）为偶函数；

（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－

12）≤0.

分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0） （1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1； （2） （3）

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证： （1） （2） （3）

当x＞0时，0＜f（x）＜1； f（x）在x∈R上是减函数. 受指数函数单调性的启发：

f(x)f(y)令y＝ －1；

由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，

进而由x1＜x2，有练习题：

f(x1)f(x2)＝f（x1－x2）＞1.

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ） （A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ） （A）f（1）＝0 （B）f（

xy1x）＝ f（x）

（C）f（

）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ） （A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）

（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f（x1－x2）＝

f(x1)f(x2)1f(x1)f(x2)，则f（x）为（ ）

（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ） （A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案：

1弧度 O R R 1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S扇12l·R12·R）

2(和三角形的面积公式很相似，

可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)