2019年陕西省渭南市高考数学一模试卷(理科)

2019年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一符含目要求的

1．（5分）设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B的元素个数为（ ） A．0

2．（5分）复数z＝A．

B．1

，则|z|＝（ ） B．4

C．5

D．25

C．2

D．3

3．（5分）函数y＝的一段大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

），则与+的夹角为（ ）

D．

4．（5分）已知平面向量＝（1，0），＝（﹣，A．

B．

C．

5．（5分）双曲线A．

的离心率大于B．m≥1

的充分必要条件是（ ） C．m＞1

D．m＞2

6．（5分）已知等差数列{an}的首项和公差都不为0，a1、a2、a4成等比数列，则（ ）

第1页（共23页）

＝

A．2 B．3 C．5 D．7

7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且在[0，+∞）上f'（x）＞0恒成立，则f（x+1）≥0的解集为（ ） A．（﹣∞，﹣1]

B．（﹣∞，1]

C．[﹣1，+∞）

D．[1，+∞）

8．（5分）若sinθ＝2cosθ，则sin2θ﹣2cos2θ＝（ ） A．﹣

B．

C．

D．﹣

9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱CC1所成角的余弦值是（ ） A．

B．

C．

D．

10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的s值为（ ）

A．

B．

C．

D．0

11．（5分）函数f（x）＝的值域为R，则实数a的范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．[﹣1，1） C．[] D．（0，）

12．（5分）设x＝1是函数f（x）＝an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1（n∈N+）的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝2，bn＝log2an+1，若[x]表示不超过x的最大整数，则[+A．0

]＝（ ）

B．1

C．2018

D．2019

+……

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）曲线y＝2ex在点（0，2）处的切线方程为 ． 14．（5分）已知（4﹣

）n（n∈N*）展开式中所有项的系数的和为243，需该展开式中含

项的系数为 ．

第2页（共23页）

15．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是 ．

16．（5分）已知四面体P﹣ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为 ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必考题：共60分 17．（12分）在△ABC中，已知（Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若

，

，求△ABC的面积．

．

18．（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．

若0＜x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8＜x≤1，则认定该户为“低收入户”；若y≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．

（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）． 19．（12分）已知椭圆C：＝8x的焦点F．

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设点Q是椭圆C上一动点，试问直线x+y﹣4＝0上是否存在点P，使得四边形PFQB

第3页（共23页）

＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），且过抛物线y2

是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝

．

（1）若AA1＝AC，求证AC1⊥平面A1B1CD；

（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C1﹣A1D﹣C的余弦值为

，求λ的值．

21．（12分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1） （Ⅰ）若a＝e，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t 为参数），以原点

O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ． （Ⅰ）若a＝2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立． （Ⅰ）求m的取值范围；

（Ⅱ）当m取最大值时，正数a，b满足a+b＝m，求

的最小值． 倍，求a的值．

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2019年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一符含目要求的

1．（5分）设集合A＝{0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B的元素个数为（ ） A．0

B．1

C．2 D．3

【考点】1E：交集及其运算．

【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】根据题意直接得出A∩B＝{0，1}，即有2个元素．

【解答】解：因为B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝（﹣1，2），且A＝{0，1，2}， 所以，A∩B＝{0，1}，

因此，A与B的交集中含有2个元素， 故选：C．

【点评】本题主要考查了交集的运算和集合的表示，以及集合中元素个数的确定，属于基础题． 2．（5分）复数z＝A．

，则|z|＝（ ） B．4

C．5 D．25

【考点】A8：复数的模．

【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可． 【解答】解：z＝∴|z|＝故选：C．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（5分）函数y＝

的一段大致图象是（ ） ＝＝5，

＝﹣（﹣3+4i）＝3﹣4i，

第5页（共23页）

A． B．

C．

D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断． 【解答】解：f（﹣x）＝﹣∴y＝f（x）为奇函数， ∴图象关于原点对称， ∴当x＝π时，y＝﹣故选：A．

【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．

4．（5分）已知平面向量＝（1，0），＝（﹣，A．

B．

C．

＝﹣f（x），

＜0，

），则与+的夹角为（ ）

D．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．

【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得cosθ＝

的值，可得θ的值．

第6页（共23页）

【解答】解：∵向量＝（1，0），＝（﹣，＝（1，0）（，•

）＝，

），∴+＝（，），•（+）

设与+的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由cosθ＝故选：B．

＝＝，可得θ＝，

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

5．（5分）双曲线A．

的离心率大于B．m≥1

的充分必要条件是（ ） C．m＞1

D．m＞2

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5L：简易逻辑． 【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a＝1，b＝于

