a小学数学奥赛4-4-2 圆与扇形(二).教师版

圆与扇形

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

n圆的面积πr2；扇形的面积πr2；

360n圆的周长2πr；扇形的弧长2πr．

360

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说111的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246n分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．

360n比如：扇形的面积所在圆的面积；

360n扇形中的弧长部分所在圆的周长

360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 扇形的周长所在圆的周长360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

例题精讲

③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积2

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块二 曲线型面积计算

【例 1】 如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的

4倍，则角CAB的度数是________． 3

CD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

1ππ42π【解析】 设半圆ADB的半径为1，则半圆面积为π12，扇形BAC的面积为．因为扇形BAC22233nn2π的面积为πr2，所以，π22，得到n60，即角CAB的度数是60度． 3603603【答案】60度

【例 2】 如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知

图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3)

AAB6B7C

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

1【解析】 S△ABC6721,

2三角形ABC内两扇形面积和为21174，

BC根据扇形面积公式两扇形面积和为π224,

360°所以BC120°,A60°.

【答案】60度

【例 3】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的

圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？

43，是小圆面积的．如果量得小155

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

3【解析】 小圆的面积为π5225π，则大小圆相交部分面积为25π15π,那么大圆的面积为

54225225151515ππ，而，所以大圆半径为7.5厘米．

154422【答案】7.5

【例 4】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少

厘米？(π取3)

ABC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．

将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360， 所以BC弧所对的圆心角是60，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB等于塑料管的直径，

由此知绳长为：565π45(厘米)．

【答案】45

【例 5】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请

问：中间阴影部分的周长是多少？(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以ABCB，同理CBAC，则ABC是正三角形，同理，

有CDE是正三角形．有ACBECD60o，正五边形的一个内角是180o360o5108o，因此ECA60o2108o12o，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同

12o的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是23.1412512.56cm．

360o【答案】12.56

【例 6】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色

部分面积．

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

1，则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．

【答案】相等

【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部

分的面积之比是多少？(圆周率取3.14) 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设

大圆半径为r，则S22r2，S1r22r2，所以S1:S23.142:257:100． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．

【答案】57:100

【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边

角料的总面积是多少平方厘米？

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积πr2:πR21:9，

1小圆面积364，7个小圆总面积4728，

9边角料面积36288(平方厘米)．

【答案】8

【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．

由右图可见，阴影部分面积等于面积)，所以相当于

11大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积(即小圆

3612大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的

36251329倍，那么阴影部分面积为9π12π2.5．

366【答案】2.5

【例 10】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10

厘米的小扇形．(圆周率取3.14)

BACO

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小

nπR2扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇．

360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么AOC120，又知四边形ABCO是平行四边形，所以ABC120，这样就可求出扇形的面积和为

1206π102628(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412(平方厘米)． 360【答案】412

»DB»，M是CD»ACCD【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，»的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．

CMHDA

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如下图所示，连接OC、OD、OH．

ONBCMHD

»的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN的面积与CHO的面积相等，所以阴影部分

1面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于

311半圆面积的，为122平方厘米．

66【答案】2

【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．

AONBCDCD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

AOBAOB

【解析】 如图，连接OC、OD、CD．

由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为

1π6218.84．

6【答案】18.84

【例 12】 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部

分的面积之差．(π取3)

OBADC

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是

这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．

如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD与ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的

60面积相等，而扇形ACD的面积为π120.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．

360【答案】0.5

【例 13】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取

3.14)

DDEEAAMFFBCBC【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD 的面积均为a12a2．阴影部

分为：大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分

1圆．因4此阴影部分面积为：3.1412124113.04．

方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有S△ADMS△CMF，所以S阴影S扇形DCF3.1412124113.04

【答案】113.04

【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)

GFEDGFEDACB610

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的

面积就成了解题的关键．

1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：66π669；

4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：

1S阴影1066939．

2(法2)观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF． 则ABD与BDF面积相等，那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和，也就等于DEF与

11扇形BED的面积之和，为：(106)6π6239．

24【答案】39

【例 14】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知ABBC10，那

么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

10B6ABABACPDPD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，那么ABD与

ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓形的面积和． ABP的面积为：10102225； 弓形面积： 3.145545527.125； 阴影部分面积为：257.12532.125．

【答案】32.125

【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，

按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π3.14)

