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a小学数学奥赛4-4-2 圆与扇形(二).教师版

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圆与扇形

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.

n圆的面积πr2;扇形的面积πr2;

360n圆的周长2πr;扇形的弧长2πr.

360

一、跟曲线有关的图形元素:

①扇形:扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分.我们经常说111的圆、圆、圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246n分之几.那么一般的求法是什么呢?关键是.

360n比如:扇形的面积所在圆的面积;

360n扇形中的弧长部分所在圆的周长

360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 扇形的周长所在圆的周长360②弓形:弓形一般不要求周长,主要求面积.

一般来说,弓形面积扇形面积-三角形面积.(除了半圆)

例题精讲

③”弯角”:如图: 弯角的面积正方形-扇形

④”谷子”:如图: “谷子”的面积弓形面积2

二、常用的思想方法:

①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)

板块二 曲线型面积计算

【例 1】 如图,已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的

4倍,则角CAB的度数是________. 3

CD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

1ππ42π【解析】 设半圆ADB的半径为1,则半圆面积为π12,扇形BAC的面积为.因为扇形BAC22233nn2π的面积为πr2,所以,π22,得到n60,即角CAB的度数是60度. 3603603【答案】60度

【例 2】 如下图,直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7,分别以B,C为圆心,2为半径画圆,已知

图中阴影部分的面积是17,那么角A是多少度(π3)

AAB6B7C

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

1【解析】 S△ABC6721,

2三角形ABC内两扇形面积和为21174,

BC根据扇形面积公式两扇形面积和为π224,

360°所以BC120°,A60°.

【答案】60度

【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的

圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米?

43,是小圆面积的.如果量得小155

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

3【解析】 小圆的面积为π5225π,则大小圆相交部分面积为25π15π,那么大圆的面积为

54225225151515ππ,而,所以大圆半径为7.5厘米.

154422【答案】7.5

【例 4】 有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图),此时橡皮筋的长度是多少

厘米?(π取3)

ABC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由右图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和.

将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补,可得到6个角的和是360, 所以BC弧所对的圆心角是60,6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长. 而线段AB等于塑料管的直径,

由此知绳长为:565π45(厘米).

【答案】45

【例 5】 如图,边长为12厘米的正五边形,分别以正五边形的5个顶点为圆心,12厘米为半径作圆弧,请

问:中间阴影部分的周长是多少?(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图,点C是在以B为中心的扇形上,所以ABCB,同理CBAC,则ABC是正三角形,同理,

有CDE是正三角形.有ACBECD60o,正五边形的一个内角是180o360o5108o,因此ECA60o2108o12o,也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分,这样相同

12o的圆弧有5个,所以中间阴影部分的周长是23.1412512.56cm.

360o【答案】12.56

【例 6】 如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小,得:黑色部分面积________灰色

部分面积.

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

1,则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积.而4个小圆重叠的部分为灰色部分,未覆盖的部分为黑色部分,所以这两部分面积相等,即灰色部分与黑色部分面积相等.

【答案】相等

【例 7】 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为S1,空白部分面积为S2,那么这两个部

分的面积之比是多少?(圆周率取3.14) 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半,所以每个小圆的面积等于大圆面积的

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来,这样,空白部分就是一个圆的内接正方形.设

大圆半径为r,则S22r2,S1r22r2,所以S1:S23.142:257:100. 移动图形是解这种题目的最好方法,一定要找出图形之间的关系.

【答案】57:100

【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板.问:所余下的边

角料的总面积是多少平方厘米?

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍,半径也是3倍,小圆面积∶大圆面积πr2:πR21:9,

1小圆面积364,7个小圆总面积4728,

9边角料面积36288(平方厘米).

【答案】8

【例 9】 如图,若图中的圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径都是1.求阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦,所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.

由右图可见,阴影部分面积等于面积),所以相当于

11大圆面积减去一个小圆面积,再加上120的小扇形面积(即小圆

3612大圆面积减去小圆面积.而大圆的半径为小圆的3倍,所以其面积为小圆的

36251329倍,那么阴影部分面积为9π12π2.5.

366【答案】2.5

【例 10】 如图所示,求阴影面积,图中是一个正六边形,面积为1040平方厘米,空白部分是6个半径为10

厘米的小扇形.(圆周率取3.14)

BACO

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知,现在关键是小

nπR2扇形面积如何求,有扇形面积公式S扇.