，c＝

．利用离心率e大

建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．

，说明m＞0， ，

⇔m＞1，

【解答】解：双曲线∴a＝1，b＝∵离心率e＞

，可得c＝等价于

∴双曲线故选：C．

的离心率大于的充分必要条件是m＞1．

【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．

6．（5分）已知等差数列{an}的首项和公差都不为0，a1、a2、a4成等比数列，则（ ） A．2

B．3

C．5

第7页（共23页）

＝

D．7

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．

【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得首项和公差的关系，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．

【解答】解：等差数列{an}的首项和公差d都不为0，a1、a2、a4成等比数列， 可得a22＝a1a4，

即有（a1+d）2＝a1（a1+3d）， 化为a1＝d， 则

＝

＝

＝5．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且在[0，+∞）上f'（x）＞0恒成立，则f（x+1）≥0的解集为（ ） A．（﹣∞，﹣1]

B．（﹣∞，1]

C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）

【考点】3P：抽象函数及其应用．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（x）为奇函数且f（0）＝0，结合函数的导数与单调性的关系可得函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，进而可得f（x）在R上为增函数，据此分析可得f（x+1）≥0⇒x+1≥0⇒x≥﹣1，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0， 则函数f（x）为奇函数，且f（0）+f（﹣0）＝0，则有f（0）＝0，

又由在[0，+∞）上f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数， 而函数f（x）为奇函数，则函数f（x）在R上为增函数， f（x+1）≥0⇒x+1≥0⇒x≥﹣1， 即不等式的解集为[﹣1，+∞）； 故选：C．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性． 8．（5分）若sinθ＝2cosθ，则sin2θ﹣2cos2θ＝（ ）

第8页（共23页）

A．﹣ B． C． D．﹣

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GS：二倍角的三角函数． 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2θ＝，利用二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解． 【解答】解：sinθ＝2cosθ，

∴由sin2θ+cos2θ＝1，可得：4cos2θ+cos2θ＝1，可得：cos2θ＝， ∴sin2θ﹣2cos2θ＝2sinθcosθ﹣2cos2θ＝4cos2θ﹣2cos2θ＝2cos2θ＝． 故选：B．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

9．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱CC1所成角的余弦值是（ ） A．

B．

C． D．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．

【分析】以A为原点，在平面ABC中过A 作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与侧棱CC1所成角的余弦值． 【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点， ∴以A为原点，在平面ABC中过A 作AC的垂线为x轴， AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， E（

，，0），F（0，1，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），

，，2），

＝（0，0，2），

＝（﹣

设EF与侧棱CC1所成角为θ， 则cosθ＝

＝

＝

．

∴EF与侧棱CC1所成角的余弦值是

．

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故选：D．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的s值为（ ）

A．

B．

C． D．0

【考点】EF：程序框图．

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出n，s的值，即可得出结论． 【解答】解：执行程序框图，有 第一次循环后：n＝9，s＝0+0＝0， 第二次循环后：n＝8，s＝第三次循环后：n＝7，s＝第四次循环后：n＝6，s＝第五次循环后：n＝5，s＝

； ； ； ；

第六次循环后：n＝4，s＝0； 第七次循环后：n＝3，s＝0； 第八次循环后：n＝2，s＝

；

第10页（共23页）

第九次循环后：n＝1，s＝故选：A．

；退出循环，输出s的值为．

【点评】本题主要考查程序框图和算法，属于基础题． 11．（5分）函数f（x）＝

的值域为R，则实数a的范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．[﹣1，1） C．[

] D．（0，）

【考点】34：函数的值域；5B：分段函数的应用．

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．

【分析】可以求出，x≥1时，lnx≥0，而f（x）的值域为R，从而得出集合（﹣∞，0）是函数f（x）＝（1﹣a）x+2a，x＜1的值域的子集，从而可得出的范围即可．

【解答】解：x≥1时，lnx≥0； ∵f（x）的值域为R；

∴（﹣∞，0）是函数f（x）＝（1﹣a）x+2a，x＜1的值域的子集； ∴

；

，解出a

解得﹣1≤a＜1；

∴实数a的范围为[﹣1，1）． 故选：B．

【点评】考查对数函数和一次函数的单调性，增函数的定义，函数值域的概念及求法． 12．（5分）设x＝1是函数f（x）＝an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1（n∈N+）的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝2，bn＝log2an+1，若[x]表示不超过x的最大整数，则[+A．0

]＝（ ）

B．1

+……

C．2018 D．2019

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．

【分析】利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可．，

【解答】解：f′（x）＝3an+1x2﹣2anx﹣an+2，x＝1是函数f（x）＝an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1

