一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）. 1．“直线l不在平面α内”用数学符号表示为（ ） A．l∉α
B．l⊄α
C．l∈α
D．l⊂α
2．已知角θ的终边经过点P（3，﹣1），则cosθ＝（ ） A．
B．
C．
D．
3．已知球的体积为A．2
，则它的半径为（ ） B．
，B＝
C．4
，则AC＝（ ） C．
D．
D．
4．在△ABC中，已知BC＝6，A＝A．
B．
5．下列命题正确的是（ ） A．正方形的直观图是正方形
B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线
6．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为（ ） A．
B．8
C．
D．4
，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为
7．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，则侧面PBC与底面ABC所成的二面角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，m⊥α，n⊥β，则“m∥n”是“α∥β”的（ ） A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1
的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，A1C1与B1D1相交于点N，P是底面ABCD内（含边界）的动点，总有A1P⊥MN，则动点P的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的体对角线长为 ． 12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与A1B所成角的大小为 ．
13．fx）函数（＝sin（ωx﹣上的最小值为 ．
fx））（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝ ，（在
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点P为线段CD上一个动点
（含端点），则的最大值为 ．
15．已知三个不同的平面α，β，γ和一条直线m，给出五个论断： ①m⊥α；②m∥β；③α⊥β；④α⊥γ；⑤β∥γ．
以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题 .（可以用序号表示）
16．如图1，在Rt△ABC中，B＝90°，BC＝3，AB＝6，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起，使A到A1，得到四棱锥A1﹣DECB，如图2．在翻折过程中， 有下列结论：
①DE⊥平面A1DB恒成立；
②若M是A1B的中点，N是DB的中点，总有MN∥平面A1DE； ③异面直线A1C与DE所成的角为定值； ④三棱锥B﹣A1DE体积的最大值为． 其中正确结论的序号为 ．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，M为AB的中点． （Ⅰ）求证：CM⊥平面ABB1A1； （Ⅱ）求证：AC1∥平面CMB1．
18．已知△ABC中，知，求： （Ⅰ）b的值； （Ⅱ）△ABC的面积． 条件①：b＝2c； 条件②：b+c＝6．
，a＝3．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已
19．在△ABC中，asinB＝bcosA． （Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）求
的最大值．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，平面PDC⊥平面ABCD，且△PDC是正三角形，点O是CD的中点，点E，F分别在棱PD，PC上． （Ⅰ）求证：PO⊥AD；
（Ⅱ）若A，B，E，F共面，求证：EF∥AB；
（Ⅲ）在侧面PAD中能否作一条直线段使其与平面PBO平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．
21．若函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量＝（a，b），我们称为函数f（x）的“相伴向量”，f（x）为向量的“相伴函数”．
（Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2+sinx﹣1，求f（x）的“相伴向量”；
（Ⅱ）记向量＝伸长到原来的2倍（纵
的“相伴函数”为g（x），将g（x）图象上所有点的横坐标
坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移若
，
，求sinα的值；
个单位长度，得到函数h（x），
（Ⅲ）对于函数φ（x）＝sinxcos2x，是否存在“相伴向量”？若存在，求出φ（x）的“相伴向量”；若不 存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）. 1．“直线l不在平面α内”用数学符号表示为（ ） A．l∉α
B．l⊄α
C．l∈α
D．l⊂α
解：“直线l不在平面α内”用数学符号表示为：l⊄α． 故选：B．
2．已知角θ的终边经过点P（3，﹣1），则cosθ＝（ ） A．
B．
C．
D．
＝
，
解：角θ的终边上的点P（3，﹣1）到原点的距离为：r＝由任意角的三角函数的定义得 cosθ＝故选：D． 3．已知球的体积为A．2
，则它的半径为（ ） B．
C．4
D．
＝
＝
．
解：设球的半径为R， 由球的体积公式可得：即R＝2． 故选：A．
4．在△ABC中，已知BC＝6，A＝A．
B．
， ，B＝
，则AC＝（ ） C．
D．
，
解：由正弦定理，得
所以．
故选：C．
5．下列命题正确的是（ ） A．正方形的直观图是正方形
B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线
解：根据斜二测画法可知，正方形的直观图不可能是正方形，即选项A错误； 只有当平面与棱锥的底面平行时，才能截出棱台，即选项B错误；
如果一个多面体的一个面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，才是三棱锥，与选项的区别重点是“公共顶点”，即选项C错误； 圆锥有无数条母线，即选项D正确． 故选：D．