360可求得,需要知道半径和扇形弧的度数,由已知正六边形每边所对圆心角为60°,那么AOC120,又知四边形ABCO是平行四边形,所以ABC120,这样就可求出扇形的面积和为

1206π102628(平方厘米),阴影部分的面积1040628412(平方厘米). 360【答案】412

»DB»,M是CD»ACCD【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示,AB是半圆的直径,O是圆心,»的中点,H是弦CD的中点.若N是OB上一点,半圆的面积等于12平方厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米.

CMHDA

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如下图所示,连接OC、OD、OH.

ONBCMHD

»的中点,H是弦CD的中点,可见这个图形是本题中由于C、D是半圆的两个三等分点,M是CD对称的,由对称性可知CD与AB平行.由此可得CHN的面积与CHO的面积相等,所以阴影部分

1面积等于扇形COD面积的一半,而扇形COD的面积又等于半圆面积的,所以阴影部分面积等于

311半圆面积的,为122平方厘米.

66【答案】2

【巩固】如图,C、D是以AB为直径的半圆的三等分点,O是圆心,且半径为6.求图中阴影部分的面积.

AONBCDCD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

AOBAOB

【解析】 如图,连接OC、OD、CD.

由于C、D是半圆的三等分点,所以AOC和COD都是正三角形,那么CD与AO是平行的.所以ACD的面积与OCD的面积相等,那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积,为

1π6218.84.

6【答案】18.84

【例 12】 如图,两个半径为1的半圆垂直相交,横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心,求图中两块阴影部

分的面积之差.(π取3)

OBADC

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差,可以先分别求出两块阴影部分的面积,再计算它们的差,但是

这样较为繁琐.由于是要求面积之差,可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形,再求剩余图形的面积.

如右图所示,可知弓形BC或CD均与弓形AB相同,所以不妨割去弓形BC.剩下的图形中,容易看出来AB与CD是平行的,所以BCD与ACD的面积相等,所以剩余图形的面积与扇形ACD的

60面积相等,而扇形ACD的面积为π120.5,所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5.

360【答案】0.5

【例 13】 如图,两个正方形摆放在一起,其中大正方形边长为12,那么阴影部分面积是多少?(圆周率取

3.14)

DDEEAAMFFBCBC【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 方法一:设小正方形的边长为a,则三角形ABF与梯形ABCD 的面积均为a12a2.阴影部

分为:大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分

1圆.因4此阴影部分面积为:3.1412124113.04.

方法二:连接AC、DF,设AF与CD的交点为M,由于四边形ACDF是梯形,根据梯形蝴蝶定理有S△ADMS△CMF,所以S阴影S扇形DCF3.1412124113.04

【答案】113.04

【巩固】如右图,两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积.(π取3)

GFEDGFEDACB610

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积,那么求出月牙BCD的

面积就成了解题的关键.

1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆:66π669;

4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积,为:

1S阴影1066939.

2(法2)观察可知AF和BD是平行的,于是连接AF、BD、DF. 则ABD与BDF面积相等,那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和,也就等于DEF与

11扇形BED的面积之和,为:(106)6π6239.

24【答案】39

【例 14】 如图,ABC是等腰直角三角形,D是半圆周的中点,BC是半圆的直径.已知ABBC10,那

么阴影部分的面积是多少?(圆周率取3.14)

10B6ABABACPDPD

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD、AP、BD,如图,PD平行于AB,则在梯形ABDP中,对角线交于M点,那么ABD与

ABP面积相等,则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓形的面积和. ABP的面积为:10102225; 弓形面积: 3.145545527.125; 阴影部分面积为:257.12532.125.

【答案】32.125

【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形,并以小正方形中右上顶点为圆心,边长为半径作一个扇形,

按图中所给长度阴影部分面积为 ;(π3.14)

EABCC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC,有图可见

S阴影S△ACDS扇形S△ABC

46D4C6

111∵AC244 222∴AC232

同理CE272,∴ACCE48

1∴S△ACD4824

2901S扇形π4212.56,S△ABC448

3602∴S阴影2412.56828.56

【答案】28.56

【例 16】 如图,图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的.问:涂有阴影的部分

的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少?

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r,则三种半圆曲线的半径分别为4r,3r和r.