EABCC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC,有图可见

S阴影S△ACDS扇形S△ABC

46D4C6

111∵AC244 222∴AC232

同理CE272，∴ACCE48

1∴S△ACD4824

2901S扇形π4212.56，S△ABC448

3602∴S阴影2412.56828.56

【答案】28.56

【例 16】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分

的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，3r和r．

11122 阴影部分的面积为：π4rπ3rπr2πr25πr2，

2222空白部分的面积为：π4r5πr211πr2，

则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11． 【答案】5:11

【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米

的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为：π42π327π21.98(平方厘米)；

⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.884.1(平方厘米)．

【答案】4.1

【例 18】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，

再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 39.25 【答案】39.25

【例 19】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所

围成的阴影部分的面积．(π取3)

ADADBa

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式

求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．

如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，

S阴影4S半圆S三角形

21aa1 4a

22221 a2

21【答案】a

2

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴

影部分面积．(π取3) AADDCBaCBCBC【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴

影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．

解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．

1则阴影部分的面积为π42448；

2解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，

1所以阴影部分面积2（π42442）8．

4【答案】8

【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，AC4cm，BC2cm，求阴影部分的面积．

B

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影14121部分的面积为：ππ422.5π43.85(cm2)．

22222【答案】3.85

【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.

22AC

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003S阴影242144，所以S阴影100314424272（平方厘米） 【答案】72

【例 22】 如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点．以C为圆心、

半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπn(cm2)(其中m、n为正整数)，请问mn之值为何？

AES2GS1HDASS1ES2GHDBFB F【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答图1 【关键词】国际小学数学竞赛

1【解析】 (法1)SYFCDE248cm2，S扇形BCDπ424π(cm2)，

41S扇形BFHπ22π(cm2)，而

4S1S2S扇形BCDS扇形BFHSYFCDE4ππ83π8(cm2)，

CC

所以m3，n8，mn3811．

(法2)如右上图，SS1SBFEAS扇形BFH2422π48π(cm2)， SS2SABCDS扇形BCD4444π4164π(cm2)，

所以，S1S2(8π)(164π)3π8(cm)，故mn3811．

【答案】11

【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方

形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇

ππ形减去小扇形，再减去长方形．则为：44224233.1481.42．

44【答案】1.42

【例 23】 如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径

CB4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)

AFDEBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则

的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，

1所以不规则部分ABFD的面积为64π4212(平方厘米)，

4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，

1则有阴影部分面积为π621215(平方厘米)．

411方法二：利用容斥原理S阴影S扇形EABS扇形BCFS长方形ABCDπ62π424615(平方厘米)

44【答案】15

【巩固】求图中阴影部分的面积．

1212

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

11211【解析】 阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积π()2π12212241.04．

2282【答案】41.04

【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π3.14)

ADFEBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头

求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为ADB45，

4545所以扇形ADE的面积为：πAD23.14529.8125(平方厘米)，

3603601那么左下边空白的面积为：559.81252.6875(平方厘米)，

2215又因为半圆面积为：π9.8125(平方厘米)，

22所以阴影部分面积为：9.81252.68757.125(平方厘米)．

【答案】7.125

【例 24】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)

3454533AB33A1.51.5B31.5【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．

927所以SASB1.52π1.53432π3328498．

41627【答案】

16

【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)

33

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面

积．

33

111993所分成的弓形的面积为：π32π；

48222161199另一部分的面积为：π3232π；

848499992727所以阴影部分面积为：πππ1.923751.92．

16884168【答案】1.92

【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、O3为圆心，求阴影部分的

面积．(π3)

AO3O12

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面

积减去一个90扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：

12S正方形S扇形SS42020π202020100π475(平方厘米)，所以正方形圆4阴影部分的面积为752150(平方厘米)．

【答案】150

【例 26】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法

运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下

图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．

阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：

901每个角阴影部分面积为11π12；

36041那么圆无法运动到的部分面积为 41

4O2B

方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为223121

【答案】1

【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π3.14)

ABDCO

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影

部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以OA262.83.1420． 因此：S△AOBOAOB2OA2210(平方厘米)．

由于AOB是等腰直角三角形，所以AB220240．

4545因此：扇形ABC的面积πAB2π4015.7(平方厘米)．

360360所以，阴影部分的面积等于：15.7105.7(平方厘米)．

【答案】5.7

【例 28】 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分

的面积相等．求扇形所在的圆面积．

AECFB

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通

过空白部分联系起来．

等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．

1而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形101050，

2则圆的面积为508400

【答案】400

【例 29】 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求

BC长．(π3.14)

