2018年上海春考数学试卷

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1．不等式|x|1的解集为__________． 2．计算：lim3n1__________．

nn23．设集合A{x|0x2}，B{x|1x1}，则AIB__________． 4．若复数z1i（i是虚数单位），则z2__________． z5．已知{an}是等差数列，若a2a810，则a3a5a7__________．

6．已知平面上动点P到两个定点(1,0)和(1,0)的距离之和等于4，则动点P的轨迹为

__________．

7．如图，在长方形ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15， O是AC11的

第7题图 第12题图

8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生

甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．

99中点，则三棱锥AAOB11的体积为__________．

2a9．设aR，若x2与x2的二项展开式中的常数项相等，则a__________．

xx2210．设mR，若z是关于x的方程xmxm10的一个虚根，则|z|的取值范围

是__________．

11．设a0，函数f(x)x2(1x)sin(ax)，x(0,1)，若函数y2x1与yf(x)

的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．

12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点

若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲P、Q分别在线段AD、CB上，

区”中．已知点P以1．5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的

从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的

速度

时长约 为__________秒（精确到0．1）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．下列函数中，为偶函数的是（ ）

（A）yx（C）yx212

（B）yx （D）yx

31314．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1

异面的直线条数为（ ） （A）1 （C）3

（B）2 （D）4

15．记Sn为数列{an}的前n项和．“{an}是递增数列”是“Sn为递增数列”的（ ）

（A）充分非必要条件 （C）充要条件

（B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件

uuur16．已知A、B为平面上的两个定点，且|AB|2．该平面上的动线段PQ的端点P、Q，

uuuruuuruuuruuuruuur 满足|AP|5，APAB6，AQ2AP，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ）

（A）36

（B）60

（C）81

（D）108

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知ycosx．

（1）若f()1，且[0,]，求f()的值；

33（2）求函数yf(2x)2f(x)的最小值．

18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

x22已知aR，双曲线:2y1．

a（1）若点(2,1)在上，求的焦点坐标；

（2）若a1，直线ykx1与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，

求实数k的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用

两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，

OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求

圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．

图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设a0，函数f(x)1． x1a2

（1）若a1，求f(x)的反函数f1(x)；

（2）求函数yf(x)f(x)的最大值（用a表示）；

（3）设g(x)f(x)f(x1)．若对任意x(,0]，g(x)g(0)恒成立，求a的

取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意nN*，存在mN*，使得

amcn0，

amcn1则称{an}是{cn}的“分隔数列”．

（1）设cn2n，ann1，证明：数列{an}是{cn}的“分隔数列”；

（2）设cnn4，Sn是{cn}的前n项和，dnc3n1，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；

（3）设cnaqn1，Tn是{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a、

q的取值范围．

参考答案

一、填空题

1．(,1)U(1,)

2．3

3．(0,1)

4．2

5．15

x2y21 6．4311．(

7．5

8．180 9．4

10．(3,) 31119,] 66提示：2x1x2(1x)sin(ax)x12(1x)sin(ax)sin(ax)1 2ax711711711,,2,2,4,4,L 666666Q0axa

117a2 6640 312．4.4

提示：以A为原点建立坐标系，设时刻为t，则P(0,1.5t),Q(20,20t),0t则lPQ:x0y1.5t，化简得(8t)x8y12t0 20020t1.5t点O(10,10)到直线PQ的距离|(8t)108012t|(8t)2831，化简得3t216t1280

即

87887887887tt4.4 ，则0t3333二、选择题

13．A 16．B

提示：建系A(0,0),B(2,0)，则P(x,y)的轨迹为线段x3,4y4，AP扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知AQ扫过的面积为48，因此和为60

14．C

15．D

三、解答题

17．（1）

1223；（2） 6218．（1）(3,0)；（2）51． 21；（2）9.59． 41x120．（1）f1(x)log2（2）ymax（x0时取最值）； (0x1)；

19．（1）x12aa2（3）(0,2] 提示：g(x)11a1a2x1a2x1a22x22x3a

a,(t2x(0,1])a2t2t3a 因为-a<0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，

2此时

a2ttt2a210a2 21．（1）证明：存在m2n,此时nN*,cn2nam2n1cn12n2（2）不是．反例：n4时，m无解； （3）a0q2．

提示：因为{aqn1}为递增数列，因此a0a0q1或者0q1

①当a0时，0q1nN*,cn0，因此LT3T2T1c1c2c3L

因此不存在c2Tmc3，不合题意。

②当a0时，q1cn1qm1nTmcn1qq1qn qn1(q1)1qmqn(q1)1qn1[(q1)1qn1]qmqn[(q1)1qn] 两边同时取对数得：n1logq[(q1)1qn1]mnlogq[(q1)1qn] 证毕

记f(x)logq[(q1)1],x0 xq则n1f(n1)mnf(n) 下面分析函数f(n1),f(n)的取值范围：

显然q1时，f(x)logq[(q1)1],x0为减函数， xq因此f()f(x)f(0)，即logq(q1)f(x)1

(Ⅰ)当q2时，logq(q1)0，因此总有0f(n)f(n1)1 此时n1f(n1)n11

nf(n)n+0因此总存在mn符合条件，使得n1f(n1)nmnf(n)成立

(Ⅱ)当1q2时， logq(q1)0， 根据零点存在定理，并结合f(x)的单减性可知： 存在唯一正整数k使得f(k)0f(k1)

此时k1f(k1)k1

kf(k)k即k1k1f(k1)mkf(k)k 显然不存在满足条件的正整数m 综上：a0,q2