11122 阴影部分的面积为:π4rπ3rπr2πr25πr2,

2222空白部分的面积为:π4r5πr211πr2,

则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11. 【答案】5:11

【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图,一个五环图是由内圆直径为6厘米,外圆直径为8厘米

的五个环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等,已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米,求每个小曲边四边形的面积.(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为:π42π327π21.98(平方厘米);

⑵五个圆环的面积和为:21.985109.9(平方厘米); ⑶八个阴影的面积为:109.977.132.8(平方厘米); ⑷每个阴影的面积为:32.884.1(平方厘米).

【答案】4.1

【例 18】 已知正方形ABCD的边长为10厘米,过它的四个顶点作一个大圆,过它的各边中点作一个小圆,

再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么,图中阴影部分的总面积等于______方厘米.(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 39.25 【答案】39.25

【例 19】 如图,ABCD是边长为a的正方形,以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆,求这四个半圆弧所

围成的阴影部分的面积.(π取3)

ADADBa

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形,不能直接通过面积公式

求解,观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.

如图,这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形,我们可以求得,

S阴影4S半圆S三角形

21aa1 4a

22221 a2

21【答案】a

2

【巩固】如图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆.求阴

影部分面积.(π取3) AADDCBaCBCBC【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由题可知,图中阴影部分是两个扇形重叠的部分,我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴

影部分面积;同样,我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积.

解法一:把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.

1则阴影部分的面积为π42448;

2解法二:连接AC,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,

1所以阴影部分面积2(π42442)8.

4【答案】8

【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC是直角三角形,AC4cm,BC2cm,求阴影部分的面积.

B

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差,所以阴影14121部分的面积为:ππ422.5π43.85(cm2).

22222【答案】3.85

【例 21】 (奥林匹克决赛试题)在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米,盖住桌面的总面积是144平方厘米,3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.

22AC

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003S阴影242144,所以S阴影100314424272(平方厘米) 【答案】72

【例 22】 如图所示,ABCD是一边长为4cm的正方形,E是AD的中点,而F是BC的中点.以C为圆心、

半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点,若图中S1和S2两块面积之差为mπn(cm2)(其中m、n为正整数),请问mn之值为何?

AES2GS1HDASS1ES2GHDBFB F【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答图1 【关键词】国际小学数学竞赛

1【解析】 (法1)SYFCDE248cm2,S扇形BCDπ424π(cm2),

41S扇形BFHπ22π(cm2),而

4S1S2S扇形BCDS扇形BFHSYFCDE4ππ83π8(cm2),

CC

所以m3,n8,mn3811.

(法2)如右上图,SS1SBFEAS扇形BFH2422π48π(cm2), SS2SABCDS扇形BCD4444π4164π(cm2),

所以,S1S2(8π)(164π)3π8(cm),故mn3811.

【答案】11

【巩固】在图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.(圆周率取3.14)

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解.左边的阴影是大扇形减去小扇形,再扣除一个长方

形中的不规则白色部分,而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分,那么它们的差应为大扇

ππ形减去小扇形,再减去长方形.则为:44224233.1481.42.

44【答案】1.42

【例 23】 如图,矩形ABCD中,AB6厘米,BC4厘米,扇形ABE半径AE6厘米,扇形CBF的半径

CB4厘米,求阴影部分的面积.(π取3)

AFDEBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一:观察发现,阴影部分属于一个大的扇形,而这个扇形除了阴影部分之外,还有一个不规则

的空白部分ABFD在左上,求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键. 我们先确定ABFD的面积,因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD,

1所以不规则部分ABFD的面积为64π4212(平方厘米),

4再从扇形ABE中考虑,让扇形ABE减去ABFD的面积,

1则有阴影部分面积为π621215(平方厘米).

411方法二:利用容斥原理S阴影S扇形EABS扇形BCFS长方形ABCDπ62π424615(平方厘米)

44【答案】15

【巩固】求图中阴影部分的面积.

1212

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

11211【解析】 阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积π()2π12212241.04.

2282【答案】41.04

【巩固】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米,(π3.14)

ADFEBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的,分头

求各小块阴影部分面积明显不是很方便,我们发现如果能求出左下边空白部分的面积,就很容易求出阴影部分的面积了,我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积,那么我们的思路就很清楚了. 因为ADB45,

4545所以扇形ADE的面积为:πAD23.14529.8125(平方厘米),

3603601那么左下边空白的面积为:559.81252.6875(平方厘米),

2215又因为半圆面积为:π9.8125(平方厘米),

22所以阴影部分面积为:9.81252.68757.125(平方厘米).

