湖北省巴东一中高中数学平面向量应用举例教案新人教版必修4

来源：飒榕旅游知识分享网

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

一、教学分析

1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:

则向量方法的流程图可以简单地表述为:

这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:

综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;

解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等. 前三种方法都是中学数学中出现的内容.

有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.

二、教学目标

1．知识与技能：

通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 2．过程与方法：

明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.

3．情感态度与价值观：

通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点

教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想

（一）导入新课

思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.

思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

图1

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.

图2

证明:方法一:如图2.

作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE. ∴AD=BC,AF=BE.由于AC 222222222AE+CE=(AB+BE)+CE=AB+2AB·BE+BE+CE=AB+2AB·BE+BC. 222222222222222BD=BF+DF=(AB-AF)+DF=AB-2AB·AF+AF+DF=AB-2AB·AF+AD=AB-2AB·BE+BC.∴AC+BD=2(AB+B2

C).

图3

方法二:如图3.

以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系. 设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).

222222

∴|AC|=(a+b)+c=a+2ab+b+c,

222222

|BD|=(a-b)+(-c)=a-2ab+b+c.

2222222

∴|AC|+|BD|=2a+2(b+c)=2(|AB|+|AD|).

用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB=AB-AD,AC=AB+AD,教师可点拨学生设AB=a,AD=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算|AC|与|DB|.因此有了方法三.

方法三:设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,|AB|=|a|,|AD|=|b|.

∴|AC|=AC·AC=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|+2a·b+|b|. ①

同理|DB|=|a|-2a·b+|b|. ②

观察①②两式的特点,我们发现,①+②得

|AC|+|DB|=2(|a|+|b|)=2(|AB|+|AD|),

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能.

②能想出至少三种证明方法. ③略.

（三）应用示例

图4

例1 如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?

活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、

、AR、AT、与AC之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题AC共线,所以只需判断AD的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,

将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.

解:如图4,

设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b. 由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.

又因为EB=AB-AE=a-

1b, 2ER与EB共线,

所以我们设ER=mEB=m(a-因为ARAEER,

1b). 211b+m(a-b). 221因此n(a+b)=b+m(a-b),

2m1即(n-m)a+(n+)b=0.

2所以r=

由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须

nm0, m1n0.21. 31所以AR=AC,

31同理TC=AC.

31于是RT=AC.

3解得n=m=

所以AR=RT=TC.

点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练

图5

如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点. 证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h, 则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.

因为BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,

即(h-b)·c=(h-c)·b. 化简得h·(c-b)=0. 所以AH⊥BC.

所以AH与AD共线,

即AD、BE、CF相交于一点H.

图6

例2 如图6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.

活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？

教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.

解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),

OA=(0,a),BA=(c,a),OC=(c,0),BC=(2c,0).

因为BB′、CC′都是中线,

113ca(BC+BA)=［(2c,0)+(c,a)］=(,), 22223ca同理CC'=(,).

22所以BB'=因为BB′⊥CC′,

92a22

所以c=0,a=9c.

442a2c29c2c2422. 所以cosA=29cc25|AB||AC|acAB•AC 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生

仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效. 变式训练

图7

(2004湖北高考) 如图7,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:PQ与BC的夹角θ取何值时,BP•CQ的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.

∵AB⊥AC,∴AB·AC=0.

∵APAQ,BPAPAB,CQAQAC, ∴BP•CQ(APAB)•(AQAC) =AP•AQAP•ACAB•AQAB•AC =-a-APAC+AB·AP=-a+AP·(AB-AC)

=-a+

1PQ·BC=-a2+a2cosθ. 2故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时,BP•CQ最大,其最大值为0.

图8

方法二:如图8.

以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.

设点P的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).

∴BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y). ∴BP•CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x+y)+cx-by. ∵cosθ=2

PQ•BC|PQ||BC|2

cxby 2a∴cx-by=acosθ. ∴BP•CQ=-a+acosθ.

故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, BP•CQ最大,其最大值为0. （四）知能训练

图9

1.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角. 求证:∠ABC=90°.

证明:如图9.

设AO=a,OB=b,

则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|. 因为AB·BC=(a+b)·(a-b)=|a|-|b|=0,

所以AB⊥BC.

由此,得∠ABC=90°.

点评:充分利用圆的特性,设出向量.

2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.

图10

证明:如图10.

建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n). 在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有

t|AD||BE||CF|1=λ,|DB||EC||FA|1t1由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为(

ammamm,).当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(,),故对任一3333t1∈[0,1],△DEF的重心不变.

点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.

（五）课堂小结

1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.

2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.

（六）作业

2.5.2 向量在物理中的应用举例

一、教学分析

向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.

用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用. 二、教学目标

1．知识与技能：

通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。

2．过程与方法：

明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识. 3．情感态度与价值观：

通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 三、重点难点

教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.

2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.

教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 四、教学设想

（一）导入新课

思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课. 思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.

（二）应用示例

例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?

活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的

平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.

图1

在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.

用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道

1|G|2|G| cos2|F1|2cos2 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,

由0°到90°逐渐变大,cos的值由22大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.

点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现. 变式训练

某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.

图2

解:如图2所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.

令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v. ∵DA+AB=DB,

∴DB=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵DA+AC=DC,

∴DC=v-2v1,

这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速. 由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,

∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC=2BC=202. ∴|v|=202 km/h.

答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.

例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.

图3

解:设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v|=(M+m)|v0|. ①