A甲乙BC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是

如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．

因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．

1半圆面积为：π102157，则直角三角形的面积为1577150，可得BC21502015．

2【答案】15

【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，AB8cm，求BC的长度．

AIIICB

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积

18为25cm2，则直角三角形ABC面积为π258π25(cm2)，

222BC的长度为8π25282π6.2512.53(cm)．

【答案】12.53

【巩固】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘

米．求BC的长度？(π取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 图中半圆的直径为AB，所以其面积为202π2003.14628．

2 有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28，所以②、③部分的面积和62828656．

11有直角三角形ABC的面积为ABBC40BC656．所以BC32.8厘米．

22【答案】32.8

【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试题 【解析】 如下图，设半圆的圆心为O，连接OC．

从图中可以看出，OC20，OB20416，根据勾股定理可得BC12． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，

1为：π202(162)12200π384244．

2420

DCAOB

【答案】244

【例 31】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)

34

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它

们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．

111阴影部分面积小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积

2221111 π32π4234π52

22226

【答案】6

【例 32】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？

5610

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

S阴影S直角三角形S半圆， 【解析】

设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：

O86r10r8r 221又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为6824，

2所以8r24，r3

1所以S阴影249π=244.5π

2【答案】244.5π

【例 33】 大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个

正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)

O

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题 【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴

影部分的面积，也就是R2r250平方厘米，那么环形的面积为： πR2πr2π(R2r2)π50=157(平方厘米)．

【答案】157

【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

R2r2【解析】 设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有25，即R2r250．

222222则圆环面积为：πRπrπ(Rr)50π157(cm2)．

【答案】157

【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学，考题

【解析】 设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为

222a，2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)aa，得r．

2所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：πr2:a2π:2，所以大圆面积为：202π10π；小圆

a的面积与正方形的面积之比为：π()2:a2π:4，所以小圆的面积为：204π5π；两个圆的面

2积之和为：10π5π15π153.1447.1(平方厘米)．

【答案】47.1

【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为

a，2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)aa，得r．

222a2aa222a所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：πr:π()r::2:1， 2424即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30260(平方厘米)．

【答案】60

【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a，小正方形的面积是 ．

2222

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a，而从图中可

1以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以a2b2b22b2，故b2a2，即小正方形的面

21积为a2．

21【答案】a2

2

【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少

22平方厘米？(取π)

71

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．

内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是π12222π2．

内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是π(2222)4222π4．

中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22228，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8216，所以外圈阴影部分的面积是π16484π8．

所以阴影部分的面积是7π14227148(平方厘米)． 7【答案】8

【例 35】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形

(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

11111【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：64

233234∴圆的面积为：π12.56

2【答案】12.56

【例 36】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个图

中阴影部分的面积大？为什么？

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设正方形的边长为a，每一个圆的半径为r，则正方形的每一条边上都有

共有

a个圆，从而正方形内部2raaaa1个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影πr2πa2． 2r2r2r2r4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的．

由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等． 【答案】相等

【例 37】 如图，在33方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧

与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S1:S2?

AEFS1S2BCBB1DAEFS1B2DD1D2C

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如右图，仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形B1CD1

的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．

11π所以，S1的面积32π3222π2251；

444同理可求得带形S2的面积： π带形S2的面积曲边三角形B1CD1的面积曲边三角形B2CD2的面积31；

4所以，S1:S25:3．

【答案】5:3

【例 38】 如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

322π5552【解析】 2142.75(cm)．

4【答案】142.75

¼是以C为圆心，【例 39】 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEBAC为半径的圆弧． 求

阴影部分面积．

DEAOBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC

再减去扇形ACB的结果．

1半圆面积为π152，

211三角形ABC面积为151515152，又因为三角形面积也等于AC2，

2222所以AC215，

901那么扇形ACB的面积为πAC2π2152．

3604阴影部分面积S阴影S半圆S三角形S扇形

【答案】225

11π152152π2152 24 225 (平方厘米)

【例 40】 如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米，那么阴

影部分是多少平方米？(π取3.14)

RS

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差，为

11π1π1211(平方米)， 4242POQRSRS

11OROS11212πRS半圆ROS的面积为ππ(平方米)， π2242442π1π1所以阴影部分的面积为π11.07(平方米)．

4242【答案】1.07

【例 41】 在右图所示的正方形ABCD中，对角线AC长2厘米．扇形ADC是以D为圆心，以AD为半径的

圆的一部分． 求阴影部分的面积．

222P1O1QP1O1QABA21B3DC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

DC111π1AC122ADπACAD2． 【解析】 如右图所示，S1AD2AD2，S2S3π28242222因为AC22AD24，

所以阴影部分的面积为： π11111AD2AD2πAC2AD2πAC2AC2π21.14(平方厘米)． 428242另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形ABCD的面积，所以阴

