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12.四年级奥数 数学开放题

时间:2023-02-07 来源:飒榕旅游知识分享网


第十二讲 数学开放题

教学目标

1、 学会分析题意并且熟练的利用分析法和推理法分析复杂问题。

2、 寻找问题的已知条件和未知条件,并且分析详细解题思路来解决问题。

教学重难点

1、以问题为指向,对现有条件进行筛选、补充和组合,促进问题的顺利解决;

2、根据知识间的不同联系途径对给定条件进行不同组合,采用不同方法求解;

3、避免“答案唯一”的僵化思维模式,联系实际考虑可能出现的多种情况,得出不同的答案。

新课导入

数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变,数学问题也必然复杂多变,往往不可能得到唯一答案。

一般而言,数学开放题具有以下三个特征:

1、条件不足或多余;

2、没有确定的结论或结论不唯一;

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3、解题的策略、思路多种多样。

新知传授

例题1 A、B都是自然数,且A+B=10,那么A×B的积可能是多少?其中最大的值是多少?

解:由条件“A、B都是自然数,且A+B=10”,可知A的取值范围是0 ~ 10,B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来:

0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25

A×B的积可能是0、9、16、21、24、25。

当A=B=5时,A×B的积的最大值是25。

从以上过程发现,当两个数的和一定时,两个数的差越小,积越大。

练习1 甲、乙两数都是自然数,且甲+乙=32,那么,甲×乙的积的最大值是多少?

例题2 把1 ~ 5五个数分别填 图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。

解:每条直线上三个圆圈内各数的和是9,两条直线上数的和等于9×2=18(其中中间圈内的数重复加了一次)。而1、2、3、4、5的和为15,18-15=3。所以,中间圈内应填3。这样,两

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条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。

这个解我们也叫做基本解,由这个基本解很容易得出其余的七个解。

练习2 把1 ~ 5五个数分别填入图中的五个圆圈内,使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。

例题3 把1 ~ 6六个数分别填入图中六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于9。

解:每边上三个数的和都等于9,三条边上数的和等于9×3=27,

27-(1+2+3+4+5+6)=6。所以,三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~ 6,只有1+2+3=6,故三个顶点只能填1、2、3。

这样就得到一组解:1、5、3;1、6、2;3、4、2。

练习3 把1 ~ 6六个数填入图中的六个圆圈中,使每条边上三个数的和都等于12。

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本课小结

解答数学开放题,需要我们从不同角度分析和思考问题,紧密联系实际,具体问题具体分析。我们一般可以从以下几方面考虑:

1、以问题为指向,对现有条件进行筛选、补充和组合,促进问题的顺利解决;

2、根据知识间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合,采用不同的方法求解;

3、避免“答案唯一”的僵化思维模式,联系实际考虑可能出现的多种情况,得出不

同的答案。

课堂复习

1、在一次羽毛球比赛中,8名运动员进行淘汰赛,最后决出冠军。共打了多少场比赛?(两名运动员之间比赛一次称为一场)

解:8名运动员进行淘汰赛,第一轮赛4场后,剩下4名运动员;第二轮赛2场后,剩下2名运动员;第三轮只需再赛1场,就能决出冠军。所以,共打了4+2+1=7场球。

还可以这样想:8名运动员进行淘汰赛,每淘汰1名运动员,需要进行1场比赛,整个比赛共需要淘汰8-1=7名运动员,所以共打了7场比赛。

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2、一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度前进,就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分?

解:解答这道题,可以以不同的时间为标准,选择的标准不同,解答方法也有所不同。例如,如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析:由“每分钟行50米,要迟到8分钟”,可知学校上课时,这个学生还离学校50×8=400米;由“每分钟行60米,可以提前5分钟到校”,可知距学校上课时,他还可走60×5=300米。两种不同的速度,在相同的时间内路程相差400+300=700米,而两种速度每分钟相差60-50=10米。因此,这个学生出发时离上课时间为:700÷10=70分钟。

解法一:(50×8+60×5)÷(60-50)=70分;

解法二:60×(5+8)÷(60-50)-8=70分;

解法三:50×(8+5)÷(60-50)+5=70分。

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