第11页（共23页）

（n∈N+）的极值点，

可得：3an+1﹣2an﹣an+2＝0，即an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝22，…an﹣an﹣1＝2n2，

﹣

累加可得an＝2n1，bn＝log2an+1＝n，

﹣

+……+

＝＝1﹣＝故[故选：A．

，

+……+

+

+

+…+

，

]＝0，

【点评】本题考查数列与函数相结合，函数的极值以及数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）曲线y＝2ex在点（0，2）处的切线方程为 2x﹣y+2＝0 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】52：导数的概念及应用；5B：直线与圆．

【分析】根据曲线方程求出切点，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x＝0处的值即为切线的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【解答】解：∵曲线y＝2ex， ∴y′＝2ex，

∴切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2， 当x＝0时，y＝2，切线过点（0，2），

∴曲线y＝2ex在x＝0处的切线方程是：y﹣2＝2（x﹣0） 即2x﹣y+2＝0， 故答案为：2x﹣y+2＝0．

【点评】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程，要求切线方程，首先求出切线的斜率，利用了导数与斜率的关系，此题是一道基础题．

第12页（共23页）

14．（5分）已知（4﹣

）n（n∈N*）展开式中所有项的系数的和为243，需该展开式中含

项的系数为 20 ． 【考点】DA：二项式定理．

【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．

【分析】先求得n＝5，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求得r的值，可得展开式中含

项的系数．

）n（n∈N*）展开式中所有项的系数的和为3n＝243，∴n＝5，

【解答】解：∵（4﹣

故（4﹣

）n＝（4﹣

）5的展开式的通项公式为Tr+1＝

项的系数为

（﹣1）r•45r••

﹣

，

令﹣＝﹣2，求得r＝4，可得展开式中含故答案为：20．

•4＝20，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

15．（5分）（理科）若x，y满足约束条件【考点】7C：简单线性规划．

，则z＝x﹣y的最小值是 ﹣3 ．

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．

【解答】解：设变量x、y满足约束条件

，在坐标系中画出可行域三角形，

将z＝x﹣y整理得到y＝x﹣z，要求z＝x﹣y的最小值即是求直线y＝x﹣z的纵截距的最大值，

当平移直线x﹣y＝0经过点A（0，3）时，x﹣y最小， 且最小值为：﹣3，

则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．

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【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．

16．（5分）已知四面体P﹣ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为 9π ． 【考点】LG：球的体积和表面积．

【专题】11：计算题；5Q：立体几何．

【分析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC可得四个直角三角形，可知PC的中点O为外接球球心，不难求解．

【解答】解：由PB⊥平面ABC，AB⊥AC， 可得图中四个直角三角形，

且PC为△PBC，△PAC的公共斜边， 故球心O为PC的中点， 由AC＝1，AB＝PB＝2， PC＝3，

∴球O的半径为， 其表面积为：9π． 故答案为：9π．

第14页（共23页）

【点评】此题考查了线面垂直，三棱锥的外接球面积，难度不大．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必考题：共60分 17．（12分）在△ABC中，已知（Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若

，

，求△ABC的面积．

．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理分析可得

⇒

的值，即可得答案；

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，整理变形可得c2﹣6c+5＝0，解可得c的值，结合正弦定理，计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为在△ABC中，由正弦定理得所以

．

，所以 ．

．

，变形可得

，解可得A

因为 0＜A＜π， 所以

．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以

整理得 c2﹣6c+5＝0，

第15页（共23页）

，

解得 c＝1，或c＝5，均适合题意． 当c＝1时，△ABC的面积为当c＝5时，△ABC的面积为

． ．

【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式． 18．（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．

若0＜x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8＜x≤1，则认定该户为“低收入户”；若y≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．

（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）． 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】（1）在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，由此能求出从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率．

（2）“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，ξ的可能值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． （3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．

【解答】解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，

第16页（共23页）

所以从甲村50户中随机选出一户，

该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为

（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户， 依题意，ξ的可能值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以ξ的分布列为：

ξ P 故ξ的数学期望

（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19．（12分）已知椭圆C：＝8x的焦点F．

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设点Q是椭圆C上一动点，试问直线x+y﹣4＝0上是否存在点P，使得四边形PFQB是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．