【答案】7.125

【例 24】 如图所示,阴影部分的面积为多少?(圆周率取3)

3454533AB33A1.51.5B31.5【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积.

927所以SASB1.52π1.53432π3328498.

41627【答案】

16

【巩固】图中阴影部分的面积是 .(π取3.14)

33

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图,虚线将阴影部分分成两部分,分别计算这两部分的面积,再相加即可得到阴影部分的面

积.

33

111993所分成的弓形的面积为:π32π;

48222161199另一部分的面积为:π3232π;

848499992727所以阴影部分面积为:πππ1.923751.92.

16884168【答案】1.92

【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米,中间的三段圆弧分别以O1、O2、O3为圆心,求阴影部分的

面积.(π3)

AO3O12

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等,可以先求出其中一块的面积.而这一块的面积,等于大正方形的面

积减去一个90扇形的面积,再减去角上的小空白部分的面积,为:

12S正方形S扇形SS42020π202020100π475(平方厘米),所以正方形圆4阴影部分的面积为752150(平方厘米).

【答案】150

【例 26】 一个长方形的长为9,宽为6,一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动,在长方形内这圆无法

运动到的部分,面积的和是_____.(π取3)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一:圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角,而圆在角处运动时的情况如左下

图,圆无法运动到的部分是图中阴影部分,那么我们可以先求出阴影部分面积,四个角的情况都相似,我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.

阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积,所以我们可以得到:

901每个角阴影部分面积为11π12;

36041那么圆无法运动到的部分面积为 41

4O2B

方法二:如果把四个角拼起来,则阴影如右上图所示,则阴影面积为223121

【答案】1

【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米,求阴影部分的面积.(π3.14)

ABDCO

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形,所以要设法把它转化成规则图形来计算.从图中可以看出,阴影

部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差. 由于半圆的面积为62.8平方厘米,所以OA262.83.1420. 因此:S△AOBOAOB2OA2210(平方厘米).

由于AOB是等腰直角三角形,所以AB220240.

4545因此:扇形ABC的面积πAB2π4015.7(平方厘米).

360360所以,阴影部分的面积等于:15.7105.7(平方厘米).

【答案】5.7

【例 28】 如图,等腰直角三角形ABC的腰为10;以A为圆心,EF为圆弧,组成扇形AEF;两个阴影部分

的面积相等.求扇形所在的圆面积.

AECFB

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形,AEF是扇形,所以看似没有关系的两个阴影部分通

过空白部分联系起来.

等腰直角三角形的角A为45度,则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍.

1而扇形面积与等腰直角三角形面积相等,即S扇形101050,

2则圆的面积为508400

【答案】400

【例 29】 如图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB20,阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求

BC长.(π3.14)

A甲乙BC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形,单独对待它们无法运用面积公式进行处理,而解题的关键就是

如何把它们联系起来,我们发现把两块阴影加上中间的一块,则变成1个半圆和1个直角三角形,这个时候我们就可以利用面积公式来求解了.

因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7.

1半圆面积为:π102157,则直角三角形的面积为1577150,可得BC21502015.

2【答案】15

【巩固】三角形ABC是直角三角形,阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2,AB8cm,求BC的长度.

AIIICB

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2,根据差不变原理,直角三角形ABC面积减去半圆面积

18为25cm2,则直角三角形ABC面积为π258π25(cm2),

222BC的长度为8π25282π6.2512.53(cm).

【答案】12.53

【巩固】 如图,三角形ABC是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB长40厘

米.求BC的长度?(π取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

1【解析】 图中半圆的直径为AB,所以其面积为202π2003.14628.

2 有空白部分③与①的面积和为628,又②-①28,所以②、③部分的面积和62828656.

11有直角三角形ABC的面积为ABBC40BC656.所以BC32.8厘米.

22【答案】32.8

【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3,求阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分,入学测试题 【解析】 如下图,设半圆的圆心为O,连接OC.

从图中可以看出,OC20,OB20416,根据勾股定理可得BC12. 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,

1为:π202(162)12200π384244.

2420

DCAOB

【答案】244

【例 31】 如图,求阴影部分的面积.(π取3)

34

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图,图中阴影部分为月牙儿状,月牙儿形状与扇形和弓形都不相同,目前我们还不能直接求出 它

们的面积,那么我们应该怎么来解决呢?首先,我们分析下月牙儿状是怎么产生的,观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分,再分析可以知道,两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分,那么我们就找到了解决问题的方法了.