π1影部分的面积为AD2πAC2AD21.14(平方厘米)．

48【答案】1.14

【例 42】 某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在

桌面上能覆盖的面积为多少？

4cm

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，

中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：

444π224π6π810.84(cm2)． 222【答案】10.84

【例 43】 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，

钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米．

1211109875412103987541211122221211B'10312B98AA'3466765【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】 等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相

等．由A与A'，B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．1025(平方米)．

【答案】5

【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？

111098765甲乙O412123

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：

阴影部分甲120°的扇形三角形小弓形； 阴影部分乙三角形小弓形；

由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：

A111098765甲乙O412123109876511甲乙O41212310987611甲12B1乙O4523阴影部分乙的面积1=圆的面积的6120°阴影部分的面积1=圆的面积的3阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积

111综上所述：阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的．所以甲、乙面积之比为1:1．

636【答案】1:1

【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，

钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？

1110987654B12123DAOC【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影

部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系． 将原题图中的等边三角形旋转30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为AOD、BOD都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知AOB与ADB面积相等．又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是1025(平方米)．

【答案】5

【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米． AOBCODEOF90．求阴影部分的面积．

AGFJOBHCDIEBHCDIOEAGFJ

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 直接解决．

总阴影面积每块阴影面积3(大弓形小弓形)3． 关键在于大弓形中三角形的面积，

设J为弧GI的中点，则可知GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，

115 所以，三角形GOD的面积26．

221115 所以大弓形的面积： SGJIπ15226

322 235.597.5 138．

11 小弓形的面积：SFJEπ152152176.625112.564.125．

42 所以，总阴影面积13864.1253221.625(平方厘米)．

【答案】221.625

【例 44】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为

10厘米，求阴影部分的面积．

BBO1O2O1O2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．

由已知条件，若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各

边长均等于半径)，则AO2O1BO2O160，即AO2B120．

这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形的面积，三角形AO2B的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦AB，高是O1O2的一半． 所以，阴影部分面积2S扇形AO2BSAO2B

12011023.1410217

360221120985124(平方厘米)．

33AA1【答案】124

3

【例 45】 下图中，AB3，阴影部分的面积是

ACAHCEFEGFB

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 如图可知EF3，设大半圆半径为R，小圆半径为r，如右图REH，rHGEG，根据勾股定

理得R22r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知

DBD

S阴影S小圆S柳叶

S小圆（2S扇形EHFSVEHF) S小圆2S扇形EHF2SVEHF

S小圆S大半圆2SVEHF

2SVEHF

EFGH3324.5

【答案】4.5

【例 46】 如图，ABCD是平行四边形，AD8cm，AB10cm，DAB30，高CH4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到0.01)

EDNCAMBFH【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，AD8cm，AB10cm，DAB30，所以

3025 S扇形EABS扇形FCD102ππcm2，

36033016 S扇形DAMS扇形BCN82ππcm2．

3603 因为平行四边形ABCD的高CH4cm，所以SYABCD10440cm2．

 由图中可看出，扇形EAB与FCD的面积之和，减去平行四边形ABCD的面积，等于曲边四边形DFBE的面积；平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积，等于曲边四边形DMBN的面积．则

S阴影S曲边四边形DFBES曲边四边形DMBN

2S扇形EABSYABCDSYABCD2S扇形DAM 2S扇形EABS扇形DAMSYABCD

1625412ππ4023.14405.83cm2．

333【答案】5.83

【例 47】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没

有滑动)．在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)

P

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一

种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270º．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270360630． 因为两条线段共长30厘米，所以270º的弧长或者630º的弧长再加上两个半径是30厘米．

270630 2πr2r30(厘米)，或者2πr2r30(厘米)，所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘米．

360360【答案】2.31

【例 48】 将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方

形铁皮的面积的最大值.

37A7D′D3A′B12C′CD′DC′CDD′CA73A′BB′12A73A′BB′12

图1 图2 图3

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】希望杯 【解析】 如图1所示，使ABBCCDDA1239(厘米)，则正方形ABCD的面积为9981 (平

方厘米).如图2所示，使AABBCCDD3(厘米)，则正方形ABCD的面积为

1121243(123)90(平方厘米).

2如图3所示，连结AC交曲线于点A，使ABBCCDDA.观察图3可知AB121.510.5(厘米).(注：AB的长度在(10.50.2)厘米之间均可．)于是正方形ABCD的面积为10.510.5110.25(平方厘米).

因为8190110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.

【答案】110.25