石狮市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

石狮市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f（x）=cos2x﹣cos4x的最大值和最小正周期分别为（ ） A．，π

B．，

C．，π

D．，

exex2． 下列函数中，与函数fx的奇偶性、单调性相同的是（ ）

3A．ylnx1x2 B．yx2 C．ytanx D．yex 3． 已知AC⊥BC，AC=BC，D满足A．

B．

﹣

C．

﹣1

=t

+（1﹣t）

在

方向上的投影为（ ）

，若∠ACD=60°，则t的值为（ ）

D．

4． 已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量A．

B．﹣

C．

D．﹣

5． 若a＞b，则下列不等式正确的是（ ） A．

B．a3＞b3

C．a2＞b2

D．a＞|b|

2

6． 点集{y）||x|﹣1）+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线， （x，（这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A．

B．

C．

D．

7． sin570°的值是（ ） A．

B．﹣ C．

D．﹣

8． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C．0∈M 9． 有下列说法：

D．0M

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适． ②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．

其中正确命题的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

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精选高中模拟试卷



10．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

a

ax－1，x≤1

1A．－

43C．－

41B．－

25D．－

4

11．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（ ）

A．2m B．2m C．4 m D．6 m

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0

B．0或

C．

或

D．0或

二、填空题

13．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:

）．

14．已知两个单位向量a,b满足：ab1，向量2ab与的夹角为，则cos . 215．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是 ．

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精选高中模拟试卷

16．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an= ． 17．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ． 市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．

18．某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城

三、解答题

19．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=（Ⅰ）求；

22

（Ⅱ）若c=b+

a．

a2，求B．

20．已知函数f（x）=sin2x+（Ⅱ）当x∈[﹣

21．已知圆C：（x﹣1）+y=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点． （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

2

2

2

（1﹣2sinx）．

（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；

，

]时，求f（x）的值域．

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22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数fxalnxf1处的切线方程； （1）当a2时，求函数fx在点1，（2）讨论函数fx的单调性；

11． x11a（3）当0a时，求证：对任意x，+，都有122x

23．等差数列{an} 中，a1=1，前n项和Sn满足条件（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式和Sn；

24．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． （1）若0＜α＜

，且sinα=

，求f（α）的值；

xae．

，

n1

（Ⅱ）记bn=an2﹣，求数列{bn}的前n项和Tn．

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

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精选高中模拟试卷

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石狮市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

2422222

【解析】解：y=cosx﹣cosx=cosx（1﹣cosx）=cosx•sinx=sin2x=

，

故它的周期为故选：B．

2． 【答案】A 【解析】

=，最大值为=．

试题分析：fxfx所以函数为奇函数，且为增函数.B为偶函数，C定义域与fx不相同，D为非奇非偶函数，故选A.

考点：函数的单调性与奇偶性． 3． 【答案】A

【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由

根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°； ∴即解得故选：A． 【点评】考查当满足

平面向量基本定理，余弦函数的定义．

4． 【答案】D

．

；

；

得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；

A，B三点共线，时，便说明D，以及向量加法的平行四边形法则，

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【解析】解：∵∴

在

方向上的投影为

=

；

=

．

故选D．

【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．

5． 【答案】B

【解析】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得： =﹣1， =﹣，显然A不正确． a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确． a2 =1，b2=4，显然C不正确． a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确． 故选 B．

【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．

6． 【答案】A 由图可得面积S=故选：A．

=

+

=

+2

．

22

【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）+y=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．

【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．

7． 【答案】B

【解析】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣． 故选B

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

8． 【答案】C

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【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．

对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C

【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用

9． 【答案】C

【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．

②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．

综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C．

【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．

10．【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解． 111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

4

11．【答案】A

2

【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x=﹣2py（p＞0）， 将点（4，﹣4）代入，可得p=2，

2

所以抛物线方程为x=﹣4y，

设C（x，y）（y＞﹣6），则

由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得kCA=

，kCB=

，

∴tan∠BCA===，

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令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=∴t=2