111阴影部分面积小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积

2221111 π32π4234π52

22226

【答案】6

【例 32】 如图,直角三角形的三条边长度为6,8,10,它的内部放了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少?

5610

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答

S阴影S直角三角形S半圆, 【解析】

设半圆半径为r,直角三角形面积用r表示为:

O86r10r8r 221又因为三角形直角边都已知,所以它的面积为6824,

2所以8r24,r3

1所以S阴影249π=244.5π

2【答案】244.5π

【例 33】 大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形.以圆心O为顶点,半径R为边长作一个

正方形:再以O为顶点,以r为边长作一个小正方形.图中阴影部分的面积为50平方厘米,求环形面积.(圆周率取3.14)

O

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华校第一学期,期中测试,第6题 【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积,但分别求出两个圆的面积显然不可能.题中已知阴

影部分的面积,也就是R2r250平方厘米,那么环形的面积为: πR2πr2π(R2r2)π50=157(平方厘米).

【答案】157

【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2,求圆环的面积.

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

R2r2【解析】 设大圆半径为R,小圆半径为r,依题有25,即R2r250.

222222则圆环面积为:πRπrπ(Rr)50π157(cm2).

【答案】157

【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米,则图中里外两个圆的面积之和是 .(π取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学,考题

【解析】 设图中大圆的半径为r,正方形的边长为a,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为

222a,2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长,即(2r)aa,得r.

2所以,大圆的面积与正方形的面积之比为:πr2:a2π:2,所以大圆面积为:202π10π;小圆

a的面积与正方形的面积之比为:π()2:a2π:4,所以小圆的面积为:204π5π;两个圆的面

2积之和为:10π5π15π153.1447.1(平方厘米).

【答案】47.1

【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米,则大圆的面积是 平方厘米.(π取3.14)

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 设图中大圆的半径为r,正方形的边长为a,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为

a,2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长,即(2r)aa,得r.

222a2aa222a所以,大圆的面积与小圆的面积之比为:πr:π()r::2:1, 2424即大圆的面积是小圆面积的2倍,大圆的面积为30260(平方厘米).

【答案】60

【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a,小正方形的面积是 .

2222

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b,由于圆的直径等于大正方形的边长,所以圆的直径为a,而从图中可

1以看出,圆的直径等于小正方形的对角线长,所以a2b2b22b2,故b2a2,即小正方形的面

21积为a2.

21【答案】a2

2

【巩固】一些正方形内接于一些同心圆,如图所示.已知最小圆的半径为1cm,请问阴影部分的面积为多少

22平方厘米?(取π)

71

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔,复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算.

内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积,也就是π12222π2.

内圆的直径为中部正方形的边长,即为2,中部正方形的对角线等于中圆的直径,于是中圈阴影部分面积是π(2222)4222π4.

中圆的直径的平方即为外部正方形的面积,即为22228,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方,即为8216,所以外圈阴影部分的面积是π16484π8.

所以阴影部分的面积是7π14227148(平方厘米). 7【答案】8

【例 35】 图中大正方形边长为6,将其每条边进行三等分,连出四条虚线,再将虚线的中点连出一个正方形

(如图),在这个正方形中画出一个最大的圆,则圆的面积是多少?(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

11111【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长,它的长为:64

233234∴圆的面积为:π12.56

2【答案】12.56

【例 36】 如下图所示,两个相同的正方形,左图中阴影部分是9个圆,右图中阴影部分是16个圆.哪个图

中阴影部分的面积大?为什么?

2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设正方形的边长为a,每一个圆的半径为r,则正方形的每一条边上都有

共有

a个圆,从而正方形内部2raaaa1个圆,于是这些圆的总面积为:S阴影πr2πa2. 2r2r2r2r4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的,也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系,与圆的半径无关,无论圆的半径怎样变化,只要正方形的边长不变,那么阴影部分的面积就是一定的.

由于上图中两个正方形的边长相同,所以两图中阴影部分的面积相等. 【答案】相等

【例 37】 如图,在33方格表中,分别以A、E、F为圆心,半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧

与正方形ABCD的边界围成了两个带形,那么这两个带形的面积之比S1:S2?

AEFS1S2BCBB1DAEFS1B2DD1D2C

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如右图,仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形B1CD1

的面积,而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出.

