高中数学完整讲义——指数与指数函数2.指数函数

高中数学讲义

板块二.指数函数

典例分析

【例1】 求下列函数的定义域

题型一 指数函数的定义与表示

1(3)y

25x1

(1)y2

3x (2)y32x1

(4)y0.7x

【例2】 求下列函数的定义域、值域

⑴y21x1 ； ⑵y3x； ⑶y0.512xx

2

【例3】 求下列函数的定义域和值域：

1x1 1．y1a 2．y()3

2x

【例4】 求下列函数的定义域、值域

1x1(1)y0.4

； (2)y35x1. (3)y2x1

思维的发掘 能力的飞跃

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【例5】 求下列函数的定义域

(1)y3;

【例6】 已知指数函数f(x)ax(a0,且a1)的图象经过点(3,π)，求f(0)，f(1)，f(3)的值．

1x (2)y5x1.

【例7】 若a1，b0，且abab22，则abab的值为（ ）

A．6 B．2或2 C．2 D．2

题型二 指数函数的图象与性质

【例8】 已知abc1，比较下列各组数的大小：

1①ab___ac；② ab1aabc；③a___a；④b__c． ac11

【例9】 比较下列各题中两个值的大小：

⑴ 1.72.5，1.73； ⑵ 0.80.1，0.80.2； ⑶ 1.70.3，0.93.1．

【例10】 比较下列各题中两个值的大小

(1)30.8，30.7

(2)0.750.1，0.750.1 (4)0.993.3，0.994.5

1.013.5 (3)1.012.7，

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【例11】 已知下列不等式，比较m、n的大小

mn

(1) 22 (2)0.2m0.2n

(3)aman0a1

【例12】 图中的曲线是指数函数yax的图象，已知a取3,c1,c2,c3,c4的a依次为_______________．

(4)amana1

413,,四个值，则相应于曲线3105yc3c4P2P1P4P3O1c2c1x

【例13】 已知a51，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系2为 ．

【例14】 设a424，b312，c6，则a，b，c的大小关系是

【例15】 若对x[1,2]，不等式2xm2恒成立，求实数m的取值范围．

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1【例16】 判断函数y()1x的单调性．

3

【例17】 函数f(x)e|x|（ ）

A．是奇函数，在(,0]上是减函数 B．是偶函数，在(,0]上是减函数

C．是奇函数，在[0,)上是增函数 D．是偶函数，在(,)上是增函数

【例18】 已知函数f(x)为偶函数，当x0，时，fx2x1,求当x，0时，fx的解析

式.

【例19】 证明函数yax和yax (a0且a1)的图象关于y轴对称。

题型三 关于指数的复合函数

1.二次函数复合型

1【例20】 求函数y2

x22x单调区间，并证明

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x22x高中数学讲义

的单调增区间为 ，值域为 ．

1【例21】 函数f(x)3

【例22】 函数f(x)34x2x，求f(x)在x[0,)上的最小值．

【例23】 求函数f(x)4xa2x13 (xR)的值域．

【例24】 已知y4x32x3，当其值域为[1,7]时，x的取值范围是

【例25】 求下列函数的单调区间．

⑴yax23x2（a0，且a≠1）；

11⑵已知9x103x9≤0，求函数y()x14()x15最值．

42

【例26】 函数ya2x

【例27】 设f(x)12xa4x(aR)，当x(,1]时，f(x)的图象在x轴上方，求a的取值范围．

28x1(0a1)的单调增区间是 ．

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【例28】 如果函数ya2x2ax1(a0,a1)在区间[1,1]上的最大值是14，求a的值．

11【例29】 求函数f(x)1(x[3,2])的单调区间及其值域．

42xx

【例30】 已知1≤x≤2，求函数f(x)323x19x的最大值和最小值．

【例31】 求函数fx4x442a2x2x的最小值，并指出使fx取得最小值时x的值

2.分式函数复合型

ax1【例32】 当a＞1时，证明函数f(x)x是奇函数．

a1

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【例33】 求证下列命题：

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axax(1)fx（a＞0，a≠1)是奇函数；

2(ax1)x(2)fxx（a＞0，a≠1）是偶函数.

a1

2x1【例34】 已知函数fxx，

21(1)判断函数fx的奇偶性；

(2)求证函数fx在，上是增函数.