=≥

时，位置C对隧道底AB的张角最大，

故选：A．

【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．

12．【答案】D

2

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，

22

∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）=x=f（x），

又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，

又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；

当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]． 由

2

得：x﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．

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综上所述，a=﹣或0 故选D．

二、填空题

13．【答案】

【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是半个圆柱。 所以故答案为：14．【答案】【解析】

27． 7考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；

三是利用数量积的几何意义．

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 15．【答案】 异面 ．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

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在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面． 故答案为：异面．

16．【答案】 2n﹣1 ．

n

【解析】解：∵a1=1，an+1=an+2， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， …

an﹣an﹣1=2n﹣1，

23n1

相加得：an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣，

an=2n﹣1，

n

故答案为：2﹣1，

17．【答案】 0或1 ．

22

【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t﹣t+1=﹣3①t﹣t+4=0，①无解

或t﹣t+1=0②，②无解

2

22

或t﹣t+1=1，t﹣t=0，解得 t=0或t=1．

故答案为0或1．

【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．

18．【答案】 18.2

【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2， ∵x=20， 故答案为：18.2． 基础题．

sinA

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sinA，

∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．

【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinAsinB+sinBcosA=22

即sinB（sinA+cosA）=

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∴sinB=sinA， =

a2，得cosB=

2）a，

2

（1﹣2sinx）=sin2x+

cos2x

22

（Ⅱ）由余弦定理和C=b+222

由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+

2

可得cosB=，又cosB＞0，故cosB=

所以B=45° 题进行了互化．

20．【答案】

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+=2（sin2x+由2kπ+

≤2x+

cos2x）=2sin（2x+≤2kπ+

），

≤x≤kπ+

（k∈Z），

（k∈Z）得：kπ+

，kπ+

故f（x）的单调减区间为：[kπ+（Ⅱ）当x∈[﹣

，

]（k∈Z）；

]，2sin（2x+

）∈[0，2]，

]时，（2x+）∈[0，

所以，f（x）的值域为[0，2]．

21．【答案】

【解析】

【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；

22

【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）+y=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0． （2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为

22．【答案】（1）xy10；（2）见解析；（3）见解析. 求得可得f'x【解析】试题分析：（1）当a2时，求出导数易得f'11，即k1，利用点斜式可得其切线方程；（2）

，即x+2y﹣6=0．

ax11a0a00a，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可

x22aaa得函数fx在1，，化简可得所证结论. 2上单调递减，故f1f1，即aln1xxxa试题解析：（1）当a2时，

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1121211，f12ln110，f'x2，f'121，所以函数fx在点x1xx110处的切线方程为y01x1，即xy10． 1，fx2lnx（2）fxalnx1a1ax11，定义域为0，，f'x22． xxxx1 a①当a0时，f'x0，故函数fx在0，上单调递减； ②当a0时，令f'x0，得xx 10， a1 a1， af'x  ↘ 0 极小值  ↗ fx 综上所述，当a0时，fx在0，上单调递减；当a0时，函数fx在0，上单调递减，在

1a1，上单调递增． a1111（3）当0a时，由（2）可知，函数fx在0，上单调递减，显然，2，故1，20，，

2aaaaa1所以函数fx在1，2上单调递减，对任意x，+，都有01，所以112．所以

xx21a1aaaaaln110，即，所以，即，所以f1f1aln1ln1ax1xxxaxxaxaa，即11ln1xalnxx23．【答案】

xaa1，所以1x

xae．

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d， 由

=4得

=4，

所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2， 所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，

=

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n1n1

（Ⅱ）由bn=an2﹣，得bn=（2n﹣1）2﹣． 12n1

所以Tn=1+32+52+…+（2n﹣1）2﹣ ①

2Tn=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n ② ①﹣②得：﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n =2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1 =2×

n

﹣（2n﹣1）2﹣1

=2n（3﹣2n）﹣3．

n

∴Tn=（2n﹣3）2+3．

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．

24．【答案】

【解析】解：（1）∵0＜α＜∴cosα=

，

，且sinα=

，

∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣， =

×（

+

）﹣

=．

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． =sinxcosx+cos2x﹣ =sin2x+cos2x =∴T=由2kπ﹣

sin（2x+

=π， ≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，得kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+

，k∈Z，

），

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣

]，k∈Z．

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