11π所以,S1的面积32π3222π2251;

444同理可求得带形S2的面积: π带形S2的面积曲边三角形B1CD1的面积曲边三角形B2CD2的面积31;

4所以,S1:S25:3.

【答案】5:3

【例 38】 如图中,正方形的边长是5cm,两个顶点正好在圆心上,求图形的总面积是多少?(圆周率取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

322π5552【解析】 2142.75(cm).

4【答案】142.75

¼是以C为圆心,【例 39】 如图,AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径为15,AEBAC为半径的圆弧. 求

阴影部分面积.

DEAOBC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是个月牙形,不能直接通过面积公式求,那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC

再减去扇形ACB的结果.

1半圆面积为π152,

211三角形ABC面积为151515152,又因为三角形面积也等于AC2,

2222所以AC215,

901那么扇形ACB的面积为πAC2π2152.

3604阴影部分面积S阴影S半圆S三角形S扇形

【答案】225

11π152152π2152 24 225 (平方厘米)

【例 40】 如下图所示,曲线PRSQ和ROS是两个半圆.RS平行于PQ.如果大半圆的半径是1米,那么阴

影部分是多少平方米?(π取3.14)

RS

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如左下图所示,弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差,为

11π1π1211(平方米), 4242POQRSRS

11OROS11212πRS半圆ROS的面积为ππ(平方米), π2242442π1π1所以阴影部分的面积为π11.07(平方米).

4242【答案】1.07

【例 41】 在右图所示的正方形ABCD中,对角线AC长2厘米.扇形ADC是以D为圆心,以AD为半径的

圆的一部分. 求阴影部分的面积.

222P1O1QP1O1QABA21B3DC

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答

DC111π1AC122ADπACAD2. 【解析】 如右图所示,S1AD2AD2,S2S3π28242222因为AC22AD24,

所以阴影部分的面积为: π11111AD2AD2πAC2AD2πAC2AC2π21.14(平方厘米). 428242另解:观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形ABCD的面积,所以阴

π1影部分的面积为AD2πAC2AD21.14(平方厘米).

48【答案】1.14

【例 42】 某仿古钱币直径为4厘米,钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图).求钱币在

桌面上能覆盖的面积为多少?

4cm

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将古钱币分成8个部分,外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形,

中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积,所以总面积等于:

444π224π6π810.84(cm2). 222【答案】10.84

【例 43】 传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下,

钟面就会出现奇妙的阴影(如右图).那么,阴影部分的面积是 平方米.

1211109875412103987541211122221211B'10312B98AA'3466765【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】 等积变形,对应思想将中间的正三角形旋转如右图,图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相

等.由A与A',B与B'面积相等,推知阴影部分占圆面积的一半.1025(平方米).

【答案】5

【巩固】图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?

111098765甲乙O412123

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 根据图形特点,可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解:

阴影部分甲120°的扇形三角形小弓形; 阴影部分乙三角形小弓形;

由于120°扇形的面积容易求得,所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:

A111098765甲乙O412123109876511甲乙O41212310987611甲12B1乙O4523阴影部分乙的面积1=圆的面积的6120°阴影部分的面积1=圆的面积的3阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积

111综上所述:阴影部分甲的面积圆的面积的圆的面积的.所以甲、乙面积之比为1:1.

636【答案】1:1

【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米.每当太阳西下,

钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图).那么,阴影部分的面积是多少平方米?

1110987654B12123DAOC【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 在这个题目中,阴影部分和空白部分都是不规则图形,那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影

部分面积,也无法通过求出空白部分面积,再用大圆面积减去空白部分面积求解,这个时候,我们只能利用整体思想,通过转化,寻找阴影部分与整体图形的关系. 将原题图中的等边三角形旋转30°(注意,只转三角形,圆形不动),得到右上图.因为AOD、BOD都是等边三角形,所以四边形OBDA是菱形,推知AOB与ADB面积相等.又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等,所以扇形AOB中阴影部分面积占一半.同理,在扇形AOC、扇形BOC中,阴影部分面积也占一半.所以,阴影部分面积占圆面积的一半,是1025(平方米).

【答案】5

【巩固】如图,已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形,圆O的半径为15厘米. AOBCODEOF90.求阴影部分的面积.

AGFJOBHCDIEBHCDIOEAGFJ

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 直接解决.