6．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为（ ） A．
B．8
， ＝2，
C．
D．4
，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为
解：正四棱锥底面边长为2，高为则侧面的斜高为h＝
所以正四棱锥的侧面积为S＝4××2×2＝8． 故选：B．
7．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，则侧面PBC与底面ABC所成的二面角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
则PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB， 所以PB⊥BC，
则∠PBA即为侧面PBC与底面ABC所成的二面角的平面角，
在Rt△PAB中，PA＝AB＝1，所以∠PBA＝45°， 则侧面PBC与底面ABC所成的二面角的大小是45°． 故选：B．
8．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，m⊥α，n⊥β，则“m∥n”是“α∥β”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
解：m⊥α，若m∥n，则n⊥α， 又n⊥β，∴α∥β；
反之，m⊥α，若α∥β，则m⊥β， 又n⊥β，∴m∥n．
可得m⊥α，n⊥β，则“m∥n”是“α∥β”的充分必要条件． 故选：C．
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1
的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（ ）
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．3 B． C． D．
解：在ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点， ∵过BF的平面α与直线C1E平行，又AF∥C1E， ∴平面α是平面ABF，
取DD1中点G，连结GF，AG，∴平面α截该正方体所得截面为矩形ABFG， ∵AB＝3，BF＝
＝
，
．
∴平面α截该正方体所得截面的面积为S矩形ABFG＝3故选：D．
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，A1C1与B1D1相交于点N，P是底面ABCD内（含边界）的动点，总有A1P⊥MN，则动点P的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
解：如图∵MN∥AC1，AC1⊥面A1DB，∴MN⊥面A1DB， 即可得MN垂直面A1BD内任意直线，
当P在底面ABCD内（含边界）时，总有A1P⊥MN，则P的运动轨迹就是线段BD， 则动点P的轨迹的长度为2故选：C．
．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的体对角线长为 解：∵长方体的长、宽、高分别为3，2，1， ∴根据长方体的对角线公式，可得体对角线长为故答案为：
．
．
．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与A1B所成角的大小为 ．
解：如图，连接A1C1，BC1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AB＝D1C1，AB∥D1C1， 所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1， 所以直线AD1与A1B所成的角为∠A1BC1或其补角， 因为△A1BC1为等边三角形， 所以∠A1BC1＝
，
．
所以直线AD1与A1B所成角的大小为故答案为：
．
13．fx）函数（＝sin（ωx﹣上的最小值为 ﹣
fx））（ω＞0）的最小正周期是π，则ω＝ 2 ，（在 ．
）（ω＞0）的最小正周期是π，
解：∵函数f（x）＝sin（ωx﹣∴T＝
＝π，
解得：ω＝2， 故f（x）＝sin（2x﹣当x∈
时，﹣
）． ≤2x﹣
≤
，
所以当2x﹣＝﹣时，f（x）的最小值为﹣．
．
故答案为：2，﹣
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点P为线段CD上一个动点（含端点），则
的最大值为 12 ．
解：如图：
过点D、C分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，得矩形DEFC，
∴EF＝DC＝2，又∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴得AE＝BF＝1，在Rt△DEA中，cos∠DAE＝∴＝4+4|
＝（|，
取最大值为4+4×2＝12，
+
）•
＝
•，∴+
• •
＝|
|×4×
＝4，
当点P与C重合时故答案为：12．
15．已知三个不同的平面α，β，γ和一条直线m，给出五个论断： ①m⊥α；②m∥β；③α⊥β；④α⊥γ；⑤β∥γ．
以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题 ①②⇒③，或③⑤⇒④，或④⑤⇒③ .（可以用序号表示） 解：由m⊥α，m∥β，可得α⊥β，即①②⇒③； 由α⊥β，β∥γ，可得α⊥γ，即③⑤⇒④； 由α⊥γ，β∥γ，可得α⊥β，即④⑤⇒③． 故答案为：①②⇒③，或③⑤⇒④，或④⑤⇒③．
16．如图1，在Rt△ABC中，B＝90°，BC＝3，AB＝6，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起，使A到A1，得到四棱锥A1﹣DECB，如图2．在
翻折过程中， 有下列结论：
①DE⊥平面A1DB恒成立；
②若M是A1B的中点，N是DB的中点，总有MN∥平面A1DE； ③异面直线A1C与DE所成的角为定值； ④三棱锥B﹣A1DE体积的最大值为． 其中正确结论的序号为 ①②④ ．
解：对于①：因为∠B＝90°，DE∥BC， 所以DE⊥A1D，DE⊥BD， 又AD∩BD＝D，
所以DE⊥平面A1DB，故①正确；
对于②：若M是A1B的中点，N是DB的中点， 所以MN∥A1D，
又MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE， 所以MN∥平面A1DE，故②正确；