0 1 2 ．

3 ＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），且过抛物线y2

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）求出椭圆C的方程为

+y2＝1，然后求解椭圆的离心率即可．

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（Ⅱ）设P（t，4﹣t），Q（x0，y0），推出则到

+＝，解得x0＝2﹣t，y0＝t﹣3，代

+y2＝1，转化求解t，判断是否存在点P．

【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1，

抛物线y2＝8x的焦点F（2，0） ∴a＝2， ∴椭圆方程为∴c＝∴e＝＝

＝，

+y2＝1， ，

＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），可得b＝

（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）． 若PFQB是平行四边形，则

+

＝

，

∴（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）＝（x0﹣t，y0﹣4+t）， 整理得x0＝2﹣t，y0＝t﹣3． 将上式代入为

+y2＝1，

得（2﹣t）2+4（t﹣3）2＝4， 整理得5t2﹣28t+36＝0， 解得t＝此时，P（所以存在P（

，或t＝2．

，）或P（2，2）．经检验，符合四边形PFQB是平行四边形， ，）或P（2，2）满足题意．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．

20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝

．

（1）若AA1＝AC，求证AC1⊥平面A1B1CD；

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（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C1﹣A1D﹣C的余弦值为，求λ的值．

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（Ⅰ）若AA1＝AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD； （Ⅱ）建立坐标系，根据二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为

，能求出λ的值．

【解答】证明：（Ⅰ）若AA1＝AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C， ∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD， ∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C， ∵A1C∩CD＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD． 解：（Ⅱ）若CD＝2，∵∠ADC＝60°，∴AC＝2则AA1＝λAC＝2角坐标系如图：

则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，22则

λ）， ＝（2，﹣2

，﹣2

λ），

＝（2，0，0），

＝（0，2

，0），

，0），C1（0，0，2

λ），A1（0，2

，

，

λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直

设面CA1D的一个法向量为＝（1，0，0）． 则•

＝2x﹣2

y﹣2

λz＝0，•

＝2x＝0，

则x＝0，y＝﹣λz，令z＝1，则y＝﹣λ，则＝（0，﹣λ，1） 设面A1DC1的一个法向量为＝（x，y，z）， 则•

＝2x﹣2

y﹣2

λz＝0，•

＝2

y＝0，

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令z＝1，则x＝λ，∴＝（λ，0，1），

，

＝

，

∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为∴cos＜

＞＝

＝

即（1+λ2）（1+3λ2）＝8， 解得λ＝1．

【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及实数值的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1） （Ⅰ）若a＝e，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）＝1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）a＝e时，f（x）＝ex+x2﹣x， f′（x）＝ex+2x﹣1，f″（x）＝ex+2， 故f′（x）在R递增，而f′（0）＝0，

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故x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；

（Ⅱ）∵存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

∴当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|＝（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1． ∵f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增， ∴当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＝f（0）＝1， （f（x））max＝max{f（﹣1），f（1）}，

而f（1）﹣f（﹣1）＝（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）， 记g（t）＝t﹣﹣2lnt（t＞0 ）， ∵g′（t）＝1+

﹣＝（﹣1）2≥0，（当t＝1时取等号），

∴g（t）＝t﹣﹣2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）＝0， ∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0．

也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）； ①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e， ②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1， 可得+lna≥e﹣1，≥a＞0

综上知，所求a的取值范围为 （0，]∪[e，+∞）．

【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于综合题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t 为参数），以原点

O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ． （Ⅰ）若a＝2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的

倍，求a的值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【专题】5S：坐标系和参数方程．

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【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．

（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程

【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，ρ＝asinθ转化为ρ＝2sinθ 整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1

求出a的值．

直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8＝0

（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的

倍，

所以：

2|3a﹣16|＝5|a|，

利用平方法解得：a＝32或

．

【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用． [选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立． （Ⅰ）求m的取值范围；

（Ⅱ）当m取最大值时，正数a，b满足a+b＝m，求【考点】R5：绝对值不等式的解法．

的最小值．

【专题】11：计算题；5T：不等式．

【分析】（1）由绝对值不等式的性质：|2x﹣1|+|2x+5|≥|2x﹣1﹣（2x+5）|＝6，即f（x）

min＝6，又

f（x）min≥m，即m≤6，

＝（

）×（a+b）＝

）

（2）将（1）代入，再构造均值不等式求解≥（5+2

）＝，即可得解．

【解答】解：（1）由绝对值不等式的性质：|2x﹣1|+|2x+5|≥|2x﹣1﹣（2x+5）|＝6，即f（x）min＝6，

第22页（共23页）

f（x）≥m恒成立，即f（x）min≥m， 即m≤6，

故答案为：（﹣∞，6]， （2）由（1）得：m＝6， 即正数a，b满足a+b＝6， 则＝（

）×（a+b）＝

）≥（5+2

）＝，

即

的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、均值不等式，属简单题．

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