总阴影面积每块阴影面积3(大弓形小弓形)3. 关键在于大弓形中三角形的面积,

设J为弧GI的中点,则可知GOIJ是菱形,GOJ是正三角形,

115 所以,三角形GOD的面积26.

221115 所以大弓形的面积: SGJIπ15226

322 235.597.5 138.

11 小弓形的面积:SFJEπ152152176.625112.564.125.

42 所以,总阴影面积13864.1253221.625(平方厘米).

【答案】221.625

【例 44】 如下图,两个半径相等的圆相交,两圆的圆心相距正好等于半径,AB弦约等于17厘米,半径为

10厘米,求阴影部分的面积.

BBO1O2O1O2

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成,所以只需要求出一个弓形的面积就可以了.

由已知条件,若分别连结AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2,如图所示,就可以得到两个等边三角形(各

边长均等于半径),则AO2O1BO2O160,即AO2B120.

这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积,然后再减去三角形AO2B的面积,就得到弓形的面积,三角形AO2B的面积可采用面积公式直接求出,其中底是弦AB,高是O1O2的一半. 所以,阴影部分面积2S扇形AO2BSAO2B

12011023.1410217

360221120985124(平方厘米).

33AA1【答案】124

3

【例 45】 下图中,AB3,阴影部分的面积是

ACAHCEFEGFB

【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 如图可知EF3,设大半圆半径为R,小圆半径为r,如右图REH,rHGEG,根据勾股定

理得R22r2,故大半圆面积等于小圆面积,由图可知

DBD

S阴影S小圆S柳叶

S小圆(2S扇形EHFSVEHF) S小圆2S扇形EHF2SVEHF

S小圆S大半圆2SVEHF

2SVEHF

EFGH3324.5

【答案】4.5

【例 46】 如图,ABCD是平行四边形,AD8cm,AB10cm,DAB30,高CH4cm,弧BE、DF分别以AB、CD为半径,弧DM、BN分别以AD、CB为半径,则阴影部分的面积为多少?(精确到0.01)

EDNCAMBFH【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形,AD8cm,AB10cm,DAB30,所以

3025 S扇形EABS扇形FCD102ππcm2,

36033016 S扇形DAMS扇形BCN82ππcm2.

3603 因为平行四边形ABCD的高CH4cm,所以SYABCD10440cm2.

 由图中可看出,扇形EAB与FCD的面积之和,减去平行四边形ABCD的面积,等于曲边四边形DFBE的面积;平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积,等于曲边四边形DMBN的面积.则

S阴影S曲边四边形DFBES曲边四边形DMBN

2S扇形EABSYABCDSYABCD2S扇形DAM 2S扇形EABS扇形DAMSYABCD

1625412ππ4023.14405.83cm2.

333【答案】5.83

【例 47】 如图所示,两条线段相互垂直,全长为30厘米.圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没

有滑动).在圆周上设一个定点P,点P从圆开始滚动时是接触直线的,当圆停止滚动时也接触到直线,而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的.那么,圆的半径是多少厘米?(设圆周率为3.14,除不尽时,请四舍五入保留小数点后两位.如有多种答案请全部写出)

P

【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如上图:因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的,所以这个圆的运动情况有两种可能.一

种是圆滚动了不足一圈,根据P点的初始位置和终止位置,可知圆滚动了270º.另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈,在第二条直线上又滚动了将近一圈,根据P点的初始位置和终止位置,可知圆滚动了270360630. 因为两条线段共长30厘米,所以270º的弧长或者630º的弧长再加上两个半径是30厘米.

270630 2πr2r30(厘米),或者2πr2r30(厘米),所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘米.

360360【答案】2.31

【例 48】 将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮,求剪成的正方

形铁皮的面积的最大值.

37A7D′D3A′B12C′CD′DC′CDD′CA73A′BB′12A73A′BB′12

图1 图2 图3

【考点】圆与扇形 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】希望杯 【解析】 如图1所示,使ABBCCDDA1239(厘米),则正方形ABCD的面积为9981 (平

方厘米).如图2所示,使AABBCCDD3(厘米),则正方形ABCD的面积为

1121243(123)90(平方厘米).

2如图3所示,连结AC交曲线于点A,使ABBCCDDA.观察图3可知AB121.510.5(厘米).(注:AB的长度在(10.50.2)厘米之间均可.)于是正方形ABCD的面积为10.510.5110.25(平方厘米).

因为8190110.25,所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.

【答案】110.25

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