2x1【例35】 讨论函数f(x)x的奇偶性、单调性，并求它的值域．

21

10x10x【例36】 已知f(x)x，判断函数的单调性、奇偶性，并求f(x)的值域．

1010x

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【例37】 正实数x1，x2及函数fx满足4x

【例38】 设aR，f(x)a

【例39】 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部

1fx1fx，且fx1fx21，求fx1x2的最小值

2(xR)，若f(x)为奇函数，求a的值． x21分，即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2]2，[3.1]3，[2.6]3．设函数2x1，则函数y[f(x)][f(x)]的值域为 f(x)x122

题型四 其他综合题目

【例40】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆

有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．

【例41】 求函数y2

x22x3的单调区间．

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【例42】 已知函数y|2x2|，

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⑴ 作出函数的图象；

⑵ 根据图象指出函数的单调区间；

⑶ 根据图象指出当x取什么值时，函数有最值．

【例43】 方程2x2x的解的个数为 ．

【例44】 已知函数fx2x1， 2|x|⑴若f(x)2，求x的值；

⑵若2tf2tmft≥0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围．

【例45】 函数ylg34xx2的定义域为M，当x∈M时，求fx2x234x的最值.

【例46】 设a是实数，fxa2 (x∈R) 2x1(1)试证明对于任意a，fx为增函数； (2)试确定a值，使f(x)为奇函数.

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【例47】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的

复合后得到的，比如下列函数：fx2x，gxx，gx复合后可hxx2，则fx，xx得到函数ggxffxg22和fx2x，像这样，一个函数的函数值作为另一个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由fx，gx进行乘法运算得到函数fxgxx2x．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．

⑴复合函数fhgx的解析式为 ；其定义域为 ． ⑵可判断fxgxx2x是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；

⑶已知函数fxx2x，若fx1fx21则x的取值范围为 ． ，

⑷请用函数fx2x，gxx，hxx2，kxlnx中的两个进行复合，得到三个函数，

使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．

【例48】 已知函数f(x)a(axax)，其中a0，a1． a12⑴判断函数f(x)的奇偶性； ⑵判断函数f(x)的单调性，并证明．

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【例49】 已知f(x)

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axx(aa)(a0,a1)是R上的增函数，求a的取值范围． a22【例50】 已知函数fxbax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24).

(1)求fx；

11(2)若不等式m在x，1时恒成立，求实数m的取值范围.

23xx

11． 【例51】 已知f(x)xx212⑴求证：f(x)0；

⑵若F(x)f(xt)f(xt)（t为常数），判断F(x)的奇偶性．

b，b，c表示a，【例52】 用mina，设f(x)min2x，c三个数中的最小值，x2，10x (x≥0)，

则f(x)的最大值为（ ）

A．4

B．5 C．6 D．7

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【例53】 已知函数fxax满足条件：当x,0时，fx1；当x0,1时，不等式，

f3mx1f1mxx2fm2恒成立，求实数m的取值范围．

【例54】 如果函数f(x)ax(ax3a21)(a0,且a1)仔区间0,上是增函数，那么实数a的

取值范围是（ ）

A．0,

32 B． C．1,,1332,3 D． 3【例55】 若关于x的方程25

x145x1m0有实根，求m的取值范围．

【例56】 已知2x3y5z7，2x13y5z111，求2x13y5z1的取值范围。

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axa1。 【例57】 已知fxx其中a0，aa（1）求证：函数fx的图像关于点，中心对称

221239（2）求ffff

10101010

11【例58】 已知函数fx2x，gx(1)求函数gx的值域；

12x2

(2)求满足方程fxgx0的x的值.

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