对于③：由①知DE∥BC，DE⊥平面A1DB， 所以BC⊥平面A1DB， 因为A1B⊂平面A1DB， 所以BC⊥A1B，
所以异面直线A1C与DE所成的角为∠A1CB， 所以在Rt△A1DB中，tan∠A1CB＝
＝
，
在翻折过程中，A1B长度在变化，tan∠A1CB在变化，故③错误；
对于④：根据题意可得△ADE∽△ABC， 所以
＝
，
所以AD＝4， V
＝V
＝•S△BDE•h，
所以S△BDE＝•BD•DE＝•2•2＝2， 点S到平面BDE的距离为h， 当A1D⊥平面BDE时，hmax＝A1D＝4， 所以S△BDE最大＝•2•4＝，故④正确． 故答案为：①②④．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，M为AB的中点． （Ⅰ）求证：CM⊥平面ABB1A1； （Ⅱ）求证：AC1∥平面CMB1．
【解答】（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC， ∵CM⊂平面ABC，∴AA1⊥CM，
∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，
又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1， ∴CM⊥平面ABB1A1．
（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OM，则O为BC1的中点， ∵M为AB的中点，∴OM∥AC1， ∵OM⊂平面CMB1，AC1⊄平面CMB1， ∴AC1∥平面CMB1． 18．已知△ABC中，知，求： （Ⅰ）b的值； （Ⅱ）△ABC的面积． 条件①：b＝2c； 条件②：b+c＝6． 解：若选条件①：b＝2c， （Ⅰ）因为
，a＝3，
＝9+b2﹣2×3×b×，可得b2﹣7b+12
，a＝3．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：＝0，
解得b＝4，或3； （Ⅱ）因为sinC＝
＝
， ，或
所以△ABC的面积S＝absinC＝若选条件②：b+c＝6，即c＝6﹣b， （Ⅰ）因为
，a＝3，
．
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：（6﹣b）2＝9+b2﹣2×3×b×，可解得b＝4．
（Ⅱ）因为sinC＝
＝
， ．
所以△ABC的面积S＝absinC＝19．在△ABC中，asinB＝bcosA． （Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）求
的最大值．
解：（Ⅰ）∵asinB＝bcosA，
∴由正弦定理可得sinAsinB＝sinBcosA， ∵sinB≠0，
∴sinA＝cosA，即tanA＝1， ∵A∈（0，π）， ∴A＝
．
cosC＝cosB+时等号成立， cosC的最大值为1．
cos（
﹣B）＝cosB+
（﹣
cosB+
sinB）＝sinB
（Ⅱ）cosB+≤1，当B＝可得cosB+
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，平面PDC⊥平面ABCD，且△PDC是正三角形，点O是CD的中点，点E，F分别在棱PD，PC上． （Ⅰ）求证：PO⊥AD；
（Ⅱ）若A，B，E，F共面，求证：EF∥AB；
（Ⅲ）在侧面PAD中能否作一条直线段使其与平面PBO平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．
解：（I）证明：∵△PDC是正三角形，点O是CD的中点， ∴PO⊥CD，
又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD， ∴PO⊥平面ABCD， AD⊂平面ABCD， ∴PO⊥AD．
（II）证明：又∵底面ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
又CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC， ∴AB∥平面PDC，
平面ABEF∩平面PDC＝EF，AB⊂平面ABEF， ∴EF∥AB．
（Ⅲ）取PA的中点M，取PB的中点N，连接DM，ON，MN， MN是△PAB的中位线， ∴MN∥AB，MN＝AB，
点O是DC的中点，且DO∥AB，DO＝AB， 则MN∥DO，MN＝DO， ∴四边形MNOD是平行四边形， DM∥ON，
ON⊂平面PBO，DM⊄平面PBO， DM∥平面PBO，
DM⊂平面PAD，在平面PAD中能作出直线段DM．
21．若函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量＝（a，b），我们称为函数f（x）的“相伴向量”，f（x）为向量的“相伴函数”．
（Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2+sinx﹣1，求f（x）的“相伴向量”； （Ⅱ）记向量＝伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移若
，
，求sinα的值；
个单位长度，得到函数h（x），
的“相伴函数”为g（x），将g（x）图象上所有点的横坐标
（Ⅲ）对于函数φ（x）＝sinxcos2x，是否存在“相伴向量”？若存在，求出φ（x）的“相伴向量”；若不 存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos2+sinx﹣1＝1+cosx+sinx﹣1＝sinx+cosx， 由题意可知，f（x）的“相伴向量”为＝（1，1）； （Ⅱ）由题意，g（x）＝
，
将g（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
，
再所得的图象上的所有点向左平移故h（x）＝因为又故
所以sinα＝
；
（Ⅲ）若函数φ（x）＝sinxcos2x存在“相伴向量”，
则存在a，b使得sinxcos2x＝asinx+bcosx对任意的x∈R恒成立， 令x＝0，则b＝0，
因此sinxcos2x＝asinx，即sinx＝0或cos2x＝a， 上式显然对于任意的x∈R不恒成立，
，则，则
＝， ＝
＝
，
，
个单位长度，得到函数h（x），
＝
，
所以函数φ（x）＝sinxcos2x不存在“相伴向量”．
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