第七讲：分析时代：18世纪的数学
18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期。 1、微积分的发展
1.1 泰勒（英，1685－1731年）
1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了泰勒公式。
1.2 麦克劳林（英，1698－1746年）
英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的《流数论》，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。
1.3 斯特林（英，1692－1770年）
英国皇家学会会员，1730年在《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式——辛普森公式、斯特林公式。
1.4 棣莫弗（法，1667－1754年）
英国皇家学会会员，1730年《分析杂论》中首先给出了斯特林公式，建立欧拉－棣莫弗定理，1718年出版的《机会的学说》成为概率论的奠基人。
由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野。
1.5 雅格布•伯努利（瑞士，1654－1705年）
1687－1705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版《微分学方法，论反切线法》。
1.6 约翰•伯努利（瑞士，1667－1748年）
1705－1748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的《积分学教程》，成为当时数学界最有影响的人物之一。
1.7 丹尼尔•伯努利（瑞，1700－1782年）
在圣彼得堡工作8年（1725—1733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版《流体动力学》，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人。
1.8 欧拉（瑞士，1707－1783年）
18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿。
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13岁进入巴塞尔大学，工作于圣彼得堡科学院（1727－1741年，1766－1783年）和柏林科学院（1741－1766年）。1748年《无穷小分析引论》，1755年《微分学原理》，1768－1770年《积分学原理》（3卷）成为分析的百年传世经典之作。
背景：法国启蒙运动与“百科全书派”。 1.9 达朗贝尔（法，1717－1783年）
1741年进入巴黎科学院，1754年为终身院士，1772年被选为终身秘书。数学分析的重要开拓者之一，在《百科全书》中的撰写大量条目。
1.10 拉格朗日（法，1736－1813年）
分析学中仅次于欧位的最大开拓者。都灵时期：1754－1766年；柏林时期：1766－1787年，《分析力学》；巴黎时期：1787－1813年，《解析函数论》。
背景：法国大革命。
1.11 伯克莱（爱尔兰，1685－1753年）
1734年《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分学说的攻击揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。
2、数学新分支的形成
一系列新的数学分支在18世纪成长起来。在此介绍与微积分密切相关的常微分方程、偏微分方程、变分法三个分支的形成。
2.1 常微分方程
1690年雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年）提出悬链线问题。莱布尼茨、惠更斯（荷，1629－1695年）、约翰•伯努利给出问题的解。
常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的结果。
2.2 偏微分方程
达朗贝尔（法，1717－1783年）1747年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端。偏微分方程研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。
一阶偏微分方程的解法。 2.3 变分法
起源于1696年约翰•伯努利（瑞，1667－1748年）提出最速降线问题。牛
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顿、莱布尼茨、洛比达、约翰•伯努利、雅各布•伯努利等解决。
早期变分法三大问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题。1744年欧拉发表《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》标志着变分学的诞生。
3、18世纪的中国数学
背景：彼得大帝（1672－1725年）、路易十四（1638－1715年）、康熙帝（1654－1722年）。“康乾盛世”（1661－1795年）。
3.1 梅文鼎（清，1633－1721年）
清初“历算第一名家” 和“开山之祖”《梅氏历算丛书辑要》62卷，内容包含代数、几何、三角，在数学方面最突出的成就属“三角学”的研究。
3.2 梅彀成（1681－1763年）
1712年任蒙养斋汇编官。康熙“御定”、梅彀成等编纂《律历渊源》（100卷）（1721），其中《数理精蕴》（53卷）（1690－1721年）。
3.3 明安图（1692－1765年）
年青时被选入钦天监学习天文、历象和数学，1760年升任钦天监监正，与陈际新写成《割圆密率捷法》（1763，1774）。
“乾嘉学派”与《四库全书》（1773－1781年）。 4、19世纪的数学展望
18世纪末数学家们的主导意见：数学的资源已经枯竭。18世纪末的数学问题，导致数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。
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